课件18张PPT。垂直于弦的直径
（复习）（1）直径AB（2）AB CD,垂足为H( 4 ) CH=DH垂径定理的本质是如图，在⊙ＭＮＢＡＣＯC一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。???(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???习题训练:填空1.在半径为50mm的⊙O中，有长50mm的弦。
(1)点O与AB的距离是_____；
(2)∠AOB的度数是_____。┓E小结：有关弦的问题，常常过圆心作弦的垂线段后，圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形， 便将问题转化为解直角三角形的问题．
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心到O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64oABP5. 如图，ＡＢ是⊙O的弦，Ｐ为ＡＢ上一点，若AB=10cm，PB=4cm,OP=5cm，求⊙O的半径．6.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________. 357.已知如图,在一块图形纸片上剪去一个弓形纸片,量得弓形弦AB=24,弓形高为6,求图形纸片的直径.ABO达标检测
一、填空
1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm.
2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是——
5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC=——14cm或2cm25cm10cm和40cm6.ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．7.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. CD在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. DC船能过拱桥吗. 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？问题船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.课件21张PPT。垂直于弦的直径(二)ABCD垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,挑战自我画一画1.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.2. 平分已知弧 AB .你会四等分弧AB吗?垂径定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.⑴d + h = r⑵已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？ 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OAB 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OABr应用：因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.挑战自我1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d + h = r⑵例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.老师提示:
注意闪烁的三角形的特点.问题2(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.OAOCABM(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.630°EB3.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心到O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝645.如图,ABCD与⊙O相交于M.N.F.E,若AM=2,DE=1,EF=8,则MN=ABMNDEFCO6.已知如图,在一块图形纸片上剪去一个弓形纸片,量得弓形弦AB=24,弓形高为6,求图形纸片的直径.ABO在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 问题3CD在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. DC已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF船能过拱桥吗. 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？问题4船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.再见课件23张PPT。垂直于弦的直径(一)ABCD圆既是中心对称图形，又是轴对称图形提问：圆是什么对称图形？ 任意一条直径都是圆的对称轴（ ）圆是特殊的中心对称图形，绕对称中心旋转任意角度都与原来重合。旋转不变性BAA/OB/如图：
直径AB垂直于直径CD，则这个图形是轴对称图形吗?若把AB向下平移，即直径CD垂直于弦AB与E，则这是图形是轴对称图形吗？图中有哪些相等的线段和相等的弧呢?AE=BE 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理BAOCDEBAOCDE 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？不是直径 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 BAOCDE（不是直径）一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。辩一辩直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.应用：已知如图，在 中，弦AB的长为8cm，若圆心O到AB的距离为3 cm，则 的半径为 cm.
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题. 5 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OAB 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OABr应用：因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.例1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的距离为 3 cm,求⊙O的半径.O ABE变式1.在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB的长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.变式2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满足关系式
＿＿＿＿＿＿＿＿＿（? a）2+d2=R2应用:垂径定理有关的计算题.练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________. 35 例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦AB=４０ cm ，CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。 CD20152525247CDFFAB、ＣＤ在点O两侧ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２AB、ＣＤ在点O同侧ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。例３. 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。E.ACDBO证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ∵ＯＥ⊥ＡＢ∴ＡＥ＝ＥＢ∵ＯＥ⊥ＣＤ∴ＣＥ＝ＥＤ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ即ＡＣ＝ＢＤ应用2:垂径定理有关的证明题.讲解小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。练习： 在⊙Ｏ中，ＡＢ．ＣＤ为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．ＡＢＣＯＤＥ已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF课堂小结请同学们谈谈你的收获-------再见
