数学 八年级上册
第2课时 公式法(1)
7.把下列各式分解因式.
(1)3(a+b)2-27c2;
熟记平方差公式分解因式的特点,明确公式中
a、b可以是单项式,也可以是多项式;有公因式则先
提取公因式;把每一个多项式因式分解到不能再分
解为止.
活动一:试一试
2 2
1.打开课本,看思考,自己动手计算,看能得到 (2)16(x+y)-25(x-y);
怎样的结论.
2.通过上面的总结,请你自己写出平方差公式.
(3)(a+b+c)2-(a+b-c)2.
活动二:做一做
因式分解中的平方差公式与整式的乘法中的
平方差公式有怎样的关系
1.分解因式a3-a 的结果是 ( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2
C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
2.分解因式2x2-32的结果是 ( )
A.2(x2-16) B.2(x+8)(x-8)
1.下列能用平方差公式分解因式的是 ( ) C.2(x+4)(x-4) D.(2x+8)(x-8)
A.x2-xy B.x2+xy 3.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b
C.x2-y2 D.x2+y2 的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一
2.-4+0.09x2 分解因式的结果是 ( ) 个长方形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面
A.(0.3x+2)(0.3x-2) 积相等,可以验证 ( )
B.(2+0.3x)(2-0.3x)
C.(0.03x+2)(0.03x-2)
D.(2+0.03x)(2-0.03x)
3.把多项式9a3-ab2 分解因式结果是
甲 . 乙
4.因式分解:a4-9a2b2= . A.(a+b)2=a2+2ab+b2
5.分解因式:8a2-2= . B.(a-b)2=a2-2ab+b2
6.已知a+b=8,且a2-b2=48,则式子a-3b C.a2-b2=(a+b)(a-b)
的值是 . D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
7 3
课时培优作业
4.因式分解:x2-9y2= . (1)28和2012这两个数是“神秘数”吗 为什么
5.分解因式:ab2-4a= . (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非
6.分解因式:(x-8)(x+2)+6x= . 负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍
1
7.若a2-b2= ,
1
a-b= ,
数吗 为什么
则a+b 的值6 3 (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数
为 . 吗 为什么
8.已知a+b=4,a-b=3,则a2-b2=
.
9.分解因式:
(1)x2-9;
12.老师在黑板上写了三个算式:52-32=8×
2,92-72=8×4,152-32=8×27,王华接着又写了
两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-
(2)a2-16b2; 72=8×22,…
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有
上述规律的算式;
(2)用文字写出反映上述算式的规律;
(3)证明这个规律的正确性.
(3)25m2-4n2;
(4)x4-1.
1.(百色中考题)分解因式:16-x2= ( )
A.(4-x)(4+x) B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x) D.(4-x)2
10.已知a 为整数,求证:(2a+1)2-1能被4 2.(梅州中考题)分解因式a2b-b3,结果正确
整除. 的是 ( )
A.b(a+b)(a-b) B.b(a-b)2
C.b(a2-b2) D.b(a+b)2
3.(宜昌中考题)小强是一位密码编译爱好者,
在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,
x+y,a+b,x2-y2,a2-b2 分别表示下列六个字:
11.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 昌、爱、我、宜、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)
平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22- b2 因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘 A.我爱美 B.宜昌游
数”. C.爱我宜昌 D.美我宜昌
7 48.(1)2 (2)0 ∴(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.
9.(1)a2+2ab+b2-c2 (2)x2+y2+z2- 第3节 因式分解
2xy+2yz-2xz
第 课时 提公因式法
★课后作业 1
1.C 2.D ★课堂作业
3.解:∵(a+b)2=a2+b2+2ab, 1.C 2.C 3.B 4.C 5.8x3y3 6.2x(x
∴102=58+2ab,ab=21. -5) 7.(1)xy2(y-1) (2)(x+y)(x+y-3)
又∵(a-b)2=(a+b)2-4ab=102-4×21 8.-3
=16,
★课后作业
∴a-b=4,或a-b=-4.
1.B 2.D 3.A 4.(1)ab(a2b+ab-1)
当a-b=4,
a+b=10时,解得a=7,b=3.
() (
, , , 27x3y-2z+5x
) (3)-(2a+b)(a+2b)
当a-b=-4a+b=10时 解得a=3b=7.
(4)4(a-b)2(5a-3b) 5.(: 1
)2 (2)-5
4.解 由完全平方公式得(2a+b)2-(2a-b)2
6.(1)x(x+ ) (2)x
=8ab,则(2a-b)2=(2a+b)2-8ab. y y
(x-2y+1) (3)-4x
(6x+3y-7) (4)(x-y)(a-1), , ( )2 2 7.0 8.原式∵2a+b=7ab=2 ∴ 2a-b =7 -8×2
=2n(24-1)=15×2n,能被5整除. 9.(1)提公因
=33.
:() 式法 两 () (5.解 1x2+2 2+2x 22016 x+1
)2017 (3)(x+1)n+1
y y-4y+4=x2+2xy
+y2+y2-4y+4=(x+y)2+(y-2)2=0, ★新题看台
∴x+y=0,y-2=0, 1.m(a+b) 2.a(b-2) 3.(x-y)(m+n)
解得x=-2,y=2,∴xy=(-2)2=4. 4.a(a-1) 5.2 6.2015
(2)∵a2+b2=10a+8b-41,
第2课时 公式法(1)
∴a2-10a+25+b2-8b+16=0,
即(a-5)2+(b-4)2=0, ★课堂作业
∴a-5=0,b-4=0, 1.C 2.A 3.a(3a-b)(3a+b) 4.a2(a-
解得a=5,b=4. 3b)(a +3b) 5.2(2a+1)(2a-1) 6.4
∵c是△ABC 中最大的边长,∴5≤c<9. 7.(1)3(a+b+3c)(a+b-3c) (2)(9x-y)(9y
★新题看台 -x) (3)4c(a+b)
1.1 2.解:原式=a2+4ab+4b2+b2-a2= ★课后作业
4ab+5b2.当a=-1,b=2时,原式=4×(-1)×2 1.C 2.C 3.C 4.(x+3y)(x-3y)
+5×22=-8+20=12. 5.a(b-2)(b+2) 6.(x+4)(x-4)
3.解:(1)4 17 1
() :( )2 2 ( ) 7.2 8.12 9.
(1)(x+3)(x-3) (2)(a
2 第n个等式为 2n+1 -4n =22n+1
-1, +4b)(a-4b) (3)(5m+2n)(5m-2n) (4)(x
证明:∵左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1 +1)(x-1)(x2+1)
-4n2=4n+1, 10.证明:(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1
右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. -1)=(2a+2)·2a=4a(a+1),∵a 为整数,∴a
∴左边=右边 +1也是整数,
— 17 —
∴4a(a+1)能被4整除,即(2a+1)2-1能被 5.(1)(5x2-1)2 (2)-(2x+y)2 (3)2x(xy-
4整除. 4)2 (4)原式=x2-9+2x+10=x2+2x+1=(x
11.解:(1)∵28=4×7=82-62, +1)2
2012=4×503=5042-5022, 6.本题答案不唯一,如2a2+3ab+b2-(a2+
∴28和2012是神秘数; ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2 7.39 8.0
(2)∵(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2 9.解:(1)(x-2)(x+9)
-2k)=4(2k+1).∴由2k+2和2k 构造的神秘数 (2)方程分解得(x-2)(x-4)=0,可得x-2
是4的倍数.
=0或x-4=0,解得x=2或x=4.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定
(3)-8=-1×8;-8=-8×1;-8=-2×4;
不是8的倍数,因为两个连续奇数为2k+1和2k
-8=-4×2.
-1时,则(2k+1)2-(2k-1)2=(2k+1+2k-1)
,
[( ) ( )] ∵-1+8=7 -8+1=-7
,-2+4=2,-4+
2k+1 - 2k-1 =8k.
,
即两个连续奇数的平方差不是神秘数. 2=-2
12.解:(1)答案不唯一,如132-112=8×6, ∴p 的可能值为±7或±2.
152-132=8×7等. ★新题看台
(2)任意两个奇数的平方差是8的倍数. 1.A 2.b(a-5)2 3.-y(3x-y)2
(3)证明;设 m,n 为整数,则两个奇数可表示 小结与思考
为2m+1,2n+1,
则(2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1+2n+1) 题组训练
(2m+1-2n-1)=4(m-n)(m+n+1). (一)整式的乘法
当m,n同是奇数或偶数时,m-n 一定为偶 1.D 2.D 3.-216a6b3 4.n2+4n
数,所以4(m-n)一定是8的倍数; 5.2x-4
当m,n一奇一偶时,(m+n+1)一定为偶数, 6.解:(1)①∵5+2=7,
所以4(m+n+1)一定是8的倍数. ∴左边的三位数是275,右边的三位数是572,
综上所 述:任 意 两 个 奇 数 的 平 方 差 是8的 ∴52×275=572×25,
倍数. ②∵左边的三位数是396,
★新题看台 ∴左边的两位数是63,右边的两位数是36,
1.A 2.A 3.C ∴63×369=693×36;
第2课时 公式法(2) 故答案为:①275 572 ②63 36
(2)∵左边两位数的十位数字为a,个位数字
★课堂作业 为b,
1.D 2.B 3.C 4.ab(a-b)2 5.9 6.1 ∴左边的两位数是10a+b,三位数是100b+
7.(1)-2xy(x-y)2 (2)(a-6)2 (3)(x+ 10(a+b)+a,
y)2(x-y)2
1 9
8.原式= (2 x-2y
)2=2 右边的两位数是10b+a,三位数是100a+
★课后作业 10(a+b)+b,
∴一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+
1
1.C 2.D 3.-a(a- b)22 4.±20 10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+
— 18 —
