广东省深圳市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023·深圳）如果+10℃表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：+10℃表示零上10度，则零下8度表示为-8℃.
故答案为：B.
【分析】由于正数与负数可以表示具有相反意义的量，故弄清楚了正数所表示的量，即可得出负数所表示的量.
2．（2023·深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
3．（2023·深圳）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 320000这个数用科学记数法表示为3.2×105.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2023·深圳）下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（ ）.
打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将五种运动耗氧量按从小到大排列后，排第3位的数105L/h，
∴五种运动耗氧量的中位数为：105L/h.
故答案为：C.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，据此可得答案.
5．（2023·深圳）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ 将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，
∴AB=EF=4，BE=a，
∵四边形ECDF是菱形，
∴EC=EF=4，
∴BE=BC-EC=6-4=2，
∴a=2.
故答案为：B.
【分析】由平移的性质得AB=EF=4，BE=a， 由菱形的性质得EC=EF=4，进而由线段的和差，根据BE=BC-EC算出BE的值，即可得出答案.
6．（2023·深圳）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、由于a3·a2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、由于4ab-ab=3ab，故此选项计算错误，不符合题意；
C、由于(a+1)2=a2+2a+1，故此选项计算错误，不符合题意；
D、由于（-a3）2=a6，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，进行计算，可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
7．（2023·深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD=50°，
∴∠D=∠ABD=50°，
∵∠DEF=∠D+∠DCE=120°，
∴∠DCE=∠DEF-∠D=120°-50°=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°.
故答案为：70°.
【分析】先由二直线平行，内错角相等，得∠D=∠ABD=50°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DCE=∠DEF-∠D=70°，最后根据对顶角相等可得∠ACB的度数.
8．（2023·深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，由题意，
得 .
故答案为：B.
【分析】设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，根据货物的总重量除以每辆车的运输量等于需要车的辆数及大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同列出方程即可.
9．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
10．（2023·深圳）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图象起点坐标（0，15）可知，t=0时，点P与点A重合，
∴BP=AB=15，
∴点P从点A运动到点B需要的时间为15÷2=7.5s，
图象末点的横坐标为11.5s，说明点P从点A运动到B点再到C点后停止共用时11.5s，
∴点P从点B运动到点C用的时间为11.5-7.5=4s，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=17.
故答案为：17.
【分析】由图象可得t=0时，点P与点A重合，得到BP=AB=15，根据路程、速度、时间三者的关系可求出点P从点A运动到点B需要的时间，结合图象末点的横坐标可得点P从点B运动到点C用的时间，从而可求出BC的长，最后利用勾股定理可算出AC的长.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2023·深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：P（ 拿到《红星照耀中国》）=.
故答案为：.
【分析】根据概率公式，用《红星照耀中国》的数量除以数的总数量即可算出答案.
12．（2023·深圳）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
13．（2023·深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．
【答案】35
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=20°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=35°.
故答案为：35.
【分析】由同弧所对的圆周角相等得∠ADC=∠ABC=20°，由直径所对圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可算出答案.
14．（2023·深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥于x轴于点D，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=，
∴OB=2AB=，
在Rt△OBC中，∵∠BOC=30°，OB=，
∴cos∠BOC=cos30°=，
∴OC=4，
∵∠COD=90°-∠AOB-∠BOC=30°，
又在Rt△OCD中，∠CDO=90°，
∴CD=OC=2，OD=CD=，
∴C（，2），
∴k=2×=.
故答案为：.
【分析】在Rt△AOB中，由含30°角直角三角形的性质得OB=2AB=，在Rt△OBC中，由∠BOC的余弦函数可求出OC＝4，在Rt△OCD中，由含30°角直角三角形的性质得CD=OC=2，OD=CD=，从而得出点C的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于k即可得出答案.
15．（2023·深圳）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE于点M，
由折叠可得AE=AB，又AB=AC，
∴AB=AC=AE，
设AB=AC=AE=20，
∵AG∶CG=3∶1，
∴AG=15，CG=5，
由折叠知：∠E=∠B，
∴，
设AM=3x，EM=4x，
在Rt△AME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2，
即（3x）2+（4x）2=202，
解得x=4，
∴AM=12，EM= 16，
在Rt△AMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2，
即122+MG2=152，
解得MG=9，
∴GE=ME-MG=7，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠B=∠E，
∴∠C=∠E，
又∠AGE=∠DGC，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥DE于点M，易得AB=AC=AE，设AB=AC=AE=20，则AG=15，CG=5，由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得，设AM=3x，EM=4x，在Rt△AME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AM、EM的长，在Rt△AMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△DCG，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2023·深圳）计算：．
【答案】解：原式=1+2-3+2×
=1+2-3+
=.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算乘法，最后计算有理数的加减法即可得出答案.
17．（2023·深圳）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当x=3时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将第二个分式的分子分母分别分解因式，然后将除法转变为乘法，约分即可化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
18．（2023·深圳）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数 人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以1：1：1：1进行考核， 小区满意度（分数）更高；
若以1：1：2：1进行考核， 小区满意度（分数）更高．
【答案】解：①100；
②本次调查的人数中，投“娱乐设施”的人数为：100-40-17-13=30（人），
补全条形统计图如下：
③该城区居民愿意改造“娱乐设施”的人数约为：10×=3（万人），
答：估计该城区居民愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④乙；甲．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：①本次调查的人数为：a=40÷40％=100（人）；
故答案为：100；
④按1∶1∶1∶1进行考核，甲小区得分为（分），
乙小区得分为：（分），
∵8＞7，
∴乙小区满意度得分更高；
按1∶1∶2∶1进行考核，甲小区得分为（分）
乙小区得分为：（分），
∵8＞7.8，
∴甲小区满意度得分更高.
故答案为：乙，甲.
【分析】（1）用投“健身设施”的人数除以其所占的百分比即可求出本次调查的总人数；
（2）用总人数减去其它三项的人数即可求出投“娱乐设施”的人数；
（3）利用样本估计总体的思想，用该城区的总人数乘以样本中投“娱乐设施”的人数所占的百分比即可估算出该城区居民愿意改造“娱乐设施”的人数；
（4）利用加权平均数的计算方法算出两种权重情况下甲与乙的满意度得分，再比较大小即可.
19．（2023·深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）解：设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由题意，得
，
解得，
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）解： 该商场最多可以购置a个A玩具，由题意得
50a+75×2a≤20000，
解得a≤100，
答：该商场最多购置100个A玩具．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由“ B玩具的单价比A玩具的单价贵25元 ”可列方程y-x=25，由“ 购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元 ”x+2y=200，联立两方程组成方程组，求解即可；
（2） 该商场最多可以购置a个A玩具，最多购置2a个B玩具，由单价乘以数量等于总价及购置a个A玩具的费用+购置2a个B玩具的费用不高于20000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
20．（2023·深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求的长度．
【答案】（1）证明：如图，
∵AC是圆O的切线，
∴AC⊥OA，
在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=5，
在△AOC与△DOB中，
∵OC=OB=5，∠COA=∠BOD，OA=OD，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB=∠OAC=90°，
∴BD是圆O的切线；
（2）解：∵△AOC≌△DOB，
∴AC=BD=4，
∵∠B=∠B，∠EAB=∠BDO，
∴△AEB∽△DOB，
∴，
即，
解得：.
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由切线的性质得AC⊥OA，在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=5，从而由SAS判断出△AOC≌△DOB，根据全等三角形的对应角相等得∠ODB=∠OAC=90°，从而根据切线的判定定理（垂直于半径外端点的直线是圆的切线），可得结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得AC=BD=4，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AEB∽△DOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE的长.
21．（2023·深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）解：∵抛物线ADE的顶点坐标为（0，4），且经过点D（2，3），
∴设抛物线AED的解析式为y=ax2+4，
将点D（2，3）代入得4a+4=3，解得a=，
∴抛物线ADE的函数解析式为：；
（2）解：由题意易得点R的纵坐标为，
将y=代入得，
解得x1=1，x2=-1（舍），
∴R的横坐标为1，
∵四边形MNSR是正方形，
∴S的横坐标为1-=，
∴点M的横坐标为，
∴GM=2×=；
（3）解：如图，取最右侧光线与抛物线切点为F，
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A（-2，3）及点C（2，0）代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为：，
∵AC∥FK，
∴设直线FK的解析式为：，
由得，即x2-3x+4m-16=0，
∵抛物线与直线FK相切，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴△=（-3）2-4（4m-16）=0，
解得m=，
∴直线FK的解析式为：，
令直线FK中的y=0得x=，
即OK=，
∴BK=OK+BO=2+=m.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）抛物线ADE的顶点坐标为（0，4），且经过点D（2，3），故设出抛物线的顶点式，再将两点坐标代入可求出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）由题意易得点R的纵坐标为，将y=代入抛物线的解析式算出对应的x的值，可得点R的横坐标，结合正方形的性质可得点M的横坐标，进而根据抛物线的对称性即可求出GM的长；
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，先由A、C两点坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，由于太阳光线是平行光线，可得AC∥FK，故设直线FK的解析式为：，由于直线FK与抛物线的图象相切，所以令两函数函数值相等时所得一元二次方程有两个相等的实数根，故可得根的判别式为0，据此将方程可求出m的值，从而求出直线FK的解析式，再令直线FK中的y=0算出对应的x的值，可得OK的长，进而根据BK=OB+OK即可算出答案.
22．（2023·深圳）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则 ．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠CFB=∠A=90°，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE与△FCB中，
∵∠CFB=∠A=90°，∠ABE=∠BCF，BE=BC，
∴△ABE≌△FCB（AAS）；
②20；
（2）解：如图，连接CF、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵CE⊥AB，
∴，
∴BC=3BE，
∴AB=3BE，
∴S△BEC=×S菱形ABCD=×24=4，
S△BFC=S菱形ABCD=×24=12，
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，
∴EF·BC=12+8=16，
∴EF·BC=32；
（3）或或.
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（1）②解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD为矩形，且S矩形ABCD=20，
∴AB×BC=20，
∵△ABE≌△FCB，
∴CF=AB，BE=BC，
∴BE·CF=20；
故答案为：20；
（3）解：①当点G在AD边上时，如图，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，CE=2，
∴CD=AB=6，DE=CD-CE=4，AD∥BC，AB∥CD，
∴△EDM∽△ECF，
∴，
，
∴S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，
∵AB∥CD，∴∠MDC=∠A=60°，
在Rt△DEH中，∠MDC=60°，
∴∠HED=30°，
∴DH=DE=2，EH=DH=2，
∵S△MGE=GM·HE=，
∴GM×2=，
∴GM=7，
∵GE⊥EF，FH⊥GM，
∴∠MGE=∠GEM=90°，
∴∠MEH+∠HEG=90°=∠HEG+∠HGE，
∴∠MEH=∠HGE，
∴△GEH∽△EMH，
∴，
∴HE2=HG·HM，
设AG=a，则GD=AD-AG=5-a，
GH=GD+HD=7-a，HM=GM-GH=a，
∴，
解得a=3或a=4，
即AG=3或AG=4；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，
设AG=x，则BN=AG=x，EN=DE-DN=4-x，
∵GN∥CM，
∴△ENG∽△ECM，
∴，
∴，
∴，
∵EF·EG=，
∴S△MEF=，
过点E作EH⊥BC于点H，
在Rt△EHC中，EC=2，∠ECH=60°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=EC=1，EH=CH=，
∴S△MEF=MF·EH，
∴，
∴，
∴FH=MF-CM=，
，
∵EF⊥GE，EH⊥BC，
∴∠FEM=∠FHM=90°，
∴∠FEH+∠HEM=∠HEM+∠M=90°，
∴∠M=∠FEH，
∴△FHE∽△EHM，
∴，
∴EH2=FH·HM，
即，
解得x1=，x2=8（舍去），
即AG=；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，
在Rt△BTC中，∠C=60°，
∴∠TBC=30°，
∴CT=BC=，BT=TC=，
∴S△BTC=BT·TC=，
∵EF·EG=，
∴S△EFG=EF·EG=，
∵＜，
∴点G不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或.
【分析】（1）①由矩形及垂直的定义可得∴∠CFB=∠A=90°，由同角的余角相等得∠ABE=∠BCF，从而用AAS判断出△ABE≌△FCB；
②由矩形的面积计算公式可得AB×BC=20，由全等三角形的对应边相等得CF=AB，BE=BC，从而等量代换即可得出答案；
（2）由菱形的四边相等及对边平行得AB=BC，AD∥BC，则∠A=∠CBE，由等角的同名三角函数值相等得，则AB=BC=3BE，由几何图形的面积计算方法得S△BEC=×S菱形ABCD=4，S△BFC=S菱形ABCD=12，由平行线的性质得EF⊥BC，由对角线互相垂直的几何图形的面积等于两对角线乘积的一半及割补法可得S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，从而代入计算可得答案；
（3）分三种情况讨论，①当点G在AD边上时，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，先证△EDM∽△ECF，由相似三角形对应边成比例及同高三角形面积之比等于底之比得，结合已知得S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，根据含30°角三角形的性质得DH、EH的长，进而由等面积法得S△MGE=GM·HE=，从而可求出GM=7，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GEH∽△EMH，由相似三角形对应边成比例得HE2=HG·HM，设AG=a，然后用含A的式子表示出GD、GH、HM，从而代入求解得AG的长；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，设AG=x，用含x的式子表示出BN=AG=x，EN=4-x，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ENG∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得，由同高三角形的面积之比等于底之比得，由等面积法可得S△MEF=，过点E作EH⊥BC于点H，由含30°角直角三角形的性质得CH=1，EH=，从而代入计算可表示出MF，进而表示出FH、MH、由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FHE∽△EHM，由相似三角形对应边成比例得EH2=FH·HM，从而代入求解可得AG的长；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，由含30°角直角三角形的性质得CT=，BT=，由三角形面积计算方法可得S△BTC=，S△EFG=，由于＜，从而得出此种情况不成立.
1 / 1广东省深圳市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023·深圳）如果+10℃表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·深圳）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·深圳）下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（ ）.
打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳
A． B． C． D．
5．（2023·深圳）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·深圳）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
8．（2023·深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）.
A． B． C． D．
9．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
10．（2023·深圳）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2023·深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 ．
12．（2023·深圳）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
13．（2023·深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．
14．（2023·深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
15．（2023·深圳）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2023·深圳）计算：．
17．（2023·深圳）先化简，再求值：，其中．
18．（2023·深圳）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数 人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以1：1：1：1进行考核， 小区满意度（分数）更高；
若以1：1：2：1进行考核， 小区满意度（分数）更高．
19．（2023·深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
20．（2023·深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求的长度．
21．（2023·深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
22．（2023·深圳）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则 ．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：+10℃表示零上10度，则零下8度表示为-8℃.
故答案为：B.
【分析】由于正数与负数可以表示具有相反意义的量，故弄清楚了正数所表示的量，即可得出负数所表示的量.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 320000这个数用科学记数法表示为3.2×105.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将五种运动耗氧量按从小到大排列后，排第3位的数105L/h，
∴五种运动耗氧量的中位数为：105L/h.
故答案为：C.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，据此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ 将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，
∴AB=EF=4，BE=a，
∵四边形ECDF是菱形，
∴EC=EF=4，
∴BE=BC-EC=6-4=2，
∴a=2.
故答案为：B.
【分析】由平移的性质得AB=EF=4，BE=a， 由菱形的性质得EC=EF=4，进而由线段的和差，根据BE=BC-EC算出BE的值，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、由于a3·a2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、由于4ab-ab=3ab，故此选项计算错误，不符合题意；
C、由于(a+1)2=a2+2a+1，故此选项计算错误，不符合题意；
D、由于（-a3）2=a6，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，进行计算，可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD=50°，
∴∠D=∠ABD=50°，
∵∠DEF=∠D+∠DCE=120°，
∴∠DCE=∠DEF-∠D=120°-50°=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°.
故答案为：70°.
【分析】先由二直线平行，内错角相等，得∠D=∠ABD=50°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DCE=∠DEF-∠D=70°，最后根据对顶角相等可得∠ACB的度数.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，由题意，
得 .
故答案为：B.
【分析】设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，根据货物的总重量除以每辆车的运输量等于需要车的辆数及大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同列出方程即可.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图象起点坐标（0，15）可知，t=0时，点P与点A重合，
∴BP=AB=15，
∴点P从点A运动到点B需要的时间为15÷2=7.5s，
图象末点的横坐标为11.5s，说明点P从点A运动到B点再到C点后停止共用时11.5s，
∴点P从点B运动到点C用的时间为11.5-7.5=4s，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=17.
故答案为：17.
【分析】由图象可得t=0时，点P与点A重合，得到BP=AB=15，根据路程、速度、时间三者的关系可求出点P从点A运动到点B需要的时间，结合图象末点的横坐标可得点P从点B运动到点C用的时间，从而可求出BC的长，最后利用勾股定理可算出AC的长.
11．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：P（ 拿到《红星照耀中国》）=.
故答案为：.
【分析】根据概率公式，用《红星照耀中国》的数量除以数的总数量即可算出答案.
12．【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
13．【答案】35
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=20°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=35°.
故答案为：35.
【分析】由同弧所对的圆周角相等得∠ADC=∠ABC=20°，由直径所对圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可算出答案.
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥于x轴于点D，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=，
∴OB=2AB=，
在Rt△OBC中，∵∠BOC=30°，OB=，
∴cos∠BOC=cos30°=，
∴OC=4，
∵∠COD=90°-∠AOB-∠BOC=30°，
又在Rt△OCD中，∠CDO=90°，
∴CD=OC=2，OD=CD=，
∴C（，2），
∴k=2×=.
故答案为：.
【分析】在Rt△AOB中，由含30°角直角三角形的性质得OB=2AB=，在Rt△OBC中，由∠BOC的余弦函数可求出OC＝4，在Rt△OCD中，由含30°角直角三角形的性质得CD=OC=2，OD=CD=，从而得出点C的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于k即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE于点M，
由折叠可得AE=AB，又AB=AC，
∴AB=AC=AE，
设AB=AC=AE=20，
∵AG∶CG=3∶1，
∴AG=15，CG=5，
由折叠知：∠E=∠B，
∴，
设AM=3x，EM=4x，
在Rt△AME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2，
即（3x）2+（4x）2=202，
解得x=4，
∴AM=12，EM= 16，
在Rt△AMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2，
即122+MG2=152，
解得MG=9，
∴GE=ME-MG=7，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠B=∠E，
∴∠C=∠E，
又∠AGE=∠DGC，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥DE于点M，易得AB=AC=AE，设AB=AC=AE=20，则AG=15，CG=5，由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得，设AM=3x，EM=4x，在Rt△AME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AM、EM的长，在Rt△AMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△DCG，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
16．【答案】解：原式=1+2-3+2×
=1+2-3+
=.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算乘法，最后计算有理数的加减法即可得出答案.
17．【答案】解：
，
当x=3时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将第二个分式的分子分母分别分解因式，然后将除法转变为乘法，约分即可化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
18．【答案】解：①100；
②本次调查的人数中，投“娱乐设施”的人数为：100-40-17-13=30（人），
补全条形统计图如下：
③该城区居民愿意改造“娱乐设施”的人数约为：10×=3（万人），
答：估计该城区居民愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④乙；甲．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：①本次调查的人数为：a=40÷40％=100（人）；
故答案为：100；
④按1∶1∶1∶1进行考核，甲小区得分为（分），
乙小区得分为：（分），
∵8＞7，
∴乙小区满意度得分更高；
按1∶1∶2∶1进行考核，甲小区得分为（分）
乙小区得分为：（分），
∵8＞7.8，
∴甲小区满意度得分更高.
故答案为：乙，甲.
【分析】（1）用投“健身设施”的人数除以其所占的百分比即可求出本次调查的总人数；
（2）用总人数减去其它三项的人数即可求出投“娱乐设施”的人数；
（3）利用样本估计总体的思想，用该城区的总人数乘以样本中投“娱乐设施”的人数所占的百分比即可估算出该城区居民愿意改造“娱乐设施”的人数；
（4）利用加权平均数的计算方法算出两种权重情况下甲与乙的满意度得分，再比较大小即可.
19．【答案】（1）解：设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由题意，得
，
解得，
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）解： 该商场最多可以购置a个A玩具，由题意得
50a+75×2a≤20000，
解得a≤100，
答：该商场最多购置100个A玩具．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种玩具的单价分别为x元与y元，由“ B玩具的单价比A玩具的单价贵25元 ”可列方程y-x=25，由“ 购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元 ”x+2y=200，联立两方程组成方程组，求解即可；
（2） 该商场最多可以购置a个A玩具，最多购置2a个B玩具，由单价乘以数量等于总价及购置a个A玩具的费用+购置2a个B玩具的费用不高于20000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
20．【答案】（1）证明：如图，
∵AC是圆O的切线，
∴AC⊥OA，
在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=5，
在△AOC与△DOB中，
∵OC=OB=5，∠COA=∠BOD，OA=OD，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB=∠OAC=90°，
∴BD是圆O的切线；
（2）解：∵△AOC≌△DOB，
∴AC=BD=4，
∵∠B=∠B，∠EAB=∠BDO，
∴△AEB∽△DOB，
∴，
即，
解得：.
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由切线的性质得AC⊥OA，在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=5，从而由SAS判断出△AOC≌△DOB，根据全等三角形的对应角相等得∠ODB=∠OAC=90°，从而根据切线的判定定理（垂直于半径外端点的直线是圆的切线），可得结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得AC=BD=4，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AEB∽△DOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE的长.
21．【答案】（1）解：∵抛物线ADE的顶点坐标为（0，4），且经过点D（2，3），
∴设抛物线AED的解析式为y=ax2+4，
将点D（2，3）代入得4a+4=3，解得a=，
∴抛物线ADE的函数解析式为：；
（2）解：由题意易得点R的纵坐标为，
将y=代入得，
解得x1=1，x2=-1（舍），
∴R的横坐标为1，
∵四边形MNSR是正方形，
∴S的横坐标为1-=，
∴点M的横坐标为，
∴GM=2×=；
（3）解：如图，取最右侧光线与抛物线切点为F，
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A（-2，3）及点C（2，0）代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为：，
∵AC∥FK，
∴设直线FK的解析式为：，
由得，即x2-3x+4m-16=0，
∵抛物线与直线FK相切，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴△=（-3）2-4（4m-16）=0，
解得m=，
∴直线FK的解析式为：，
令直线FK中的y=0得x=，
即OK=，
∴BK=OK+BO=2+=m.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）抛物线ADE的顶点坐标为（0，4），且经过点D（2，3），故设出抛物线的顶点式，再将两点坐标代入可求出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）由题意易得点R的纵坐标为，将y=代入抛物线的解析式算出对应的x的值，可得点R的横坐标，结合正方形的性质可得点M的横坐标，进而根据抛物线的对称性即可求出GM的长；
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，先由A、C两点坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，由于太阳光线是平行光线，可得AC∥FK，故设直线FK的解析式为：，由于直线FK与抛物线的图象相切，所以令两函数函数值相等时所得一元二次方程有两个相等的实数根，故可得根的判别式为0，据此将方程可求出m的值，从而求出直线FK的解析式，再令直线FK中的y=0算出对应的x的值，可得OK的长，进而根据BK=OB+OK即可算出答案.
22．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠CFB=∠A=90°，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE与△FCB中，
∵∠CFB=∠A=90°，∠ABE=∠BCF，BE=BC，
∴△ABE≌△FCB（AAS）；
②20；
（2）解：如图，连接CF、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵CE⊥AB，
∴，
∴BC=3BE，
∴AB=3BE，
∴S△BEC=×S菱形ABCD=×24=4，
S△BFC=S菱形ABCD=×24=12，
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，
∴EF·BC=12+8=16，
∴EF·BC=32；
（3）或或.
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（1）②解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD为矩形，且S矩形ABCD=20，
∴AB×BC=20，
∵△ABE≌△FCB，
∴CF=AB，BE=BC，
∴BE·CF=20；
故答案为：20；
（3）解：①当点G在AD边上时，如图，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，CE=2，
∴CD=AB=6，DE=CD-CE=4，AD∥BC，AB∥CD，
∴△EDM∽△ECF，
∴，
，
∴S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，
∵AB∥CD，∴∠MDC=∠A=60°，
在Rt△DEH中，∠MDC=60°，
∴∠HED=30°，
∴DH=DE=2，EH=DH=2，
∵S△MGE=GM·HE=，
∴GM×2=，
∴GM=7，
∵GE⊥EF，FH⊥GM，
∴∠MGE=∠GEM=90°，
∴∠MEH+∠HEG=90°=∠HEG+∠HGE，
∴∠MEH=∠HGE，
∴△GEH∽△EMH，
∴，
∴HE2=HG·HM，
设AG=a，则GD=AD-AG=5-a，
GH=GD+HD=7-a，HM=GM-GH=a，
∴，
解得a=3或a=4，
即AG=3或AG=4；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，
设AG=x，则BN=AG=x，EN=DE-DN=4-x，
∵GN∥CM，
∴△ENG∽△ECM，
∴，
∴，
∴，
∵EF·EG=，
∴S△MEF=，
过点E作EH⊥BC于点H，
在Rt△EHC中，EC=2，∠ECH=60°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=EC=1，EH=CH=，
∴S△MEF=MF·EH，
∴，
∴，
∴FH=MF-CM=，
，
∵EF⊥GE，EH⊥BC，
∴∠FEM=∠FHM=90°，
∴∠FEH+∠HEM=∠HEM+∠M=90°，
∴∠M=∠FEH，
∴△FHE∽△EHM，
∴，
∴EH2=FH·HM，
即，
解得x1=，x2=8（舍去），
即AG=；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，
在Rt△BTC中，∠C=60°，
∴∠TBC=30°，
∴CT=BC=，BT=TC=，
∴S△BTC=BT·TC=，
∵EF·EG=，
∴S△EFG=EF·EG=，
∵＜，
∴点G不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或.
【分析】（1）①由矩形及垂直的定义可得∴∠CFB=∠A=90°，由同角的余角相等得∠ABE=∠BCF，从而用AAS判断出△ABE≌△FCB；
②由矩形的面积计算公式可得AB×BC=20，由全等三角形的对应边相等得CF=AB，BE=BC，从而等量代换即可得出答案；
（2）由菱形的四边相等及对边平行得AB=BC，AD∥BC，则∠A=∠CBE，由等角的同名三角函数值相等得，则AB=BC=3BE，由几何图形的面积计算方法得S△BEC=×S菱形ABCD=4，S△BFC=S菱形ABCD=12，由平行线的性质得EF⊥BC，由对角线互相垂直的几何图形的面积等于两对角线乘积的一半及割补法可得S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，从而代入计算可得答案；
（3）分三种情况讨论，①当点G在AD边上时，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，先证△EDM∽△ECF，由相似三角形对应边成比例及同高三角形面积之比等于底之比得，结合已知得S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，根据含30°角三角形的性质得DH、EH的长，进而由等面积法得S△MGE=GM·HE=，从而可求出GM=7，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GEH∽△EMH，由相似三角形对应边成比例得HE2=HG·HM，设AG=a，然后用含A的式子表示出GD、GH、HM，从而代入求解得AG的长；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，设AG=x，用含x的式子表示出BN=AG=x，EN=4-x，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ENG∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得，由同高三角形的面积之比等于底之比得，由等面积法可得S△MEF=，过点E作EH⊥BC于点H，由含30°角直角三角形的性质得CH=1，EH=，从而代入计算可表示出MF，进而表示出FH、MH、由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FHE∽△EHM，由相似三角形对应边成比例得EH2=FH·HM，从而代入求解可得AG的长；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，由含30°角直角三角形的性质得CT=，BT=，由三角形面积计算方法可得S△BTC=，S△EFG=，由于＜，从而得出此种情况不成立.
1 / 1
