9.2.4总体离散程度的估计课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共43张PPT)

(共43张PPT)
复习
1.众数：最高矩形的中点的横坐标；
2.中位数：左右两侧直方图的面积相等；
3.平均数：每个小矩形底边横坐标的中点乘以小矩形的面积的乘积之和．
频率=0.5处
(2)求高一参赛学生的平均成绩．
9.2.4总体离散程度的估计
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很多时候还不能使我们做出有效决策.
问题导入
问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？

通过计算得出：
甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。
从这三个数据来看，两名运动员没有差别。
问题导入
根据以上数据作出条形图，如下：
由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。
即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。
可见，他们的射击成绩是存在差异的。
如何度量这种差异呢？
问题二:那么，如何度量这种差异呢？
我们可以利用极差进行度量。
根据上述数据计算得：
甲的极差= ；
乙的极差= 。
由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。
但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。
也就是说，极差度量出的差异误差较大。
10-4=6
9-5=4
问题导入
10-4=6
9-5=4
接下来我们再来探究问题一：
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
解：我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得
甲=甲=
=
即 ，由此可知，甲的成绩离散程度 ，乙的成绩离散程度 。 由此可以估计， 的成绩稳定。
因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。
如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。
s甲>s乙
乙比甲
问题导入
问题三：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；
相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。
因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。
方差
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即
复习导入
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
S2
标准差：
例：数据为1,2,3,4,5的方差是 ，
标准差是 。
例：数据为1,2,3,4,5的标准差为方差是 ，
标准差是 。
知识1：方差与标准差
2.标准差的表达式：
1.方差的表达式：
知识1：方差与标准差
思考二：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
思考三：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？
标准差和方差是一样的，都刻画了数据的离散程度或波动幅度。
标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。
s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。
但在实际问题中，一般多采用标准差。
新知2：样本和总体的方差和标准差
若总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，
则称为总体方差，为总体标准差.
思想：用样本标准差估计总体标准差
1
2
3
4
4.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是_____.
2
　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：
甲组　60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组　85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
例1
步步高P116
甲组：极差为95－60＝35，
乙组：极差为95－65＝30，
(2)哪一组的成绩较稳定？
从(1)中得，由于乙组的极差、方差小于甲组的方差，
因此乙组的成绩比较稳定.
从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲　25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙　27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
求：(1)哪种玉米苗长得高？
跟踪训练1
(2)哪种玉米苗长得齐？
　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
例2
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
解：
由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
　甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为
跟踪训练2
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
√
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是
A.极差 B.平均数
C.方差 D.标准差
1
2
3
4
平均数是反映数据集中趋势的一项指标，不能反映样本数据的离散程度大小.
√
新知3：平均数、方差、标准差的性质
[引例1]若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1
的平均数为(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
B
新知4：平均数、方差、标准差的性质
[引例2]若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1
的方差为(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
D
新知3：平均数、方差、标准差的性质
数据 平均数 标准差 方差
x1，…，xn s s2
ax1+b，…，axn+b
[练习2]若x1，x2，…，x2017的标准差为3，且yi=﹣3(xi－2)，其中i=1,2,…,2017. 则新数据y1，y2，…，y2017的方差为_____.
[练习1]数据x1，x2，…，x8的平均数为6，标准差为2，则数据2x1+3，2x2+3，…，2x8+3的平均数为_____，方差为_____.
x1，x2，…，x2017的方差为9
15
16
81
y1，y2，…，y2017的方差为(-3)2×9=81
a2s2
|a|s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4
C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.
√
练透P247
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为______.
16
设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为4×64＝256，即标准差为16.
练透P247
巩固：方差和标准差的计算
[练习3]若X1，X2，X3，…，X20这20个数据的平均数为X， 方差为0.2，
X1，X2，X3，…，X20，X这21个数据的方差为_________.
X1，X2，X3，…，X20的平均数：
X1，X2，X3，…，X20的方差：
X1，X2，X3，…，X20，X的方差：
X1，X2，X3，…，X20，X的平均数：
√
练透P247
X1，X2，X3，…，X8的平均数：
X1，X2，X3，…，X8的方差：
X1，X2，X3，…，X8，5的方差：
X1，X2，X3，…，X8，5的平均数：
新知4：分层随机抽样的方差和标准差
分层随机抽样的方差计算：
设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，
两层的平均数分别为，，方差分别为，，
则这个样本的方差为：.
5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中 ，则两个班数学成绩的方差为
A.3 B.2 C.2.6 D.2.5
√
班级 人数 平均数 方差
甲 20 2
乙 30 3
练透P247
10.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.
练透P248
根据题意，全班平均成绩为
则该班学生的方差为
[练习7]甲、乙两只田径队的体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200，乙对体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1 : 4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
例3
学习笔记P118
某中学为研究该校男女学生在生活费(单位：元)支出上的差异，在高一年级400名学生(其中男生220人，女生180人)中随机抽取了22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
跟踪训练3
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.
学习笔记P118
知识5：从直方图估计方差与标准差
方差= 每个小矩形的面积乘以（小矩形底边中点的横坐标-平均数）之和
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ＝______，病人等待时间方差的估计值s2＝______.
8.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25]
频数 4 8 5 2 1
9.5
28.5
＝28.5.
9.甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74　85　86　90　93
乙：76　83　85　87　97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
分层随机抽样的方差：