山西省 2023年普通高中学业水平考试试题
数 学 试 题
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A [3,7),B (4,8]，则 A B （ ）
A．[3,8] B．[4,7] C． (3,8) D． (4,7)
2． 3 i 2 （ ）
A．10 6i B．10 6i C．8 6i D．8 6i
3．命题“ x0 R x2， 0 3x0 2 0”的否定为（ ）
A． x R,x2 3x - 2 = 0 B． x R,x2 3x 2 0
C． x1 R， x21 3x
2
1 2 0 D x R
2 2
． 1 ， x1 3x1 2 0
4．已知向量a 1,1 ，b 2,0 ，则 a 2b （ ）
A． 3,0 B． 3,1 C． 5,0 D． 5,1
5．已知函数 f x 是定义域为R 的奇函数，当 x 0时， f x x 2，则 f 3 （ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
6．函数 y 2x
2
x 0 的最小值为（ ）
x
A 1． 2 B．2 C．2 2 D．4
7．某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为3m．现要在观测台的表面涂一层防水漆，
若每平方米需用0.5kg涂料，则共需要涂料（单位： kg）（ ）
A．1.5π B． 4.5π C．6π D．18π
π 1
8．已知 tan
，则 tan （ ）
4 3
1
A．1 B．2 C 5． D．
5 5
数学试题 第 1页（共 4页）
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
log27169． log 4 的值是（ ）3
2 3
A．1 B． 3 C． D．22
10．函数 f (x)
2
x 1 cos x 的部分图象为（ ） 1 e
A． B．
C． D．
11．已知向量 a 3,4 ， b 4,m ，且 a b a b ，则 b （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x f x 0，f x 1 f x 1 ，当 x 0，1 时，
f x 4x 3则 f log4 80 =（ ）
1 4 1
A． B． C．1 D．
5 5 5
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．函数 f x 1 x ln 2 x 的定义域为__________．
14．函数 y x2 2x， x 2, 2 的值域是_________.
15．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{2,3}中随机选取一个数为b，则b a的概率为_________．
16 f x ex 1．函数 2x 10的零点所在区间为 n,n 1 ,n Z，则 n的值为_________. e 2.71828
数学试题 第 2页（共 4页）
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分）
17．（本小题 10分）
已知函数 f (x) Asin( x ) B
π
的一部分图象如图所示，如果 A 0， 0， ．
2
(1)求函数 f x 的解析式；
x π , π(2)当 时，求函数 f (x)的取值范围． 6 6
18．（本小题 12分）
某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人
员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．
(1)求 a的值；
(2)求所有受灾居民的经济损失的平均值；
(3)现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取 8人，则在[4000,6000)的居
民有多少人．
19.（本小题 12分）
已知箱子内有6张大小相同的卡片，其中 2张金卡， 4张银卡，从中不放回地依次随机抽取 2张，
求下列事件的概率
(1) A “第二次抽到金卡”
(2) B “至少抽到一次金卡”
数学试题 第 3页（共 4页）
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
20．（本小题 12分）
1
在DABC中， a 4，b 5， cosC .8
(1)求DABC的面积；
(2)求 c及 sin A的值.
21.（本小题 12分）
如图,在四棱锥 P－ABCD中,四边形 ABCD是菱形,PA=PC,E为 PB
的中点．求证:
(1) PD //平面 AEC;
(2)平面 AEC⊥平面 PBD．
22.（本小题 12分）
当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品
是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径．某
疫情防护用品生产厂家年投入固定成本150万元，每生产 x(x N )万件，需另投入成本C(x)（万
1 2
元）．当年产量不足60万件时，C(x) x 380x；当年产量不小于 60万件时，
2
C(x) 410x 81000 3000．通过市场分析，若每万件售价为 400万元时，该厂年内生产的防护用
x
品能全部售完．(利润=销售收入－总成本)
(1)求出年利润 L(x)（万元）关于年产量 x(x N )（万件）的解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
数学试题 第 14页（共 4页）
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}参考答案：
1．A
【分析】直接利用并集的定义求解.
【详解】因为集合 A [3,7),B (4,8]，
所以 A B [3,8] .
故选：A
2．C
【分析】利用复数的四则运算即可得解.
【详解】 3 i 2 9 6i i2 8 6i．
故选：C.
3．B
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
2
【详解】命题“ x0 R ， x0 3x0 2 0”为特称量词命题，
其否定为： x R,x2 3x 2 0 .
故选：B
4．D
【分析】根据平面向量的坐标运算可得.
【详解】因为 a 1,1 ，b 2,0 ，所以 a 2b (1,1) 2(2,0) (5,1) .
故选：D
5．B
【分析】利用奇函数性质可得 f 3 f 3 ，将 f 3 代入相应解析式计算即可.
【详解】根据奇函数性质可知 f 3 f 3 ；
而3 0，所以 f 3 3 2 1，
所以 f 3 f 3 1 .
故选：B
6．D
【分析】利用基本不等式运算求解.
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
2
【详解】∵ x 0，则 2x 0, 0，
x
2
∴ y 2x 2 2x 2 2 4，当且仅当 2x ，即 x 1时，等号成立，
x x x
2
故函数 y 2x x 0 的最小值为 4.
x
故选：D.
7．D
【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为 r 3，所以球的表面积为 S = 4πR2 = 36π，又每平方米需用0.5kg涂料，所以
共需36π 0.5 18π kg涂料.
故选：D
8．B
【分析】利用两角差的正切公式即可求解.
tan tan π
tan π 4 tan 1 1【详解】根据两角差的正切公式可得 4
π ； 1 tan tan 1 tan 3
4
解得 tan 2 .
故选：B
9．B
【分析】根据换底公式的结论运算求解.
2
2 log 4
【详解】由题意可得： log log 4 32716 33 3 2 .
log3 4 log3 4 lo g3 4 3
故选：B.
10．C
【分析】由函数的奇偶性，特值法求解即可.
x
【详解】 f (x)
2
1 cos x
1 e
cos x，
1 ex 1 ex
x x
所以 f ( x) 1 e x cos x
e 1
cos x f (x) ，
1 e e x 1
所以 f (x)为奇函数，故排除 A，D；
当 x π时， f (π)
2
π 1 cos π
2
1 π 0，故排除 B； 1 e 1 e
故选：C.
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
11．C
【分析】根据 a b a b ，两边平方后可得 a b 0，求出m的值，进而求出 b
2 2
【详解】 a b a b ，两边平方得 a b a b ，
展开整理得 a b 0 .
a b 3 4 4m 0 ,解得m 3 .
b 42 3 2 5
故选：C
12．D
【分析】根据所给的等式可得 f x 为奇函数且周期为 2，再根据对数的运算求解即可.
【详解】由 f x f x 0可得 f x 为奇函数，又 f x 1 f x 1 ，则
f x 1 f x 1 ，故 f x f x 2 ，故 f x 周期为 2.
故 f log4 80 f log4 16 5 f 2 log4 5
f log4 5 2 f 2 log4 5
2
42 log 5 3 4 3 16 3 1 4 log 5 .4 4 5 5
故选：D
13． 1,2
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于 x的不等式组，由此可解得函数 f x 的定义域.
x 1 0
【详解】对于函数 f x 1 x ln 2 x ，有 ，解得 1 x 2 .
2 x 0
故函数 f x 的定义域为 1,2 .
故答案为： 1,2 .
14． 1,8
2
【分析】配方得 y x 1 1，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】 y x2 2x x 1 2 1，
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
故当 x= 1时， ymin 1；当 x 2时， y
2
max 2 1 1 8 .
故函数 y x2 2x， x 2, 2 的值域是 1,8 .
故答案为: 1,8 .
3
15． /0.3
10
【分析】先求出基本事件 a,b 的总数 15，再由列举法求出b a包含的基本事件 a,b 的个数，
由此能求出b a的概率．
【详解】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{2,3}中随机选取一个数为b，
基本事件 a,b 的总数 n 5 2 10，
则b a包含的基本事件 a,b 有： 1,2 , 1,3 , 2,3 ，共 3个，
3
∴b a的概率是 P .
10
3
故答案为： ．
10
16．1
【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案.
【详解】 f x 在R 上递增，
f 1 e2 8 0, f 2 e3 6 0，
所以 f x 的零点在区间 1,2 ，
所以 n的值为1.
故答案为：1
π
17．(1) f x 2sin 2x 6 2
(2) 1,4
【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出A，B，由周期求出 ，由特殊点求出 ，即可
求得函数解析式；
x π , π π sin 2x π2x （2）由 求出 的范围，再求出 的取值范围，即可求得函数的取 6 6 6 6
值范围.
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
A 4 0【详解】（1）由图象可知， 2 B
4 0
， 2，
2 2
f x T 1 2π 5π π π设 最小正周期为T， ，∴ 2，
4 4 12 6 4
∴ f x 2sin 2x 2，
π
又∵ f 2sin
2
π
2 4 ，且
π
，
6 6 2
2 π π π∴ 2kπ， k Z ，∴ ，
6 2 6
∴函数 f x 的解析式为 f x 2sin 2x
π
2 .
6
2 x
π
（ ）当 ,
π
时， 2x
π π π π 1 ， ， sin 2x ，1 ， 6 6 6 6 2 6 2
∴函数 f x 2sin 2x π
2的取值范围是 1,4 .
6
18．(1)a 0.00009
(2)3360元
(3)6
【分析】（1）根据直方图中频率和为 1列方程求参数；
（2）根据直方图计算平均值；
（3）根据分层抽样的等比例性质求在[4000,6000)的居民数量.
【详解】（1）依题意， 0.00003 2 a 0.00015 0.0002 2000 1，解得a 0.00009．
（2）所有受灾居民经济损失的平均值为
1000 0.3 3000 0.4 5000 0.18 7000 0.06 9000 0.06 3360元．
（3）由（1）得经济损失在 4000,6000 和在 6000,8000 的人数比例为3:1，
3
由分层抽样知，经济损失在 4000,6000 的居民有8 6人.
4
1
19．(1)
3
3
(2)
5
【分析】用列举法写出基本事件空间，利用古典概型公式直接得解.
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
【详解】（1）将 2张金卡编号为1， 2，4张银卡编号为3， 4，5，6，
从中不放回地依次随机抽取 2张，
所有的可能有 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ， 2,1 ， 2,3 ， 2, 4 ， 2,5 ， 2,6 ， 3,1 ，
3,2 ， 3, 4 ， 3,5 ， 3,6 ， 4,1 ， 4, 2 ， 4,3 4,5 ， 4,6 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ，
5,6 ， 6,1 ， 6,2 ， 6,3 ， 6,4 ， 6,5 ，共30种，
其中满足事件A的有 1,2 ， 2,1 ， 3,1 ， 3,2 ， 4,1 ， 4, 2 ， 5,1 ， 5,2 ， 6,1 ， 6,2 ，
共10种，
P A 10 1所以 ；
30 3
（2）满足事件 B的有 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ， 2,1 ， 2,3 ， 2, 4 ， 2,5 ， 2,6 ，
3,1 ， 3,2 ， 4,1 ， 4, 2 ， 5,1 ， 5,2 ， 6,1 ， 6,2 ，共18种，
P B 18 3所有 .
30 5
20 (1)15 7．
4
(2) c 6， sin A 7
4
3 7
【分析】（1）利用平方关系求得 sinC ，应用三角形面积公式求 ABC的面积；
8
（2）余弦公式求 c，再应用正弦定理求 sin A .
【详解】（1）由 cosC
1
且0 C π 3 7，则 sinC ，
8 8
所以 S 1 15 7ABC ab sinC .2 4
（2）由 c2 a2 b2 2abcosC 16 25 5 36，则 c 6，
c a
而 ，则
sinC sin A sin A
asinC 7
.
c 4
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设 AC BD O ,连接 EO ,根据中位线可得 PD∥ EO ,再根据线面平行的判定定
理即可证明;
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
(2)根据 PA PC可得 AC PO ,根据四边形 ABCD为菱形,可得 AC BD ,再根据线面垂直的
判断定理可得 AC 平面 PBD ,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设 AC BD O ,连接 EO ,如图所示:
因为 O,E分别为 BD , PB的中点,所以 PD∥ EO ,
又因为PD 平面 AEC , EO 平面 AEC ,
所以 PD 平面 AEC．
（2）连接 PO ,如图所示:
因为 PA PC ,O为 AC的中点,所以 AC PO ,
又因为四边形 ABCD为菱形,所以 AC BD ,
因为 PO 平面 PBD , BD 平面 PBD ,且 PO BD O ,
所以 AC 平面 PBD ,又因为 AC 平面 AEC ,
所以平面 AEC 平面 PBD．
1 2
x 20x 150, x 60, x N 2
22．(1) L x
2850 81000 10 x
, x 60, x N
x
(2)当年产量为 90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为 1050万元
【分析】（1）根据题意直接利用利润=销售收入－总成本，写出分段函数的解析式即可；
（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个最大的即可.
【详解】（1）当 x 60且 x N时，
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
L(x) 1 1 400x x2 380x 150 x2 20x 150，
2 2
当 x 60且 x N时，
L(x) 400x 410x 81000 3000 150 81000 2850 10x
x x
1 x2 20x 150, x 60, x N
L x 2综上：
2850 10x 81000
,x 60,x N x
1
2 x 60 x N L(x) x2
1
（ ）当 且 时， 20x 150 (x 20)2 50
2 2
∴当 x= 20时， L(x)取最大值 L(20) 50（万元）
x 60 x N L(x) 2850 10x 81000 81000当 且 时， 2850 2 10x 1050
x x
10x 81000当且仅当 ，即 x 90时等号成立．
x
∴当 x 90时， L(x)取最大值 L(90) 1050（万元）
∵50 1050，
综上所述，当年产量为 90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为 1050万元.
{#{QQABJYoAgggoAAJAAQBCEwWQCAKQkhACAIgOBAAcoEAAyQFABCA=}#}
