注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
怀化市2023年上期高二年级期末考试试题
数 学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．线性回归直线必过样本数据的中心点
B．当样本相关系数时，成对数据正相关
C．如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低
4．在，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．通过随机询问200名性别不同的学生是否喜欢某项体育运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
喜欢 125 25 150
不喜欢 35 15 50
总计 160 40 200
则根据列联表可得（ ）
参考公式：独立性检验统计量，其中．
参考数据：
A．有95%以上的把握认为“喜欢该项运动与性别有关”
B．有95%以上的把握认为“喜欢该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“喜欢该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“喜欢该项运动与性别无关”
6．中国是世界上最大的棉花生产国和消费国．新疆、山东、河北、河南是我国排在前四名的棉花产区，5位同学A, B, C, D, E准备在暑假前往上述4个省、区进行与棉花生产有关的研学旅行，要求每个地方至少有一个同学去，且每个同学只去一个省、区，则不同的研学旅行方案有（ ）
A．480 B．240 C．220 D．180
7．函数的大致图象为（ ）
(
A
C
B
D
)
8．设数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
(
第
9
题图
)9． 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
10．投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数．
根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是（ ）
A．第25百分位数为2，极差为4
B．平均数为3.5，第75百分位数为3.5
C．平均数为3，方差为3
D．众数为4，平均数为4.75
11．在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
12．设双曲线：，直线与双曲线的右支交于点，则（ ）
A．双曲线的离心率的最小值为
B．离心率最小时，双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线相交于点，则
D．若，双曲线在点处的切线与两条渐近线相交于点，则为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）
14．某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为___________．
15．口袋里有若干大小完全相同的白、红、黑三种颜色的小球，其中只有1个白球．某同学拟用独立重复实验的方法计算其中红球的数量，有放回地取球30次，每次取2个球，发现取到白球的次数为10，取到1个红球1个黑球次数最多为12，取到2个都是红球的次数最少，则红球的个数为________．
16．已知是方程的一个根，则 ．
四、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本题10分)
设锐角三角形的内角的对边分别为，．
⑴ 求的大小；
⑵ 求的取值范围．
18．(本题12分)
已知为等差数列的前n项和，，．
⑴ 求的通项公式；
⑵ 若，的前n项和为，求．
(
19
题图
C
A
D
E
B
)19．(本题12分)
如图，在三棱锥中，，且，，，是的中点，．
⑴ 求证：平面平面；
⑵ 求平面与平面的夹角的余弦值．
20．(本题12分)
新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分．对而不全得2分，选项中有错误得0分．设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）．在一次模拟考试中：
⑴ 小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
⑵ 小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择．小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个．若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
21．(本题12分)
已知， B，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
⑴ 求曲线的方程；
⑵ 若直线与曲线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求证：的面积为定值．
22．(本题12分)
已知函数，．
⑴ 求曲线在点处的切线方程；
⑵ 当时，存在满足，证明．怀化市 2023 年上学期期末考试
高二数学参考答案与评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C A B B D
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 ABD BD BD BCD
三、填空题
题号 13 14 15 16
答案 160 0.4 2 3
四、解答题
2 2 2 3
17．【解析】⑴由b a c 3ac ,根据余弦定理得 cos B 3分
2
又 B 为锐角三角形 ABC 的内角，得 B 4分
6
5 5
⑵由⑴知 A C ，C A 5分
6 6
5
所以 c o sA s Ci n cAo s s i n A A3 s i n 7分
6 3
0 A
2
由 ABC 为锐角三角形得 A 8分
3 2
A
6 2
2 5 1 3 3 3
所以 A ， sin A ， 3sin A 9分
3 3 6 2 3 2 2 3 2
3 3
故cos A sin C的取值范围为 ( , ) 10分
2 2
a1 3d 9
18．【解析】⑴ 由设数列{an}的公差为d ，则 2分
3a1 3d 15
1
{#{QQABZYCAgggoABIAAAACAwUQCgGQkhECCIgOABAcoEAAyBNABCA=}#}
解得d 2， a1 3 4分
所以an 2n 1 5分
2n 1
⑵ 由an 2n 1，可得bn cos 6分
3
2
数列的周期T 6 7分
3 5 13
所以b1 b2 b6 cos cos cos 0 9分
3 3 3
所以T2023 b1 b2 b2023 b1 337 0 b1 1 12分
19．【解析】⑴ 证明：如图，取 BD 的中点O，连 z
C
CO， EO，得 EO / /AB 1分
又 AB BD ，所以EO BD 2分
设 AB 2 ，则 EO 1，BD 2 3 ，CO 3 ， O D
B y
CE AB 2 3分 E
A x
所以CE 2 CO2 EO2 ，所以EO CO 4分
19题图
又CO BD O，所以 EO 平面BCD 5分
又 EO 平面 ABD ，所以平面 ABD 平面 BCD． 图
注：以下两种证法相应记分
①证 EOD COE，得 COE EOD 90 ；
②由CE EA ED得 DC CA，从而得 AB CD．
⑵ 因为 BC CD，O是 BD 的中点，所以CO BD，⑴中已证EO BD，EO CO，
如图所示，分别以OE, OD, OC 所在的方向为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，
7分
设 AB 2 ，则 A(2, 3, 0) ，D(0, 3, 0)，C(0, 0, 3)，
所以 AD ( 2, 2 3, 0) ，CD (0, 3, 3) 8分
m AD 2x 2 3y 0 x 3y 0
设平面 PCD的法向量为m (x, y, z)，则
m CD 3y 3z 0 y z 0
取m ( 3,1,1) 9分
又平面 BCD的一个法向量为n (1, 0, 0) 10分
m n 3 1 5
所以 c o s m n, 11分
| m | n| | 5 1 5
2
{#{QQABZYCAgggoABIAAAACAwUQCgGQkhECCIgOABAcoEAAyBNABCA=}#}
15
所以，平面 ACD与平面 BCD的夹角的余弦值为 12分
5
20．【解析】记一道多选题“有 2 个选项正确”为事件 A1，“有 3 个选项正确”为事件 A2 ，“小明
该题得 5 分” 为事件 B ，则
1 1 1
⑴ P(B) P(BA1) P(A1) P(B | A1) p 2 ，求得 p 4分 C3 12 4
⑵若小明选择方案①，则小强的得分为 2 分 5分
若小明选择方案②，记小强该题得分为 X ，则 X 0, 2, 5，且
C1 C1 5 2 7 1 17
P X 0 P A 21 P A2
1 = ，
C13 C
1
3 12 3 12 3 36
C1 7 2 14 7 C1
P X 2 P A 2 = ， P X 5 P A 1
5 1 5
2 1 1
= ，
C 13 12 3 36 18 C3 12 3 36
17 14 5 53
所以， E(X ) 0 2 5 8分
36 36 36 36
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y ，则Y 0, 5，且
C2 C1C13 1 2 5 7 2 29P Y 0 P A1 P A2 = ，
C2 23 C3 12 12 3 36
C22 7 1 7 29 7 35P Y 5 P A2 = ，所以，E(Y ) 0 5 11分
C23 12 3 36 36 36 36
因为 E(Y ) E(X ) 2，所以小明应选择方案① 12分
y y 3
21．【解析】⑴设 P(x, y) ，由已知 2分
x 2 2 x 2 2 4
x2 y2
化简得曲线 C的方程为 1(y 0) 4分
8 6
(2) ①直线 l 的斜率不存在时，设 l 的方程为 x m ( 2 2 m 2 2)，
x m 24 3m2 24 3m2
联立 ，解得M m, 2 ， N m, ，
3x 4y
2 24 2 2
2 2
3 24 3m 24 3m 3
由 k OM kON 得 ，即m 2，
4 2m 2m 4
3
{#{QQABZYCAgggoABIAAAACAwUQCgGQkhECCIgOABAcoEAAyBNABCA=}#}
1
所以 | MN | 24 3m2 2 3 ， S OMN | MN || m | 2 3 6分
2
②直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx n，
y kx n
联立 ，消去 y 得 (3 4k
2)x2 8knx 4n22 2 24 0 7分
3x 4y 24
8kn 4n2 24
设M (x1, y1), N(x2 , y2)，则 x1 x2 , x1x 8 分 2
3 4k 2 3 4k 2
2 2
所以 y y (kx n)(kx n) k 2 2
3n 24k
1 2 1 2 x1x2 kn(x1 x2 ) n
3 4k 2
3 y1y2 3n
2 24k 2 3
由 kOM k
2 2
ON 得 ，化简得2 n 4k 3 9分
4 x1x2 4n 24 4
2 8kn 4n
2 24
所以 | MN | (1 k 2 ) (x x )2 1 2 4x1x2 (1 k
2 ) 4 2 2
3 4k 3 4k
4 1 k 2 2
3 8k 2
1 k
6 n2 4 3 10分
3 4k 2 3 4k 2
| n | 4k 2 3
又点O到直线 l 的距离为d 11分
1 k 2 1 k
2
1 1 1 k 2 4k 2 3
所以 S ， OMN | MN | d 4 3 2 3
2 2 3 4k 2 1 k 2
综上， MON 的面积为定值2 3 12分
22．【解析】⑴ f (0) 1，得切点为 (0,1) 1分
又 f (x) (1 a ax)ex ， f (0) 1 a ，所以 k 1 a 2分
所以，切线方程为 y 1 ( 1 a )x，即 y (1 a)x 1 3分
1 1 x 1
⑵ a
x
时，f (x) 1 x e ，由题意设 x (0, )，因为 f (x) 1 x e ，所以 f (x)
2 2 2
y
e
在 (0,1) 上↗，在 (1, )上↘． f (x)max f (1) 4 分
2 y t
1
f (x) 的图象大致如图 1 所示．
x m O 1 x n
1 2 2 x
4
图 1
{#{QQABZYCAgggoABIAAAACAwUQCgGQkhECCIgOABAcoEAAyBNABCA=}#}
e e
因为 f (1) ， f (2) 0，过点 1， ， (2，0)的直线
2 2
e e e
为 y (x 2)，设h(x) (x 2)， g(x) x 1，
2 2 2
显然h(x) 单调递减， g(x) 单调递增 5分
e
设 g(x1) f (m) f (n) h(x2 ) t 1 t ，不妨设0 m 1 n 2 6分
2
e 1 e 1
记 F (x) g(x) f (x) x 1 1 x e
x , x (0,1) ， 则 F (x ) 1 x ex ， 记
2 2 2 2
e 1 1
H (x ) 1 x ex x, ( 0 , 1 ) H ( x) xx， 则 e 0， 得 F (x) 在 在 ( 0 , 1上) ↗ ，
2 2 2
e 1
F (x) F (0) 0 ，所以 F (x) 在 (0,1) 上↗， F (x) F (0) 0 ，所以 0 m 1时，
2 2
F ( m) g( m) f ( m) 0，即 g(m) g(x1) 0，所以 g(m) g(x1) ，得m x1 8分
e 1
记G(x) h(x) f (x) (x 2) 1 x e
x , x (1, 2) ，
2 2
e 1 x (x 1)e
x e (x 1)ex e
则G (x) 1 x e ，记 I (x) , x (0,1) ，
2 2 2 2
1 e e2 e
则 I (x) xe
x 0，得 I (x)在 (1, 2) 上↗，又 I (1) 0， I (2) 0，
2 2 2
所以 x0 (1, 2 )使 I (x0 ) 0 ，且 x (1,x )时， G ( x) I ( x) 00 即 G(x) 单调递减，
x (x , 2) 时，G (x) I (x) 0即G(x)0 单调递增，又G(1) G(2) 0，所以G(x) 0 ，
所以1 n 2时，G(n) h(n) f (n) 0，即h(n) h(x ) 20 ，所以h(n) h(x2) ，得n x2，
10分
所以m n x1 x2 ，
e e e 2
又由 g(x1) h(x2) t 得 x1 1 (x2 2) (x1 x2 ) e 1 x1 x2 2 ，
2 2 2 e
11分
2
所以m n 2 得证 12分
e
5
{#{QQABZYCAgggoABIAAAACAwUQCgGQkhECCIgOABAcoEAAyBNABCA=}#}
