数学 八年级上册
第3节 探索三角形全等的条件(2)
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
证明两条线段相等,经常将它们放到两个三角 3.满足下列哪个条件就能确定△ABC≌△DEF
形当中,然后根据条件证明对应边、对应角相等. ( )
A.AB=DE,∠A=∠E,BC=EF
B.AB=DE,∠C=∠F,BC=EF
如下图,小刘和小王各画了△ABC 和△DEF. C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
D.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
4.如图,已知 AB=AE,AC=AD,只要找出
∠ =∠ 或∠ =∠
,就可证得△ ≌△ .
1.写出这两个三角形对应相等的条件.
如图所示,矩形 中, ,连接
2.△ABC 和△DEF 全等吗 这说明了什么 5. ABCD BE=CF
AF,ED 交于H,则图中的全等三角形有
对,分别是 .
, 如图,点 , , 在同一条直线上,1.如图 已知AB=AE,AC=AD,再需要哪两 6. D A C AB∥
, ,
个角对应相等,就可以应用 SAS判定△ABC≌ CE AB=CD ∠B=∠D.
AED ( 求证
:
△ . ) △ABC≌△CDE.
A.∠A=∠A B.∠C=∠D
C.∠B=∠E D.∠BAC=∠EAD
2.如图所示,AF 是∠BAC 的平分线,∠B=
∠C,则图中全等的三角形有 ( )
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课时培优作业
4.已知:如图,D 是AC 上一点,AB=DA,DE
∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.
1.如图中的△BDC'是将矩形纸片ABCD 沿对
角线BD 折叠得到的.则图中(包括虚、实线)共有
对全等三角形.
2.如图,OA=OB,AC=BD,且OA⊥AC,OB
⊥BD,M 是CD 的中点,求证:OM 平分∠AOB.
1.如图,已知 AC∥BD,AE,BE 分别平分
∠CAB,∠DBA,CD 过 点 E,试 说 明 AB =AC
+BD.
3.如图,已知△ABD,△AEC 都是等边三角 2.如图,在△ABC 中,已知∠BAC=90°,AB
形,AF⊥CD 于F,AH⊥BE 于H,问: =AC,D 为AC 上一点,AE⊥BD 于点E,延长AE
(1)BE 与CD 有何数量关系 为什么 交BC 于点F,连接 DF.若 D 为AC 的中点,则
(2)AF,AH 有何数量关系 ∠ADB=∠CDF 成立吗 请说明理由.
8() 又∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC(SAS),第3节 探索三角形全等的条件 1 ∴∠AEB=∠DEC,BE=CE,
【课堂作业】 ∴∠BEC=∠AED=90°,
,
1.D 2.A 3.C 4.B 5.① 有两边及其夹 ∴BE=CE BE⊥CE.
角对应相等的两个三角形全等 第3节 探索三角形全等的条件(2)
6.证明:∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°. 【课堂作业】
又∵AB=DE,BC=EF, 1.D 2.B 3.D 4.BAC EAD DAC
∴△ABC≌△DEF. EAB ABC AED 5.5 △ABE ≌ △DCF,
【课后作业】 △ABF≌ △DCE,△AHE ≌ △DHF,△AEF ≌
△DFE,1.C 2.SAS △AED≌△DFA
证明: ,
3.证明:∵E 是 BC 的 中 点,∴BE=CE.在 6. ∵AB∥CE ∴∠BAC=∠DCE.
AE=DE, {∠B=∠D
,
在 和 中,
△ABE 和 △DCE 中,{∠1=∠2,∴ △ABE ≌ △ABC △CDE AB=CD, ,BE=CE, ∠BAC=∠DCE
△DCE(SAS),∴AB=DC. ∴△ABC≌△CDE
(ASA).
4.证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+ 【课后作业】
∠EAC,∴∠BAC=∠DAE.在△ABC 和 △ADE 1.4
AB=AD, 2.连接 OC,OD,证△OAC≌△OBD,△OCM
中,{∠BAC=∠DAE,∴△ABC≌△ADE,∴∠B ≌△ODM,AC=AE, 可得∠AOC=∠BOD,∠COM=∠DOM.所以
=∠D. ∠AOM=∠BOM.即OM 平分∠AOB.
5. (1)① 证 明:在 △ABC 和 △ADC 3.(1)因为△ABD,△AEC 都是等边三角形,
AB=AD, 所以AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC,
中,{AC=AC, 所以∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即BC=DC, ∠DAC=∠BAE,
∴△ABC≌△ADC. 在△DAC 和△BAE 中,AD=AB,∠DAC=
② 证 明:∵ △ABC ≌ △ADC,∴ ∠BAO = ∠BAE,AC=AE,
∠DAO,AB =AD,又 ∵AO =AO,∴ △ABO ≌ 所以△DAC≌△BAE,所以 DC=BE,即 BE
△ADO,∴OB=OD,AC⊥BD. =CD.
(2)筝 形 ABCD 的 面 积=△ABC 的 面 积+ (2)由△DAC≌△BAE 得S△DAC=S△BAE,
1 1 DC×AF BE×AH
△ACD 的面积=2×AC×BO+2×AC×DO=
即
2 =
,
2
1 1 又因为DC=BE,所以AF=AH.
2×AC×BD=2×6×4=12. 4.证明:∵DE∥AB,∴∠CAB=∠EDA.
【新题看台】 ∠CAB=∠EDA,
1.证明:在△AOD 和△COB 中,∵OA=OC, 在△ABC 和△DAE 中,∵{AB=DA,
OD=OB,且∠AOD=∠COB, ∠B=∠DAE,
∴△AOD≌△COB,∴∠A=∠C,∴AD∥BC. ∴△ABC≌△DAE(ASA),∴BC=AE.
2.解:BE=CE,BE⊥CE. 【新题看台】
证明:∵AC=2AB,D 是AC 的中点, 1.证明:如图,在 AB 上 截 取AF=AC,连 接
∴AB=AD=DC. EF,在△ACE 和△AFE 中,AC=AF,∠1=∠2,
∵∠EAD=∠EDA=45°, AE=AE.
∴∠EAB=∠EDC=135°. 所以△ACE≌△AFE(SAS),∴∠C=∠5(全
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等三角形对应角相等), ∴ △ABC≌△DEF.
又因为AC∥BD(已知), 【课后作业】
所以∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角 1.A 2.B 3.D 4.∠C=∠E(答案不唯一,
互补), 也可以是AB=FD 或AD=FB) 5.6
又因为∠5+∠6=180°, 6.(1)BD=CD(或点 D 是线段BC 的中点),
所以∠D=∠6(等角的补角相等). FD=ED,CF=BE(任选一个即可)
{∠3=∠4
, (2)以 BD=CD 为例进行证明:∵CF∥BE,
在△FBE 和△DBE 中,BE=BE, ∴∠FCD = ∠EBD.又 ∵BD =CD,∠FDC =
∠6=∠D, ∠EDB,∴△BDE≌△CDF.
所以△FBE≌△DBE, 7.∵MN 平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN.
所以FB=DB, ∵MN⊥AC,∴∠MNA=∠MNC=90°,
所以AB=AC+BD.
{∠AMN=∠CMN
,
在△AMN 和△CMN 中,MN=MN,
∠MNA=∠MNC,
∴△AMN≌△CMN(ASA).
∴AN=CN,AM=CM,∵AN=2cm,∴AC=
2AN=4cm,而△ABM 的周长为9cm,∴△ABC
2.∠ADB=∠CDF 成立.理由:如图,过点A 作 的周长为9+4=13(cm).
AG 平分∠BAC,交BD 于点G, 【新题看台】
1.∠BDE=∠BAC(或 BE=BC 或∠ACB=
∠DEB 等)(写出一个即可)
2.(1)结论1:如果①,②,那么③;结论2:如果
①,③,那么②.
∴∠GAB=∠CAG=∠C=45°. (2)结论1的证明:∵AE∥DF,∴∠A=∠D,
∵AE⊥BD,∴∠ABE+∠BAE=90°. ∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即 AC=DB,
∵∠CAF+∠BAE=90°,∴∠ABE=∠CAF. 在△AEC 和△DFB 中,∵∠E=∠F,∠A=∠D,
又∵AB=AC,∴△ABG≌△CAF(ASA),∴ AC=DB,∴△AEC≌△DFB(AAS),∴CE=BF
AG=CF. (全等三角形对应边相等).
∵D 是AC 的中点,∴AD=CD. 结论2的证明:∵AE∥DF,∴∠A=∠D,在
又∵∠GAD=∠C=45°,∴△AGD≌△CFD △AEC 和△DFB 中,∵∠E=∠F,∠A=∠D,CE
(SAS), =BF,∴△AEC≌△DFB(AAS),∴AC=DB(全等
∴∠ADB=∠CDF. 三角形对应边相等),则AC-BC=DB-BC,即AB
() =CD.第3节 探索三角形全等的条件 3
第3节 探索三角形全等的条件(4)
【课堂作业】
1.B 2.D 3.ABD ACD 4.3 【课堂作业】
5.证 明:∵ ∠1= ∠2,∠ABC = ∠DCB,∴ 1.D 2.D 3.C 4.全等 AAS 5.①②③
∠DBC= ∠ACB,又 ∵BC =CB,∴ △ABC ≌ 6.先证△ADE≌△CFE,所以AE=CE.
△DCB.∴AB=DC. 7.证明:∵ME∥BC,∴∠B=∠MED.
6.相等.只要证明△ABC≌△DCB 即可. ∵DM⊥AB,∴∠MDE=90°.
7.证明:∵AB∥DE,∴ ∠B=∠DEF. ∵∠C=90°,∴∠C=∠MDE.
∠B=∠DEF, 又∵AC=MD,∴△ABC≌△MED(AAS).
在△ABC 和△DEF 中,{∠A=∠D, 【课后作业】BC=EF, 1.6 2.AD =AE ∠B = ∠C ∠ADC
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