数学 八年级上册
第4节 线段、角的轴对称性(4)
在综合应用角平分线和线段的垂直平分线的
性质的时候,不要再去用全等的性质来解题了,少
走了许多弯路. 3.M 是∠ABC 的平分线BD 上任意一点,M 到
AB 的距离是5cm,则M 到CB 的距离是 ( )
A.3cm B.4cm
在图中,先用三角尺度量点P 到∠AOB 两边 C.5cm D.6cm
的距 离,看 它 们 是 否 相 等;再 用 直 尺 和 圆 规 作 4.如 图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平 分
∠AOB 的平分线OT,看点P 是否在OT 上. ∠BAC,BC=30,BD∶CD=3∶2,则点D 到AB
的距离为 ( )
结论: A.18 B.12
由此得到:角的内部到角的两边距离相等的 C.15 D.不能确定
点,在 . 5.如图,OP 平分∠AOB,PC⊥OA 于C,PD
几何语言:∵ , ⊥OB 于D,则PC 与PD 的大小关系是 ( )
∴ .
你能用几何说理的方法说明这个结论吗
A.PC>PD B.PC=PD
C.PC
6.已知:如图,OP 是∠AOB 的平分线,M 为
1.如图,OM 是∠AOB 的平分线,MA⊥OA,
, , OP
上一点,E,F 是OA 上任意两点,C,D 是OB 上
交OA 于A MB⊥OB 交OB 于B,如果∠AOB=
任意两点,且 ,试比较 与
120°,则∠AMO= ,∠BMO= ,
EF=CD △EFM △CDM
的面积大小.
∠AMB= .
2.如图,已知在△ABC 中,BD,CE 分别平分
∠ABC,∠ACB,且BD,CE 交于点O,过O 作OP
⊥BC 于P,OM ⊥AB 于 M,ON⊥AC 于 N,则
OP,OM,ON 的大小关系为 .
3 7
课时培优作业
5.如图,在△ABC 中,BD⊥AC 于点D,AE
平分∠BAC,交BD 于点F,∠ABC=90°.
1.如图,已知:OD 平分∠AOB,在OA,OB 边 (1)若BC=80cm,BE∶EC=3∶5,求点E 到
上取OA=OB,PM⊥BD 于M,PN⊥AD 于N. AC 的距离.
求证:PM=PN. (2)你能说明∠BEF=∠BFE 的理由吗
2.如图,某市有一块由三条马路围成的三角形
绿地,现准备在其中建一小亭供人们小憩,使小亭中
心到三条马路的距离相等,试确定小亭中心的位置.
1.如图所示的两个三角形关于某条直线对称,
∠1=110°,∠2=46°,则x= .
3.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 是BC 的
中点,且DE⊥AB,DF⊥AC,E,F 为垂足.
求证:AD 平分∠BAC.
2.如图所示,有一名民警在值班,他位于到平
行的大街两侧以及过街天桥AB 的距离相等的点P
处.此时,这位民警发现有一可疑分子从天桥A 处
走向B 处,请问民警在注视可疑分子从A 处走到B
处时,他的视线转过了多大角度
4.如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上
一点,PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E,F 是OC
上除点P,O 外的任一点,连接DF,EF,则DF 与
EF 的数量关系如何 并证明你的结论.
3 8∠BAD,DE⊥AD,EF⊥AB,∴DE=FE.∵E 是
DC 的中点,∴DE=CE,∴CE=EF.∵EC⊥BC,
EF⊥AB,∴ ∠C = ∠EFB =90°,∵BE =BE,
∴Rt△BEF≌Rt△BEC(HL),∴BF=BC,∵AB=
AF+BF,∴AD+BC=AB.
【课后作业】
【新题看台】
1.A 2.D 3.(1)AD CD (2)AB CB
1.70 2.10.5 12
4.4 5.
第4节 线段、角的轴对称性(2) 5
6.证明:∵BD 平分∠ABC,DC⊥BC,DE⊥AB.
【课堂作业】 ∴DE=DC.
1.D 2.D 3.C 4.11 5.3∶1 6.略 ∠AED=∠FCD=90°,
【 在课后作业】 △ADE 和△FDC 中,{DE=DC,∠ADE=∠FDC,
1.D 2.C 3.B 4.6 40° 5.10 6.120° ∴△ADE≌△FDC(ASA),∴AE=FC.
7.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠F=∠DAE. 7.5.5
∵E 为CD 的中点,∴CE=DE. 【新题看台】
∠F=∠DAE,
在△FEC 和△AED 中,{∠FEC=∠AED, 1.2 2.4CE=DE, 第4节 线段、角的轴对称性(4)
∴△FEC≌△AED(AAS),∴CF=DA,即CF
=AD. 【课堂作业】
(2)BC=6 1.30° 30° 60° 2.OP=OM=ON 3.C
1 4.B 5.B
8.(1)20° (2)35° (3)∠NMB=2∠A
(4) 6.S△EFM=S△CDM .
无需修改 理由:作 MN⊥OA 于N,MH⊥OB 于H.
【新题看台】 ∵OP 平分∠AOB,MN⊥OA,MH⊥OB,
1.A ∴MN=MH
,
1
2.略 ∴S△EFM= ·EF·2 MN
,
第4节 线段、角的轴对称性(3) 1S△CDM= ·2CD MH.
【课堂作业】 又∵EF=CD,∴S△EFM=S△CDM .
1.B 2.1.5cm 3.8 4.4 5.AD=AB,DO 【课后作业】
=BO,DC=BC ∠ABC BD 1.证明:∵OD 平分∠AOB,∴∠1=∠2.
6.已知:PD⊥OA,PE⊥OB ,
求证:PD=PE 在△OBD 和△OAD 中,
: , , {
OB=OA
∠1=∠2,
证 明 ∵PD ⊥OA PE ⊥OB ∴ ∠PDO = OD=OD,
∠PEO=90°. ∴△OBD≌△OAD(SAS),∴∠3=∠4.
{∠PDO=∠PEO
, ∵PM⊥BD,PN⊥AD,∴PM=PN.
在△PDO 和△PEO 中,∠POD=∠POE, 2.如下图所示.
OP=OP,
∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.
7.AD+BC=AB,过E 作EF⊥AB 于F,连接
BE,∵DC⊥BC,∴∠C=90°.∵AD∥BC,∴∠C+
∠D=180°,∴∠D=90°,∴DE⊥AD.∵AE 平分
·8·
分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P, 1 1
即∠PBA=2∠EBA
,∠PAB=2∠FAB.点P 即为所求.
3.证明:∵D 是BC 的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AF,∴∠EBA+∠FAB=180°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD 1∴∠PBA+∠PAB= (2 ∠EBA+∠FAB
)
=90°.
, =90°.
在△BED 和△CFD 中,{∠BED=∠CFD, ∴∠APB=180°-(∠PBA+∠PAB)=180°-∠B=∠C 90°=90°,即民警的视线转过的角度为90°.BD=CD,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴ED=FD. 第5节 等腰三角形的轴对称性(1)
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD 平分∠BAC. 【课堂作业】
4.DF=EF.
证明:∵OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上一 1.A 2.44 3.(1)40° (2)30°,120°或75°,75°
, , , (3)40°,40° (4) () , ,点 PD⊥OA PE⊥OB 2cm 56cm 6cm 或8cm
∴PD =PE,∠DOP = ∠EOP,∠ODP = 4cm 4.
(1)∠CAD CD 三线合一 (2)AD BC
∠OEP=90°. CD
三线合一 (3)AD BC ∠CAD 三线
合一
∵∠DPF 是△ODP 的外角,∠EPF 是△OEP
5.设∠B=x°,∵AD=BD,, ∴∠1=∠B=x°
,
的外角
, ∠3=∠1+∠B=2x°.∵AC=CD
,∴∠2=∠3=
∴ ∠DPF = ∠DOP + ∠ODP ∠EPF =
, 2x°.∵AB=AC
,∴∠C=∠B=x°,∴∠BAC=∠1
∠EOP+∠OEP
+∠2=3x°,由三角形内角和∠B+∠BAC+∠C=
∴∠DPF=∠EPF.
180°,得5x=180,∴x=36,∴∠BAC=3x°=108°.
{PD=PE
,
6.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD=
在△DPF 和△EPF 中,∠DPF=∠EPF, CD,∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,即
PF=PF, ∠3=∠4.
∴△DPF≌△EPF(SAS),∴DF=EF. 【课后作业】
5.(1)如图所示,过点E 作EG⊥AC,垂足为G.
1.35° 40°或100° 2.3 3.B 4.D 5.C
6.B 7.6cm,2cm或4cm,4cm
8.(1)∵△ABD 是等腰直角三角形,∠BAD=
90°,∴∠ABD=45°.
∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=70°,
∴∠DBC=70°+45°=115°.
∵BE∶EC=3∶5,BC=80cm, (2)证明:∵△ABD 和△ACE 均是等腰直角三
3 3
∴BE=8BC=8×80=30
(cm). 角形,
∴∠BAD = ∠CAE =90°,∠ABD = ∠ACE
∵AE 平分∠BAC,∠ABC=90°,EG⊥AC, =45°.
∴BE=EG,∴EG=30cm. 又∵AB=AC,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴
(2)∵AE 平分∠BAC,∴∠1=∠2. BD=CE.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC, 9.75°
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,∴∠3=∠4. 10.设∠A=x°,∵AD=BD,∴∠1=∠A,
∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,即∠BEF=∠BFE. ∴∠2=∠1+∠A=2x°,∵BD=BC,∴∠C=∠2
【新题看台】 =2x°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x°,由三角形
1.24° 内角和可知:∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=
2.连接PA,PB. 180,解得x=36,∴∠A 的度数为36°.
∵点P 到BE,AF,AB 的距离相等, 【新题看台】
∴PA,PB 分别是∠FAB,∠EBA 的角平分线, 1.C
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