分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P, 1 1
即∠PBA=2∠EBA
,∠PAB=2∠FAB.点P 即为所求.
3.证明:∵D 是BC 的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AF,∴∠EBA+∠FAB=180°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD 1∴∠PBA+∠PAB= (2 ∠EBA+∠FAB
)
=90°.
, =90°.
在△BED 和△CFD 中,{∠BED=∠CFD, ∴∠APB=180°-(∠PBA+∠PAB)=180°-∠B=∠C 90°=90°,即民警的视线转过的角度为90°.BD=CD,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴ED=FD. 第5节 等腰三角形的轴对称性(1)
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD 平分∠BAC. 【课堂作业】
4.DF=EF.
证明:∵OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上一 1.A 2.44 3.(1)40° (2)30°,120°或75°,75°
, , , (3)40°,40° (4) () , ,点 PD⊥OA PE⊥OB 2cm 56cm 6cm 或8cm
∴PD =PE,∠DOP = ∠EOP,∠ODP = 4cm 4.
(1)∠CAD CD 三线合一 (2)AD BC
∠OEP=90°. CD
三线合一 (3)AD BC ∠CAD 三线
合一
∵∠DPF 是△ODP 的外角,∠EPF 是△OEP
5.设∠B=x°,∵AD=BD,, ∴∠1=∠B=x°
,
的外角
, ∠3=∠1+∠B=2x°.∵AC=CD
,∴∠2=∠3=
∴ ∠DPF = ∠DOP + ∠ODP ∠EPF =
, 2x°.∵AB=AC
,∴∠C=∠B=x°,∴∠BAC=∠1
∠EOP+∠OEP
+∠2=3x°,由三角形内角和∠B+∠BAC+∠C=
∴∠DPF=∠EPF.
180°,得5x=180,∴x=36,∴∠BAC=3x°=108°.
{PD=PE
,
6.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD=
在△DPF 和△EPF 中,∠DPF=∠EPF, CD,∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,即
PF=PF, ∠3=∠4.
∴△DPF≌△EPF(SAS),∴DF=EF. 【课后作业】
5.(1)如图所示,过点E 作EG⊥AC,垂足为G.
1.35° 40°或100° 2.3 3.B 4.D 5.C
6.B 7.6cm,2cm或4cm,4cm
8.(1)∵△ABD 是等腰直角三角形,∠BAD=
90°,∴∠ABD=45°.
∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=70°,
∴∠DBC=70°+45°=115°.
∵BE∶EC=3∶5,BC=80cm, (2)证明:∵△ABD 和△ACE 均是等腰直角三
3 3
∴BE=8BC=8×80=30
(cm). 角形,
∴∠BAD = ∠CAE =90°,∠ABD = ∠ACE
∵AE 平分∠BAC,∠ABC=90°,EG⊥AC, =45°.
∴BE=EG,∴EG=30cm. 又∵AB=AC,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴
(2)∵AE 平分∠BAC,∴∠1=∠2. BD=CE.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC, 9.75°
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,∴∠3=∠4. 10.设∠A=x°,∵AD=BD,∴∠1=∠A,
∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,即∠BEF=∠BFE. ∴∠2=∠1+∠A=2x°,∵BD=BC,∴∠C=∠2
【新题看台】 =2x°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x°,由三角形
1.24° 内角和可知:∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=
2.连接PA,PB. 180,解得x=36,∴∠A 的度数为36°.
∵点P 到BE,AF,AB 的距离相等, 【新题看台】
∴PA,PB 分别是∠FAB,∠EBA 的角平分线, 1.C
·9·
2.证明:(1)∵AB=AC,D 是BC 的中点, AB=AE,AP=AQ,∠ABE= ∠BAE= ∠PAQ
∴AD⊥BC,即AD 垂直平分BC. =60°,
∵点E 在AD 上,∴BE=CE. ∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE,
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AC,∴△ABF 为等腰 即∠BAP=∠EAQ.
直角三角形, AB=AE,
∴AF=BF. 在△BAP 和△EAQ 中,∠BAP=∠EAQ,
∵AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°. {AP=AQ,
∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°, ∴△BAP≌△EAQ(SAS),∴∠AEQ=∠ABP
∴∠EAF=∠CBF. =90°.
在△AEF 和△BCF 中, (2)EF=BF.
{∠EAF=∠CBF
, 理由:∵△ABE 是 等 边 三 角 形,∴∠ABE=
AF=BF, ∠AEB=60°.
∠AFE=∠BFC=90°, ∵∠ABC=90°=∠AEQ,∴∠BEF=180°-
∴△AEF≌△BCF(ASA). 90°-60°=30°,∠EBF=90°-60°=30°,
第5节 等腰三角形的轴对称性(2) ∴∠BEF=∠EBF,∴EF=BF.
【 第 节 等腰三角形的轴对称性()课堂作业】 5 3
1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 【课堂作业】
6.等腰三角形,∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2= 1.C 2.等腰直角 3.12 4.30° 60°
∠C,又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC. 5.∵BE,CF 分别是AC,AB 边上的高,D 是
7.8cm BC 边上 的 中 点,∴BC=2DE,BC=2DF,∴DE
8.∵∠1=∠2,BD=CE,AB=AC,∴△ABD =DF.
≌△ACE,∴AE=AD,∠EAD=∠BAC=60°,即 【课后作业】
△ADE 是等边三角形.
【 】 1.C 2.A 3.D课后作业
1.30° 110° 2.△ABD,△ACE,△BCD, 4.(1)∵E 是Rt△ADB 斜边上中点,连接DE,
△CEB,△ABC,△OBC,△BOE,△COD 3.△ABC, 1
△AEF,△OBC,△EBO,△FOC 4.A 5.D 则DE= 2AB=BE
,因为 DC=BE,所以 DE=
6.A 7.5 DC.又因为DG⊥CE,所以G 为CE 的中点.
8.证明:∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线, (2)因 为 DE=DC,所 以∠DEC=∠1.因 为
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. ∠EDB=∠DEC+∠1,所以∠EDB=2∠1.
又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C ∵∠B = ∠EDB,所 以 ∠B =2∠1,即 ∠B
=90°, =2∠BCE.
∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD. 5.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,M,N 分别为
9.证 明:连 接 BC,∵AB=AC,∴∠ABC= AC,BD 的中点,∴AC=2BM,AC=2DM,∴BM
∠ACB,又∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB, =DM.
∴BF=CF. (2)∵BM=DM,又∵N 是BD 的中点,∴MN
10.∵AD⊥BC,∴∠4+∠5=90°.∵∠BAC= ⊥BD.
90°,∴∠3+∠1=90°.∵BE 平分∠ABC,∴∠3= 6.△ABC 是直角三角形,∵AD=BD=CD,
∠4,∴∠5=∠1.∵∠5=∠2,∴∠1=∠2,∴AE ∴∠A=∠ACD,∠B= ∠DCB,∵ ∠A+ ∠B+
=AF. ∠ACD+∠BCD=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°.
【新题看台】 从中得到结论:如果三角形一边上的中线等于
1.2 这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
2.(1)∵△ABE 和△APQ 都是等边三角形,∴ 7.证明:(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,
·10·数学 八年级上册
第5节 等腰三角形的轴对称性(1)
3.(1)等腰三角形的一个底角是70°,则它的顶
角是 ;
(1)等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角 (2)等腰三角形的一个角是30°,则它的另外两
的平分线所在的直线,或底边上的中线所在的直 个角分别为 ;
线,或底边上的高所在的直线,不能说对称轴是顶 (3)等腰三角形的一个角是100°,则它的另外
角的平分线,或底边上的中线,或底边上的高,因为 两个角分别为 ;
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边 (4)等腰三角形的周长是10cm,腰长是4cm,
上的高都是线段. 则底边长为 ;
(2)已知等腰三角形的边,若没有指明是腰或 (5)等腰三角 形 的 周 长 是20cm,一 边 长 是
底,则必须依据三角形的三边关系分情况讨论;已 8cm,则其他两边长为 .
知等腰三角形的角,若没有指明是顶角或底角,则 4.如图,在△ABC 中,AB=AC.
必须依据三角形的内角和分情况讨论;遇到等腰三
角形的高应注意考虑是腰上的高还是底边上的高,
是在等腰三角形的内部还是外部.
(3)利用等腰三角形可以说明图形的有关角相
等,或线段相等,或线段垂直关系等. (1)若AD⊥BC,则∠BAD= ,BD
= ,理由是 ;
(2)若∠BAD=∠CAD,则 ⊥ ,
预学课本,思考:
BD= ,理由是 ;
1.什么样的三角形是等腰三角形 (3)若 BD=CD,则 ⊥ ,
∠BAD= ,理由是 .
2.它有什么性质呢 5.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,若
AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC 的度数.
3.将一个等腰三角形沿顶角的平分线对折,你
有什么发现 由此你可以得到什么结论
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
BD 是AC 边上的高,则∠DBC 的度数是 ( )
A.18° B.24° 6.如图,已知:AB=AC,DB=DC.试说明:∠3
C.30° D.36° =∠4.
第1题 第2题
2.如图,已知 AB∥CD,AB=AC,∠ABC=
68°,则∠ACD= °.
3 9
课时培优作业
9.如图,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE
=EF,求∠FEN 的度数.
1.在△ABC 中,BC=AC,与∠C 相邻的外角
为70°,则∠A= ;若等腰三角形的一个外
角等于140°,则它的顶角为 .
2.周长为13,边长为整数的等腰三角形共有
个.
3.若等腰三角形的一个内角等于92°,则另两
个角的度数分别是 ( )
A.92°,16°
B.44°,44°
10.如图,已知:△ABC 中,AB=AC,D 是AC
C.92°,16°或44°,44°
上一点,且AD=BD=BC.求∠A 的度数.
D.46°,46°
4.等腰三角形的一边长是10,另一边长是7,则
它的周长是 ( )
A.27 B.24
C.17 D.27或24
5.Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若要在
直线BC 或者直线AC 上取一点P,使△PAB 是等
腰三角形,则符合条件的点P 有 ( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
6.等腰三角形的两个外角的度数比为2∶5,则
它的顶角的度数是 ( )
1.已知等腰 中, 于点 ,且A.40° B.120° △ABC AD⊥BC D
C.140° D.40°或140° 1AD= BC,则△ABC 底角的度数为 (2
)
7.如果等腰三角形的一边长为6cm,周长为
A.45° B.75°
14cm,那么另外两边的长分别为 .
C.45°或75° D.60°
8.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=40°,
2.如图①,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的
分别以AB,AC 为边作两个等腰直角三角形ABD
中点,点E 在AD 上.
和ACE,使∠BAD=∠CAE=90°. (1)求证:BE=CE;
(1)求∠DBC 的度数; (2)如图②,若BE 的延长线交AC 于点F,且
(2)求证:BD=CE.
BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件
不变.求证:△AEF≌△BCF.
4 0
