2.证明:(1)∵AB=AC,D 是BC 的中点, AB=AE,AP=AQ,∠ABE= ∠BAE= ∠PAQ
∴AD⊥BC,即AD 垂直平分BC. =60°,
∵点E 在AD 上,∴BE=CE. ∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE,
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AC,∴△ABF 为等腰 即∠BAP=∠EAQ.
直角三角形, AB=AE,
∴AF=BF. 在△BAP 和△EAQ 中,∠BAP=∠EAQ,
∵AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°. {AP=AQ,
∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°, ∴△BAP≌△EAQ(SAS),∴∠AEQ=∠ABP
∴∠EAF=∠CBF. =90°.
在△AEF 和△BCF 中, (2)EF=BF.
{∠EAF=∠CBF
, 理由:∵△ABE 是 等 边 三 角 形,∴∠ABE=
AF=BF, ∠AEB=60°.
∠AFE=∠BFC=90°, ∵∠ABC=90°=∠AEQ,∴∠BEF=180°-
∴△AEF≌△BCF(ASA). 90°-60°=30°,∠EBF=90°-60°=30°,
第5节 等腰三角形的轴对称性(2) ∴∠BEF=∠EBF,∴EF=BF.
【 第 节 等腰三角形的轴对称性()课堂作业】 5 3
1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 【课堂作业】
6.等腰三角形,∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2= 1.C 2.等腰直角 3.12 4.30° 60°
∠C,又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC. 5.∵BE,CF 分别是AC,AB 边上的高,D 是
7.8cm BC 边上 的 中 点,∴BC=2DE,BC=2DF,∴DE
8.∵∠1=∠2,BD=CE,AB=AC,∴△ABD =DF.
≌△ACE,∴AE=AD,∠EAD=∠BAC=60°,即 【课后作业】
△ADE 是等边三角形.
【 】 1.C 2.A 3.D课后作业
1.30° 110° 2.△ABD,△ACE,△BCD, 4.(1)∵E 是Rt△ADB 斜边上中点,连接DE,
△CEB,△ABC,△OBC,△BOE,△COD 3.△ABC, 1
△AEF,△OBC,△EBO,△FOC 4.A 5.D 则DE= 2AB=BE
,因为 DC=BE,所以 DE=
6.A 7.5 DC.又因为DG⊥CE,所以G 为CE 的中点.
8.证明:∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线, (2)因 为 DE=DC,所 以∠DEC=∠1.因 为
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. ∠EDB=∠DEC+∠1,所以∠EDB=2∠1.
又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C ∵∠B = ∠EDB,所 以 ∠B =2∠1,即 ∠B
=90°, =2∠BCE.
∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD. 5.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,M,N 分别为
9.证 明:连 接 BC,∵AB=AC,∴∠ABC= AC,BD 的中点,∴AC=2BM,AC=2DM,∴BM
∠ACB,又∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB, =DM.
∴BF=CF. (2)∵BM=DM,又∵N 是BD 的中点,∴MN
10.∵AD⊥BC,∴∠4+∠5=90°.∵∠BAC= ⊥BD.
90°,∴∠3+∠1=90°.∵BE 平分∠ABC,∴∠3= 6.△ABC 是直角三角形,∵AD=BD=CD,
∠4,∴∠5=∠1.∵∠5=∠2,∴∠1=∠2,∴AE ∴∠A=∠ACD,∠B= ∠DCB,∵ ∠A+ ∠B+
=AF. ∠ACD+∠BCD=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°.
【新题看台】 从中得到结论:如果三角形一边上的中线等于
1.2 这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
2.(1)∵△ABE 和△APQ 都是等边三角形,∴ 7.证明:(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,
·10·
∴∠C=∠D=90°. 3 2
在Rt△ACB 和Rt△BDA 中, 7.
探究1:由等边三角形的性质知:S1=4a
,
AB=BA,AC=BD, 3 2, 3 2,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL), S2=4b S3=4c
∴BC=AD. 3
( ) 则 (
2 2),因为 2
2 ∵Rt△ACB ≌Rt△BDA,∴ ∠CAB = S1+S2=4 a +b a +b
2=c2,所
∠DBA,∴OA=OB,即△OAB 是等腰三角形. 以S1+S2=S3.
【新题看台】 探究2:由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 知:S1=
1.C 1 2, 1 1
4a S2=4b
2,S3= c2.
2.证明:
4
过点O 分别作OE⊥AB 于点E,OF⊥
1
AC 于点F. 则S +S = (a2+b21 2 ),因为a24 +b
2=c2,所
∵AO 平分∠BAC,∴OE=OF. 以S1+S2=S3.
∵∠1=∠2,∴OB=OC. 1 2
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL), 探究3:由圆的面积计算公式知:S1= ,8πa
∴∠EBO=∠FCO, 1 2 1 2
∴∠1+∠EBO=∠2+∠FCO, S2= ,8πb S3=8πc
,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, 1
则S1+S = π(a2+b2),因为a2+b2=c22 ,所∴△ABC 是等腰三角形. 8
以S
3 1
+S2=S3.
第 章 勾股定理
【新题看台】
第1节 勾股定理(1) 1.B
2.(1)图乙、图丙中①②③都是正方形.易得①
【课堂作业】 是以a为边长的正方形,②是以b为边长的正方形,
1.C 2.C 3.B 4.D 5.5 6.9 61 ③的四条边长都是c,且每个角都是直角,所以③是
7.x=20 S=30 8.(1)a=45,b=60 (2)540 以c为边长的正方形.
(3)a=30,c=34 (4)12 (2)图中①的面积为a2,②的面积为b2,③的面
【课后作业】 积为c2.
()图中 面积之和为 2 2
1.D 2.5 3.8cm 4.8 5.60 6.100米 3 ①② a +b .
2 2 2, , (4)图中①②面积之和等于③的面积 因为图7.∵5+12=AB ∴AB=13 .
( ) 乙、图丙都是以a+b为边长的正方形,它们的面积∴旗杆折断之前高度为5+13=18m .
相等,①②的面积之和与③的面积都等于(a+b)2减【新题看台】
去四个Rt△ABC 的面积.由此可得:任意直角三角
1.A 2.2 形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.
第1节 勾股定理(2) 第2节 勾股定理的逆定理
【课堂作业】 【课堂作业】
1( 1 11.2 a+b
)·(a+b) 2ab×2+ 2c
2 11.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.4×2ab
1(a+b)·(a+b)
1 1 2 2
= ab×2+ c2 2.2.5 (b-a) c 7.3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;2 2 2 7,24,25
3.30 4.4.8 5.25 8.∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵在
【课后作业】 Rt△ACD 中,∠ADC=90°,AD=9,CD=3,∴AC2
1.B 2.C 3.D 4.12 5 13 5.B =AD2+CD2=92+32=90.∵在 Rt△BCD 中,
6.49cm2 ∠BDC=90°,BD=1,CD=3,∴BC2=BD2+CD2
·11·课时培优作业
第5节 等腰三角形的轴对称性(3)
直角三角形斜边上的中线与其斜边的长之间 1.在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,CD
的倍半关系既可以得到相应的等腰三角形,又可以 是AB 边上的中线,则CD 的长是 ( )
解决几何图形中的有关线段的倍半关系问题. A.20 B.10
5
C.5 D.2
1. 的三角形是等边三角形或 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
. BD,CE 分别是∠ABC,∠BCD 的平分线,则图中
2.等边三角形除具有等腰三角形的一切性质 的等腰三角形有 ( )
外,还有特殊性质: A.5个 B.4个
(1)等边三角形是 图形,并且有 C.3个 D.2个
条对称轴.
(2)等边三角形的每个角都等于 度.
3.等边三角形的识别方法:三个角都
的三角形是等边三角形;两个角都等于60°的三角
形是 ;有一个角是 的等腰三角形
第2题 第3题
是等边三角形. 3.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平
分线相交于点E,过点E 作MN∥BC 交AB 于点
M,交AC 于点N,若BM+CN=9,则线段 MN 的
1.Rt△ABC 中,如果斜边上的中线CD=4,那
长为 ( )
么斜边AB 是 ( )
A.6 B.7
A.2 B.4
C.8 D.9
C.8 D.2或8
4.已知:如图,在△ABC 中,AD 是高,CE 是
1
2.在 △ABC 中,∠A = ∠B = ∠C,则 中线.DC=BE,DG⊥CE,2 G 为垂足.试说明
:
△ABC 是 三角形. (1)G 是CE 的中点;
3.一直角三角形的两直角边长分别是3,4,斜边 (2)∠B=2∠BCE.
上的中线长是2.5,则这个直角三角形的周长是
.
4.在直角三角形中,一个锐角是30°,则斜边上
的中线把直角分为两部分,它的度数分别是
, .
5.如图,△ABC 中,BE,CF 分别是AC,AB 边
上的高,D 是BC 边上的中点,试说明:DE=DF.
4 4
数学 八年级上册
5.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC
=90°,M,N 分别为AC,BD 的中点.
试说明:(1)DM=BM; 1.折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人
(2)MN⊥BD. 从小就经历的事,它是一种培养手指灵活性、协调
能力的游戏,更是培养智力的一种手段.在折纸中,
蕴含许多数学知识,我们还可以通过折纸验证数学
猜想.把一张直角三角形纸片按照图①~④的过程
折叠后展开,所得到的数学结论是 ( )
① ② ③ ④
A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那
6.如图,AD=BD=CD,试猜想:△ABC 是直 么它所对的直角边等于斜边的一半
角三角形吗 为什么 你从中能得到什么结论 C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的
一半,那么这个三角形是直角三角形
2.已知:如图,OA 平分∠BAC,∠1=∠2.求
证:△ABC 是等腰三角形.
7.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC 与BD
相交于点O,AC=BD.
求证:(1)BC=AD;
(2)△OAB 是等腰三角形.
4 5
