课时培优作业
第1节 勾股定理(2)
3.如图,有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,
其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离
方.从勾股定理的内容可以看出它渗透着代数运算 开港口一个半小时后相距 海里.
与几何图形之间的关系,它把直角三角形中的“形” 4.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.若
的特征,转化为三边“数”的关系,是数形结合的一 点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .
个典范.用勾股定理进行计算时,除了掌握a2+b2=
c2外,还有几种变形:①a2=c2-b2;②b2=c2-
a2等.
5.如图所示,已知在△ABC 中,CD⊥AB 于点
1.通过面积的计算验证勾股定理: D,AC=20,BC=15,DB=9,求AB 的长.
图形的面积可以整体表示,也可以表示成
面积之和,从而得到一个等式.
2.巩固勾股定理,勾股定理:
.
3.勾股定理的简单应用,应用环境:
.
1.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育 1.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第
日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如 三边长为 ( )
图,这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形. A.13 B.13或 119
上面的图形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面 C.13或15 D.15
积有两种表示方法.既可以表示为 2.直角三角形的两直角边的比为3∶4,斜边长
,又可以表示为 .对比两种 为25,则斜边上的高为 ( )
表示方法可得 .化简,可得a2+b2 25 12
=c2
A. B.
.他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话. 12 25
C.12 D.15
3.放学以后,小红和小颖从学校分开,分别沿
着东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的
速度都是40m/min,小红用15min到家,小红和小
颖家的距离为 ( )
第1题 第3题 A.600m B.800m
2.运用勾股定理可解决生活中的实际问题.如 C.1000m D.不能确定
某养殖场有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在 4.已知平面直角坐标系中A(-5,12),则点A 到
要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应 x轴的距离为 ,到y轴的距离为 ,到
取 米. 原点的距离为 .
4 8
数学 八年级上册
5.如图,幸福小区里,大道 AB 与BC 互相垂
直,在大道AB 的左边有一个以AB 为直径的半圆
形花圃,现量得小路AC 的长为25m,大道BC 的 1.如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为
长为24m,则花圃的面积是 ( ) 7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a,b,c三
5π 49π 个正方形的面积和为 ( )
A.2 m
2 B. m28
C.12πm2 D.13πm2
A.11 B.15
C.10 D.22
2.下图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两
条直角边的边长分别为a,b,斜边长为c.如图乙、丙
那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角
第5题 第6题
形,放在边长为a+b的正方形内.
6.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方 (1)图乙和图丙中①②③是否为正方形 为
形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正 什么
方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的 (2)图中①②③的面积分别是多少
和是 . (3)图中①②的面积之和是多少
7.在教材中,我们通过数格子的方法发现了直 (4)图中①②的面积之和与正方形③的面积有
角三角形的三边关系,利用完全相同的四个直角三 什么关系 为什么
角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性. 由此你能得到关于直角三角形三边长的关
探究1:以直角三角形的三边为边向形外作等 系吗
边三角形,探究S1+S2与S3的关系[如图(1)].
探究2:以直角三角形的三边为斜边向形外作
等腰直角三角形,探究S1+S2与S3的关系[如图
(2)].
探究3:以直角三角形的三边为直径向形外作
半圆,探究S1+S2与S3的关系[如图(3)].
4 9∴∠C=∠D=90°. 3 2
在Rt△ACB 和Rt△BDA 中, 7.
探究1:由等边三角形的性质知:S1=4a
,
AB=BA,AC=BD, 3 2, 3 2,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL), S2=4b S3=4c
∴BC=AD. 3
( ) 则 (
2 2),因为 2
2 ∵Rt△ACB ≌Rt△BDA,∴ ∠CAB = S1+S2=4 a +b a +b
2=c2,所
∠DBA,∴OA=OB,即△OAB 是等腰三角形. 以S1+S2=S3.
【新题看台】 探究2:由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 知:S1=
1.C 1 2, 1 1
4a S2=4b
2,S3= c2.
2.证明:
4
过点O 分别作OE⊥AB 于点E,OF⊥
1
AC 于点F. 则S +S = (a2+b21 2 ),因为a24 +b
2=c2,所
∵AO 平分∠BAC,∴OE=OF. 以S1+S2=S3.
∵∠1=∠2,∴OB=OC. 1 2
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL), 探究3:由圆的面积计算公式知:S1= ,8πa
∴∠EBO=∠FCO, 1 2 1 2
∴∠1+∠EBO=∠2+∠FCO, S2= ,8πb S3=8πc
,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, 1
则S1+S = π(a2+b2),因为a2+b2=c22 ,所∴△ABC 是等腰三角形. 8
以S
3 1
+S2=S3.
第 章 勾股定理
【新题看台】
第1节 勾股定理(1) 1.B
2.(1)图乙、图丙中①②③都是正方形.易得①
【课堂作业】 是以a为边长的正方形,②是以b为边长的正方形,
1.C 2.C 3.B 4.D 5.5 6.9 61 ③的四条边长都是c,且每个角都是直角,所以③是
7.x=20 S=30 8.(1)a=45,b=60 (2)540 以c为边长的正方形.
(3)a=30,c=34 (4)12 (2)图中①的面积为a2,②的面积为b2,③的面
【课后作业】 积为c2.
()图中 面积之和为 2 2
1.D 2.5 3.8cm 4.8 5.60 6.100米 3 ①② a +b .
2 2 2, , (4)图中①②面积之和等于③的面积 因为图7.∵5+12=AB ∴AB=13 .
( ) 乙、图丙都是以a+b为边长的正方形,它们的面积∴旗杆折断之前高度为5+13=18m .
相等,①②的面积之和与③的面积都等于(a+b)2减【新题看台】
去四个Rt△ABC 的面积.由此可得:任意直角三角
1.A 2.2 形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.
第1节 勾股定理(2) 第2节 勾股定理的逆定理
【课堂作业】 【课堂作业】
1( 1 11.2 a+b
)·(a+b) 2ab×2+ 2c
2 11.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.4×2ab
1(a+b)·(a+b)
1 1 2 2
= ab×2+ c2 2.2.5 (b-a) c 7.3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;2 2 2 7,24,25
3.30 4.4.8 5.25 8.∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵在
【课后作业】 Rt△ACD 中,∠ADC=90°,AD=9,CD=3,∴AC2
1.B 2.C 3.D 4.12 5 13 5.B =AD2+CD2=92+32=90.∵在 Rt△BCD 中,
6.49cm2 ∠BDC=90°,BD=1,CD=3,∴BC2=BD2+CD2
·11·
