∴∠C=∠D=90°. 3 2
在Rt△ACB 和Rt△BDA 中, 7.
探究1:由等边三角形的性质知:S1=4a
,
AB=BA,AC=BD, 3 2, 3 2,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL), S2=4b S3=4c
∴BC=AD. 3
( ) 则 (
2 2),因为 2
2 ∵Rt△ACB ≌Rt△BDA,∴ ∠CAB = S1+S2=4 a +b a +b
2=c2,所
∠DBA,∴OA=OB,即△OAB 是等腰三角形. 以S1+S2=S3.
【新题看台】 探究2:由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 知:S1=
1.C 1 2, 1 1
4a S2=4b
2,S3= c2.
2.证明:
4
过点O 分别作OE⊥AB 于点E,OF⊥
1
AC 于点F. 则S +S = (a2+b21 2 ),因为a24 +b
2=c2,所
∵AO 平分∠BAC,∴OE=OF. 以S1+S2=S3.
∵∠1=∠2,∴OB=OC. 1 2
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL), 探究3:由圆的面积计算公式知:S1= ,8πa
∴∠EBO=∠FCO, 1 2 1 2
∴∠1+∠EBO=∠2+∠FCO, S2= ,8πb S3=8πc
,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, 1
则S1+S = π(a2+b2),因为a2+b2=c22 ,所∴△ABC 是等腰三角形. 8
以S
3 1
+S2=S3.
第 章 勾股定理
【新题看台】
第1节 勾股定理(1) 1.B
2.(1)图乙、图丙中①②③都是正方形.易得①
【课堂作业】 是以a为边长的正方形,②是以b为边长的正方形,
1.C 2.C 3.B 4.D 5.5 6.9 61 ③的四条边长都是c,且每个角都是直角,所以③是
7.x=20 S=30 8.(1)a=45,b=60 (2)540 以c为边长的正方形.
(3)a=30,c=34 (4)12 (2)图中①的面积为a2,②的面积为b2,③的面
【课后作业】 积为c2.
()图中 面积之和为 2 2
1.D 2.5 3.8cm 4.8 5.60 6.100米 3 ①② a +b .
2 2 2, , (4)图中①②面积之和等于③的面积 因为图7.∵5+12=AB ∴AB=13 .
( ) 乙、图丙都是以a+b为边长的正方形,它们的面积∴旗杆折断之前高度为5+13=18m .
相等,①②的面积之和与③的面积都等于(a+b)2减【新题看台】
去四个Rt△ABC 的面积.由此可得:任意直角三角
1.A 2.2 形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.
第1节 勾股定理(2) 第2节 勾股定理的逆定理
【课堂作业】 【课堂作业】
1( 1 11.2 a+b
)·(a+b) 2ab×2+ 2c
2 11.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.4×2ab
1(a+b)·(a+b)
1 1 2 2
= ab×2+ c2 2.2.5 (b-a) c 7.3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;2 2 2 7,24,25
3.30 4.4.8 5.25 8.∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵在
【课后作业】 Rt△ACD 中,∠ADC=90°,AD=9,CD=3,∴AC2
1.B 2.C 3.D 4.12 5 13 5.B =AD2+CD2=92+32=90.∵在 Rt△BCD 中,
6.49cm2 ∠BDC=90°,BD=1,CD=3,∴BC2=BD2+CD2
·11·
=12+32=10,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC 是直
角三角形,且∠ACB=90°.
【课后作业】
1.(1)√ (2)①√ ②× ③√ ④√ 2.C
3.161或289
4.△DEF 是等腰三角形.理由:∵DG 是EF 边
上的中线, 1∴EG=FG=2EF=15
(cm).在△DEG
中,DG2+EG2=82+152=289=DE2,∴△DEG 是
直角三角形且∠DGE=90°.∵∠DGE+∠DGF= 用945.厘米除以3.5,求出相当于一格的长度是27
180°,∴∠DGF=90°.在Rt△DGF中,DF2=DG2+ 厘米,△APQ 是直角三角形,根据勾股定理知:
2 2 2
GF2=82+152=289,∴DF=17cm,∴DE=DF,∴ x =36+27 x=45
△DEF 是等腰三角形. 从上述计算知:边AQ 的长是45厘米,这条金线
5.连接 AC.∵在 Rt△ACD 中,∠D=90°,AD 围绕招牌三圈半,因此金线长45×3.5=157.5(厘米),
=4,CD=3,∴AC2=AD2+CD2=42+32=25, 金、银线一样长,因此银线长也为157.5厘米.两只甲
∴AC=5,∵BC=12,AB=13,∴AC2+BC2= 虫同时爬行的距离和圆顶相等的地方也就是爬到金
AB2,∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,∴ 线(或银线)正好一半的地方,那就是157.5÷2=78.75
(厘米)
S凹四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=30-6=24. .
【新题看台】 【新题看台】
1.∠A+∠C=180°.理由如下:1.C 2.B
3.解:(1)n2
过点 作 交 的延长线于 ,
-1 2n n2+1 D DE⊥BA BA E DF
() ,, 于2 以abc为边的三角形是直角三角形. ⊥BC F.
理由:∵a=n2-1,b=2n,c=n2
平分 , 于 ,
+1, ∵BD ∠ABC DE⊥BA E DF⊥BC
于F,
∴a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+
∴DE=DF.
4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
又 ,
又∵c2 (
∵AD=CD
= n2+1)2.∴a2+b2=c2,
∴ Rt△DAE ≌ Rt△DCF (HL),∴ ∠C
∴由勾股定理的逆定理,知以a,b,c 为边的三
=∠DAE.
角形是直角三角形.
∵∠DAE+∠BAD=180°,
第3节 勾股定理的简单应用 ∴∠C+∠BAD=180°,即∠A+∠C=180°.
2.1.5米
【课堂作业】 3.[定理表述]如果直角三角形的两直角边长分
1.C 2.A 3.B 4.1 5.480 6.400米 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
7.15米 [尝试证明]
【课后作业】
1.B 2.C 3.B 4.16 5.1.3 6.25cm
7.(1)∠CFE,∠BAF
(2)设EC=xcm.由题意得则EF=DE=(16
-x)cm,AF=AD=20cm,在Rt△ABF 中,BF= ∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC,
AF2-AB2=12(cm),FC=BC-BF=20-12= 又∠EDC+∠DEC=90°,∴∠AEB+∠DEC
8(cm).在Rt△EFC 中,EF2=FC2+EC2,即(16- =90°,∴∠AED=90°.
x)2=82+x2,x=6,∴EC 的长为6cm. ∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED,
8.把两只甲虫开始爬的地方连上直线,顺着这 1 1 1 1 2
条线把圆柱切开, : ∴ (就可得下图 2 a+b
)(a+b)=2ab+2ab+
整
2c .
·12·课时培优作业
第2节 勾股定理的逆定理
() 14 ∠A=∠B=2∠C.
要判断一个三角形是不是直角三角形,一是确 A.1个 B.2个
定最大边,即斜边c;二是验证c2与a2+b2是否相 C.3个 D.4个
等,若c2=a2+b2,则△ABC 是直角三角形,且∠C 3 54.三角形三边之比分别为:(1) ∶2∶ ;()
, 2 2
2
=90°若c2≠a2+b2,则△ABC 不是直角三角形.
3∶4∶5;(3)2∶2∶3;(4)4∶5∶6.其中可以构成直
角三角形的有 ( )
: A.1个 B.2个1.画图 画出边长分别是下列各组数的三角形.
( : C.3个 D.4个单位 厘米)
:,, :, , 5.以下列各组数据为边长
:①6,7,8;②8,15,
A345 B64.57.5
17;③1.2,3.5,3.7;④6,8,10.能构成直角三角形的有
用你的量角器分别测量一下上述各三角形的
( )
最大角的度数,请判断一下上述你所画的三角形的
形状 A.1
个 B.2个
.
C.3个 D.4个
6.如图,由4个直角三角形拼成2个正方形,则
: 4个直角三角形的面积2.勾股定理的逆定理的内容 +
小正方形的面积=大正方
形的面积,即
. + =
,化
简得a2+b2=c2.
1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是
( )
7.写出5组常见的勾股数:
.
8.如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,
AD=9,BD=1,CD=3,试问△ABC 是直角三角
2.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与 形吗 为什么
中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,每一个直
角三角形的两条直角边的长分别都是3cm和6cm,
则中间小正方形的面积是 ( )
A.9cm2 B.36cm2
C.27cm2 D.45cm2
3.下列条件能确定△ABC 是直角三角形的条
件有 ( )
(1)∠A+∠B=∠C;
(2)∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;
(3)∠A=90°-∠B;
5 0
数学 八年级上册
1.判断题.(对的打“√”,错的打“×”) 1.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,
(1)在△ABC 中,AC2-AB2=BC2,那么∠B 现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是
=90°. ( ) ( )
(2)符合下列条件的三角形是不是直角三角
形 (a,b,c表示三角形的三边)
①a=16,b=30,c=34 ( )
②a=7,b=21,c=22 ( )
③a=0.12,b=0.35,c=0.37 ( ) A B
④a∶b∶c=11∶60∶61 ( )
2.已知三角形的三边长为a,b,c,如果(a-5)2
+|b-12|+c2-26c+169=0,那么△ABC 是
( )
A.以a 为斜边的直角三角形 C D
B.以b为斜边的直角三角形 2.将直角三角形三边扩大同样的倍数,得到的
C.以c为斜边的直角三角形 三角形是 ( )
D.不是直角三角形 A.锐角三角形 B.直角三角形
3.若 △ABC 的 两 边 长 为 8 和 15,则 能 使 C.钝角三角形 D.任意三角形
△ABC 为直角三角形的第三边的平方是 . 3.张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如
4.如图,已知△DEF 中,DE=17cm,EF= 下数表:
30cm,EF 边上中线DG=8cm,试判断△DEF 是 n 2 3 4 5 …
否为等腰三角形,并说明理由. a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a,b,c 与n 之间的关系,并
用含自然数n(n>1)的代数式表示:
a= ,b= ,c= ;
(2)判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三
角形,并说明理由.
5.已知:如图,AD=4,CD=3,∠ADC=90°,
AB=13,BC=12.求图形的面积.
5 1
