上海市延安中学2022-2023学年高二下学期数学期末试卷（含答案）

2022学年第二学期高二年级数学期末
2023.6
一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．乘积的展开式中共有______项．
2．已知，则______．
3．某高中共有学生2000人，其中高一学生600人，高二学生680人，高三学生720人．该校为了了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈．若用按年级分层抽样的方法，则高一年级应抽取______人．
4．若，则正整数______．
5．已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有______个．
6．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻排列的概率是____．
7．已知随机变量X服从正态分布，若，则______．
8．某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则______．
9．从集合中随机取出5个不同的数，设事件A表示“选出的5个数的中位数是6”，事件B表示“选出的5个数的第25百分位数是4”，则______．
10．设有两个罐子，A罐中放有2个白球、1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现从两个罐子中各自随机地摸出1个球并交换，这样交换两次后，黑球还在A罐中的概率为______．
11.已知，
则______．
12．若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知X是一个随机变量，则“X是常数随机变量”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（ ）
A．两组学生身高的极差大不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
16．二项式的展开式中，系数最大项的是（ ）
A．第项 B．第项和第项
C．第项 D．第项
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．
17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
A校为了了解学生对食堂的满意程度，随机调查了50名就餐学生，根据这50名学生对食堂满意度的评分，绘制出如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若A校共有3000名学生，试估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数．
18．（本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分）
已知的二项展开式中，第9项是常数项．
（1）求n的值；
（2）求此展开式中项的系数．
19．（本题满分9分，第1小题满分3分，第2小题满分6分）
用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数．
（1）组成的四位数中，大于4000的有多少个？
（2）能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？
20．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
运动员甲定点罚篮的命中率为75%，假设每次投篮结果相互独立．
（1）甲定点罚篮4次，求他投中了两次的概率；
（2）甲定点罚篮3次，设X是3次罚篮投中次数与没有投中次数之差的绝对值，求随机变量X的分布与期望；
（3）甲定点罚篮150次，试问甲投中多少次的可能性最大？
21．（本题满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知函数的定义域为，其中．
（1）若是函数的一个驻点，求a的值；
（2）函数在区间上严格增，求a的取值范围；
（3）当a>0时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.60； 2.9； 3.15； 4.8； 5.8； 6.； 7.0.14； 8.；
9.； 10.； 11. 12.或；
11.已知，
则______．
【答案】
【解析】,
等式两边求导得:,
令得,故答案为:
12.若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】设直线方程为:,与曲线相切,也与曲线相切,
切点分别为,;曲线,曲线;
;公切线即为或
二、选择题
13.A； 14.B； 15.A； 16.A
16.二项式的展开式中，系数最大项的是（ ）
A．第项 B．第项和第项
C．第项 D．第项
【答案】A
【解析】由二项展开式的通项公式,
可知系数为,与二项式系数只有符号之差,
故先找中间项为第项和第项,又由第项系数为
第项系数为,故系数最大项为第项.
三、解答题
17.（1） 76.4 （2）200
18.（1）n=10 （2）
19.（1）360； （2）36；222000
20.（1） （2） （3）113
21．（本题满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知函数的定义域为，其中．
（1）若是函数的一个驻点，求a的值；
（2）函数在区间上严格增，求a的取值范围；
（3）当a>0时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1),.
是的一个极值点,,解得
(2)①当时,在区间上是增函数符合题意;
②当时,,令得:,
当时,对任意,(符合题意)
当时,当时,,(符合题意),
综上所述,.
设方程的两个根为,由式得
当时,为极小值,所以在上的最大值只能为或
当时,由于在上是单调递减函数
所以最大值为,所以在上的最大值只能为或
又已知在处取得最大值,所以,即,解得
又因为,所以.