上海市崇明区2022-2023学年高二下学期期末区统考数学试卷（含答案）

崇明区2022学年第二学期高二年级数学期末区统考
2023.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中 1-6题每题 4分，7-12题每题5 分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1.已知直线l经过点、，则它的斜率______.
2.双曲线的渐近线方程是______.
3.抛物线的焦点到准线的距离等于______.
4.在平面直角坐标系中，点P到点、的距离之和为10，则点P到轨迹方程是______.
5.假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、，而它们的良品率分别是0.92、0.95、0.94.则该部件的总体良品率是______.
6.已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.
7.已知直线，直线.若，则______.
8.从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则______.
9.已知抛物线上的两个不同的点A、B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为______.
10.设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且，若，，则Γ的两个焦点之间的距离为______.
11.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量X和Y分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则______元.
12.已知实数、、、满足，，，则的最大值为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
13.若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
14.某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A.200 B.150 C.250 D.100
15.已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
16.将函数，的图像绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：
（1）“所选3人中女生人数”的概率；
（2）X的期望与方差.
18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）
已知直线与圆相交于A、B两点.
（1）若，求k的值；
（2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）
某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成；经测量，，米，曲线段BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA、OB的距离是50米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于25米；设米，游乐场的面积为S平方米；
以点O为坐标原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
（2）求面积S关于x的函数解析式；
（3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大（结果精确到0.1米）.
20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交x轴负半轴于D.
（1）设，求a的值；
（2）求证：；
（3）设.过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.
21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
已知函数.（其中a为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.2； 4.； 5.； 6.； 7.-2； 8.； 9.； 10.； 11.0.2； 12.；
11.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量X和Y分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则______元.
【答案】0.2
【解析】赌金的分布列为
X 1 2 3 4 5
所以
奖金的分布列为:若两张卡片上数字之差的绝对值为1,则有种,
若两张卡片上数字之差的绝对值为2,则有,种,
若两张卡片上数字之差的绝对值为3,则有,种,
若两张卡片上数字之差的绝对值为4,则有,1种,则
Y 1.4 2.8 4.2 5.6
所以
则元. 故答案为:0.2
二、选择题
13.D； 14.A； 15.D； 16.A
16.将函数，的图像绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数,,
当时,,函数在上递增,
当时,,函数在上递减,
可得在处切线的倾斜角为,
因此,要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,旋转后的切线倾斜角最多为,
也就是说,最大旋转角为
即的最大值为. 故选：A.
三、解答题
17.（1） （2）；
18.（1） （2）存在点M符合题意
19.（1）
（2）
（3）D在曲线段BC上且到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大
20.（1） （2）略 （3）
21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
已知函数.（其中a为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1） （2） （3）在上有一个零点
【解析】(1)当时,可得,
可得,所以且,
所以切线方程为,即,
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)由函数,可得函数的定义域为,
又由,令,解得,
当时,与在区间的情况如下表:
1
- 0 +
极小值
去所以函数的极小值为,也是函数的最小值,
去所以当时,函数的最小值为
(3)当时,,令解得(舍去)
所以函数在上有一个零点;
当时,与在区间的情况如下表:
+ 0 - +
极大值 极小值
去所以函数在单调递增,在上单调递减,
此时函数的极大值为,
所以函数在上没有零点;
又由且函数在上单调递增,
且当时,,所以函数在上只有一个零点,
综上可得,当时,在上有一个零点.