上海市松江一中2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

松江一中2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
2023.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．）
1．抛物线的焦点坐标是______．
2．函数的严格 增区间为______．
3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为______．
4．已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为______．
5．已知椭圆，、、、四个点中恰有三个点在椭圆C上，则椭圆C的方程是______．
6．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示（单位：万元）：
广告费 4 2 3 5
销售额 49 26 39 54
根据上表建立线性回归方程中的为10，预测广告费为6万元时，销售额约为______万元．
7．播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率为______．
8．当时，函数取得最大值，则______．
9．直线l经过点，且与曲线相交于A，B两点，，则面积最大时，直线l的一般式方程是______．
10．函数在上不单调，则实数k的取值范围是______．
11．已知椭圆的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是______．
12．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是______．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．函数的图像如右图所示，则导函数的图像可能为（ ）
B． C． D．
15．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法：①若直线AB过点F，则的最小值为1；②若垂直C的准线于点，且，则四边形周长为③若，则直线AB恒过定点．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16．设直线，分别是函数图像上点，处的切线，与垂直相交于点P，且，分别与y轴相交于点A，B，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分：第1小题满分7分，第2小题满分7分）
一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数．
（1）求随机变量X的分布；
（2）求随机变量X的期望和方差．
18．（本题满分14分：第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线C：第一象限内的点P在C上，双曲线的左右两焦点分别记为，．已知，，O为坐标原点．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若的面积为2，求点P的坐标．
19．（本题满分14分：第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．
（1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？（结果精确到1万元）
20．（本题满分16分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，是椭圆上的一点，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线l与椭圆交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求面积的最大值；
（3）设是直线l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义．用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出命题的证明．
21．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若对任意的实数k、b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．
（1）判断函数是否为“恒切函数”；
（2）若函数是“恒切函数”，求实数m、n满足的关系式；
（3）若函数是“恒切函数”，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.67; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.13 12.
11．已知椭圆的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是______．
【答案】13
【解析】椭圆的离心率为,
不妨可设椭圆,
的上顶点为,两个焦点为,为等边三角形,
过且垂直于的直线与交于两点,,
由等腰三角形的性质可得,,,
设直线方程为,,
将其与椭圆联立化简可得,,
由韦达定理得,,
解得,由椭圆的定义可得,
的周长等价于
故答案为:13.
12．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】对原函数求导,
分析可知:在定义域内至少有两个变号零点,
对其再求导可得:,
当时,易知在上单调递增,此时若存在使得,
则在单调递减,单调递增,
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点,应满足,不满足题意;
当时,易知在上单调递增减,此时若存在使得,
则在单调递增,单调递减,且,
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点,且,
故仅需满足,即:
解得:,综上所述:的取值范围是.
二、选择题
13.D 14.C 15.C 16.A
15．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法：①若直线AB过点F，则的最小值为1；②若垂直C的准线于点，且，则四边形周长为;③若，则直线AB恒过定点．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】对于选项①,若直线过点,则当轴时,最小,且最小值为1,①正确;
对于②,由题意知,根据抛物线的定义可知.
设与轴的交点为,易知
故,
所以四边形的周长为,②错误;
对于③,设直线,,
联立直线与抛物线方程得,则,所以,
由可得,即,解得,
故直线的方程为,即直线恒过定点,③正确.
故选C
16．设直线，分别是函数图像上点，处的切线，与垂直相交于点P，且，分别与y轴相交于点A，B，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案A
【解析】设,,
当时,,当时,,
的斜率的斜率,
与垂直,且,,即.
直线,.
取分别得到,,
联立两直线方程可得交点的横坐标为
函数在上为减函数,且,
则,.的面积的取值范围是.
故选:.
三．解答题
17.（1）分布列为
X 0 1 2
P
（2）
18.（1） （2）
19.（1） (2)
20．（1） （2） （3）略
21．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若对任意的实数k、b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．
（1）判断函数是否为“恒切函数”；
（2）若函数是“恒切函数”，求实数m、n满足的关系式；
（3）若函数是“恒切函数”，求证：．
【答案】（1）是 （2） （3）
【解析】(1)根据题意,函数为“恒切函数”,设切点为.
则,即]
对于函数.设切点为,则有,解得:.
故是“恒切函数”;
(2)若函数是“恒切函数”,设切点为.则,
则有解得:,即.故实数满足的关系式为:;
(3)证明:根据题意,函数是“恒切函数”,设切点为.
又由,则,
则有,即考查方程的解,
设.,令,解得:.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
在上有唯一零点.
又则.
当时在上有唯一零点0,
则.综上可知:.