上海市上外附高2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

上海市上外附高2022-2023学年高二下学期期末考试数学
2023.6
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．设函数y＝f（x）在x＝x0处导数存在，若，则_______．
2．2和8的等差中项为_______．
3．若，则x的值为_______．
4．若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）＋y2＝1的一条对称轴，则a＝_______．
5．计算_______．
6．在的二项展开式中系数最大的项为_______．
7．某校组织“上海进博会”知识竞赛，小浦从3道选择题和2道填空题中不放回地每次随机抽取1道作答．记事件A为“第一次抽到选择题”，事件B为“第二次抽到填空题”，则_______．
8．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______．
9．某人有4种不同颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个不同的点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有_______种（用数字作答）．
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆"．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（2，0），点P满足，则的最小值为_______．
11．已知函数,现给出下列结论:
①有极小值,但无最小值
②有极大值,但无最大值
③若方程恰有一个实数根,则
④若方程恰有三个不同实数根,则
其中所有正确结论的序号为_______．
12．对于正整数n，最接近的正整数设为，如a1＝1，a3＝2，记从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前8项和为_______．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13－14题每题选对得4分，15－16题每题选对得5分，否则一律得零分．
13．已知函数y＝f（x）的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如图所示，则该函数的大致图像是（ ）
14．若，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”。按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．144 B．89 C．55 D．34
16．已知圆，点C为圆心，P为直线l：2x＋y＋2＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）抛物线的焦点在y轴上且抛物线过点（－1，－3），求抛物线的标准方程；
（2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又Γ的实轴长为4，且一条渐近线为y＝2x，求双曲线的标准方程．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列的前n项和为，当n≥2时，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，数列的前n项和为，若恒成立，求正整数m的最大值．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，且交点为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设,函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若有零点,求实数的取值范围;
(3)若有两个相异零点,求证:.
参考答案
一、填空题
1.6; 2.5; 3.3或4; 4.; 5.2; 6.70; 7.; 8.; 9.216; 10.-3；
11.②④ 12.204
11.已知函数,现给出下列结论:
①有极小值,但无最小值
②有极大值,但无最大值
③若方程恰有一个实数根,则
④若方程恰有三个不同实数根,则
其中所有正确结论的序号为_______．
【答案】②④
【解析】由函数,可得导数为,
当时,递减;当或时,递增.
当时,;当时,.
作出函数的图象,可得:在处取得极小值,且为最小值;
在处取得极大值,且为,无最大值.故①错;②对;
若方程恰有一个实数根,可得或,故③错;
若方程恰有三个不同实数根,可得,故④对.故答案为:②④
12.对于正整数n，最接近的正整数设为，如a1＝1，a3＝2，记从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前8项和为_______．
【答案】204
【解析】对于正整数,必存在正整数,使得,
如果,则,
故,故,此时,故,
故此时取值为区间中的所有正整数,
如果即,则,
故,故,此时
故此时取值为区间,中的所有正整数,当时,取值为区间,中所有的正整数,
而,,
故,
表示,中除以外的所有正整数,
取,则取值为区间中除4以外的所有正整数,
取,则取值为区间中除9以外的所有正整数,
依次取,则,
取值为区间,所有正整数,
故前8项和为:故答案为:204.
二、选择题
13.B 14.B 15.A 16.C
15.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”。按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．144 B．89 C．55 D．34
【答案】A
【解析】表示第行中的黑圈个数,设表示第行中白圈个数,由题意知,
故选:.
16.已知圆，点C为圆心，P为直线l：2x＋y＋2＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知,半径,圆心,
又,故最小时,最小,的面积最小,最小值为点到直线的距离,此时,直线的斜率为-2,此时直线的方程为,由,解得,所以,
因为是直角三角形,所以斜边的中点坐标为,
而,所以的外接圆的圆心为,
半径为,的外接圆的方程为.故选:.
三、解答题
17.（1） （2）或
18.（1）256个(2)2个
19.（1）略（公差为1）（2）
20.（1）（2）略（3）
20.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，且交点为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
【答案】（1）（2）略（3）
【解析】(1),,,
直线与圆相切.,
,椭圆的方程是
(3)当直线的斜率存在且不为零时,设直线的斜率为,,
则直线的方程为.联立及
得所以,
由于直线的斜率为,用代换上式中的可得
因为,所以四边形的面积为
所以,当时,即时取等号，
易知,当直线的斜率不存在或斜率为零时,四边形的面积，
综上可得,四边形面积的最小值为
21.设,函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若有零点,求实数的取值范围;
(3)若有两个相异零点,求证:.
【答案】(1)（2）（3）见解析
【解析】在区间上,.
（1）当时,.曲线在处的切线斜率为,
则切线方程为,即
（2）①若有唯一零点.
②若,则是区间上的增函数有唯一零点.
③若,令得:.在区间上,,函数是增函数;
在区间上,,函数是减函数;故在区间上,的极大值为为即,解得:故所求实数的取值范围是.
(3)证明:设,
原不等式
令,则,于是
设函数.求导得：
故函数是上的增函数,
,即不等式故所证不等式成立