上海市黄浦区重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

上海市黄浦区重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
2023.6
一、填空题：（本题共有12个小题，每小题3分，满分36分）
1．已知直线l的一个法向量是，则直线l的倾斜角的大小为______．
2．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．
3．已知随机变量X服从二项分布，且，则______．
4．已知，双曲线的两条渐近线的夹角大小为，则______．
5．已知是抛物线上一点，F为该抛物线的焦点，，则______．
6．如图，设E是正方体的棱的中点，在棱上任取一点P，在线段上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为______．
7．三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数．记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则______．
8．在平行六面体中，已知，，则该平行六面体的对角线的长度为______．
9．设，若关于x的方程有3个不同的实根，则的取值范围是______．
10．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P、Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
11．已知对于任意，不等式都成立（e是自然对数的底数），则的最小值是______．
12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图）．给出下列四个结论：
①曲线C关于直线对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；
③存在一个以原点为中心，边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）．
其中，所有正确结论的序号是______．
二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）
13．已知事件A、B是独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数，其导函数记为，有以下四个命题：①若为偶函数，则为奇函数；②若为偶函数，则为奇函数；③若为周期函数，则也为周期函数；④若为周期函数，则也为周期函数．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．无论k、、如何，总是无解 B．无论k、、如何，总有唯一解；
C．存在k、、，使之恰有两解 D．存在k、、，使之有无穷多解
16．如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45°得到第二个平面ABEF，再沿宽边AF所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：（本题共有4大题，满分48分．解题时要有必要的解题步骤）
17．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
如图，在三棱锥中，平面BCD，，，，E为垂足．
（1）求证：平面ACD；
（2）若F为AC中点，求四面体ABEF的体积．
18．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图．
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”．
（1）根据上图的数据，补全下方列联表，并依据显著性水平的独立性检验，分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？
年轻人 非年轻人 总计
健身达人
健身爱好者
总计 100
附：，，，与k的若干对应数值见下表：
0.25 0.05 0.005
1.323 3.841 7.879
（2）该连锁机构随机选取3名会员进行回访．设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数，求X的分布及其期望．
19．（本题满分12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分）
已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当取最大值时，求的面积；
（3）已知r为正常数，过动点P作圆的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在r，使得为定值？若存在，求出r及的值；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题5分，第（3）题7分）
已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
（3）若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①②
11．已知对于任意，不等式都成立（e是自然对数的底数），则的最小值是______．
【答案】
【解析】
12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图）．给出下列四个结论：
①曲线C关于直线对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；
③存在一个以原点为中心，边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②
【解析】①将点代入曲线方程,与原式相同,则曲线关于对称,故①正确;
②设曲线上一点坐标,则到坐标原点距离,
因为在曲线上,则
所以,所以所以
所以,当且仅当时取等,
所以曲线到坐标原点距离不超过1,故②正确;
③由图可知,由线关于,轴对称且关于原点中心对称,
则在第一象限内,由②可知,,当且仅当时取等,
当有最大值,
如图,,又正方形边长为,所以,正方形必然经过,且为对角线，
即正方形右上顶点为曲线到原点距离最大的点,
过该点向,轴作垂线,可知曲线上的部分点不在该正方形区域内,故③错误.
故答案为①②
二、选择题
13.D 14.A 15.B 16.C
15．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．无论k、、如何，总是无解 B．无论k、、如何，总有唯一解；
C．存在k、、，使之恰有两解 D．存在k、、，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】因为直线不过原点,与是直线(为常数上两个不同的点,所以与不共线,因此,
所以关于和的方程组一定有唯一解. 故选:.
16．如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45°得到第二个平面ABEF，再沿宽边AF所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】如图,把两个单位正方体叠放在一起（构建模型),平面,
平面,平面分别代表第一,二,三个平面,
平面的法向量为,平面的法向量为,
与的夹角为,故所求锐二面角的大小的余弦值是. 故选:.
三．解答题
17.（1）平面平面
平面
（2）
18.（1），依据的独立性检验，不能认为“健身达人”与“年轻人”有关联
（2）;
19．（1） （2） （3）不存在定值
20．已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
（3）若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有．
【答案】（1） （2）1个； （3）
【解析】（2）严格减，至多一个零点；
有界，为正，为负，存在零点综上存在1个零点
（3），不妨设
若则
若，则