上海市浦东新区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

上海市浦东新区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
2023.6
一、填空题(本大题共12题,满分54分,第题每题4分,第题每题5分)
1.已知集合,则 .
2.不等式的解集是 .
3.在的二项展开式中,含有项的系数为 .(结果用数值表示)
4.甲和乙下中国象棋,若甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为0.9,则甲、乙和棋的概率为 .
5.春季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别是,且两地同时下雨的概率为,
则在春季的一天里,已知乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为 .
6.2023年杭州亚运会需招募志愿者,现从某高校的5名志愿者中任意选出3名,分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作,其中甲不能担任语言服务工作,则不同的选法共有 .种.(结果用数值表示)
7.已知随机变量,且,则的最小值为 .
8.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
9.如图所示的茎叶图记录则甲、乙两支篮球是各6名是员某份比
赛的得分数据(单位:分).若这两组数据的中位数相等,且平均值也
相等,则 .
10.近五年来某草份羊只数量只草地植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为,去掉第一年数据后得到的相关系数为,则 （填）
11.设为两个随机事件,①若是互斥事件,则;
②若是对立事件,则;③若是独立事件,,则;④若,且,则是独立事件.以上命题正确的序号为 .(填写序号)
12.设函数,若有且仅有两个整数满足,则实数的取值范围为 .
二、选择题（本大题共4题,满分20分,每题5分)
13.对于实数且是的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
14.用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）
A. B.
最小 D.最小
15.函数的大致图像为（ ）
B. C. D.
16.已知定义在上的函数,其导函数分别是,且,且为奇函数,则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题(本大题共5题,满分76分)
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数.
(1)若不等式的解集为,求的解集;
(2)当时,若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面为中点,.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某大学学院共有学生1000人,其中男生640人,女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,按性别分层抽样,从该学院所有学生中抽取若干人作为样本,对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计,得到下表.
跑步里程
男生(人数) 12 10 5
女生(人数) 6 6 4 2
求的值,并估计学院学生5月份累计跑步里程在中的男生人数;
(2)从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人,其中男生人数记为,求的分布及期望.
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分5分)
已知椭圆的离心率为,右焦点为分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率不为0的直线,直线与椭圆交于两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值;
(3)在(2)的条件下,直线与直线交于点,求证:点在定直线上.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)令当,若函数有两个零点,求实数的取值范围;
(3)在(2)的条件下,证明:.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.②③④ 12.
11.设为两个随机事件,①若是互斥事件,则;
②若是对立事件,则;③若是独立事件,,则;④若,且,则是独立事件.以上命题正确的序号为 .(填写序号)
【答案】②③④
【解析】对于①:若是互斥事件,,则,故①错误;
对于②:若A,是对立事件,则,故②正确;
对于③:若是独立事件,,则也是独立事件,则,故③正确;
对于④:若,则且,则是独立事件,故A,也是独立事件,故④正确;
故选:②③④
设函数,若有且仅有两个整数满足,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设,则,
在上单调递增,
在上单调递减,
时函数取极大值即最大值
直线恒过定点且斜率为,要使有且仅有两个整数满足
即有且仅有两个整数满足
解得,即. 故答案为:.
二、选择题
13.A 14.D 15.A 16.D
15.函数的大致图像为（ ）
B. C. D.
【答案】A
【解析】函数中,,当时,,看图像知选项错误;
函数中,,当时,,看图像知选项错误;解得,
故为函数的极值点,故选项不符合,选项正确.
故选:.
16.已知定义在上的函数,其导函数分别是,且,且为奇函数,则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
中心对称,则
为奇函数,,左右求导得:,
为偶函数,图象关于轴对称,
是周期为8的周期函数,正确;
,又错误即错误;
即错误.
故选:.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）100人
(2)分布列为：
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分5分)
已知椭圆的离心率为,右焦点为分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率不为0的直线,直线与椭圆交于两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值;
(3)在(2)的条件下,直线与直线交于点,求证:点在定直线上.
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】(1)依题可得,解得:
所以,即椭圆的方程为
（2）证明:设,因为直线过点且斜率不为0,所以可设的方程为,代入椭圆方程得,,
其判别式,
所以,
两式相除得,即,
因为分别为椭圆的左、右顶点,所以点的坐标为,点的坐标为,
从而
（3）由（2）知,设,则,
所以直线的方程为:,直线的方程为,
联立可得,所以直线与直线的交点的坐标为,
所以点在定直线上.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)令当,若函数有两个零点,求实数的取值范围;
(3)在(2)的条件下,证明:.
【答案】（1） （2） （3）证明如下
【解析】（1）a=2时，，则，则切线方程为：
(2),其中，显然分离参变量，可得
，令，则，
且当时，由此可得当时，，严格增，；
当时，，严格减，，因此,
（3）不妨令,构造，则,因而,其中，，，且,最终计算易得，从而