上海市徐汇区名校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

上海市徐汇区名校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
2023.6
一、填空题（本大题共有12题，1-6题4分，7-12题5分，满分54分）
要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．己知抛物线方程，则其准线方程为______．
2．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角______．
3．已知随机事件A、B，，，，则______．
4．已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为______．
5．若，则______．
6．受新冠肺炎影响，部分工厂专业生产口罩，如表为某小型工厂2～5月份生产的口罩数（单位：万）
x 2 3 4 5
y 2．2 3．8 5．5 m
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为______．
7．某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为___人．
8．若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为______．
9．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设x为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则______．
10．若是函数的极小值点，则实数a的值为_____.
11．端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米棕的个数的数学期望为______
12．已知、是双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A、B两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为______.
①双曲线C的离心率为2； ②双曲线C的一条渐近线的斜率为；
③线段的长为6a； ④的面积为
二、选择题（本大题共有4题，13-14题4分，15-16题5分，满分18分）
13．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．己知，则方程所表示的曲线为C，则以下命题中正确的是（ ）
A．当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是
B．当时，曲线C表示条直线
C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
D．存在，使得曲线C为等轴双曲线
15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
16．已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点．①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④．以正结论中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题14分）记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．
（1）若，求P；
（2）若，求实数a的取值范围．
18．（本题14分）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：
超过M 不超过M
上班时间
下班时间
（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由，
附：，，
（本题14分）：，、，：．
（1）求，，有交点的概率；
（2）设交点个数为X，求X的分布列及数学期望．
20．（本题18分）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若对任意的，、，恒有成立，求实数m的取值范围．
21．（本题18分）已知椭圆C：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M、N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点.
①若点P在直线上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.；
5.； 6. 7.1； 7.200； 8.；
9.0.6； 10.2； 11.； 12.①④；
11．端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米棕的个数的数学期望为______
【答案】
【解析】设取到白米粽的个数为随机变量,则,2,3,
所以
所以. 故答案为:.
二、选择题
13.A； 14.C； 15.D； 16.B
15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
【答案】D
【解析】根据单调性排除。又,在B中,如图所示,,不符,故选D。
- + - +
16．已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点．①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④．以正结论中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解析】已知为坐标原点,点在抛物线上,则,
即，即抛物线的方程为.
对于①由抛物线方程可得抛物线的准线为,即①错误;
对于②由,则直线的方程为,联立
则,则,即直线与抛物线相切,即②正确;
对于③由题意可得直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,
消得,则,即,设,
则,则
,即③正确;
对于④
,即④错误,故选:.
三、解答题
17.（1） （2）实数a的取值范围
18.（1）M=43
超过M 不超过M
上班时间 8 12
下班时间 7 13
（2）根据题意,由
故上下班的通勤时间没有显著差异.
19.（1） （2）
20．（本题18分）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若对任意的，、，恒有成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）的极小值是,无极大值;
当时,的递减区间为在单调区间为,
当时,在单调递减,
当时,的递减区间为在,递增区间为：.
【解析】(1)函数的定义域是,
解得:(舍),故在递减,在递增,
故的极小值是,无极大值;
(2)由题意得函数的定义域是,
当时,,令,得：或,
令,得,当时,得,
令,得或,令,
得,当时,,
综上所述,当时,的递减区间为在单调区间为,
当时,在单调递减,
当时,的递减区间为在,递增区间为：.
(3)由(2)得,当时,在区间上单调递减,
当时,取得最大值,当时,取得最值,
整理得,恒成立，
21.（本题18分）已知椭圆C：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M、N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点.
①若点P在直线上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．
【答案】（1）
（2）① ②直线与的斜率之积为定值
【解析】(1)由已知可得
证明:由题意知,直线斜率存在,设直线方程为,设
①:点为线段的中点,点在直线上,,
即.线段的垂直平分线方程为,即
故线段的垂直平分线恒过定点.
②由弦长公式得
.坐标原点到直线的距离为,
的面积为
.
当且仅当,即时等号成立
直线与的斜率之积为定值.