-b- b2
2
-4ac ∴x +x=0,解得x1=0,x2=-1.
x2= 2a . 【新题看台】
当b2-4ac<0时,方程无实根. 1.D 2.C 3.6
4.解:∵关于x 的方程(k-1)x2第3节 用公式法求解一元二次方程 -(k-1)x+
1
【 】 =0有两个相等的实数根,课堂作业 4
1.A 2.B 3.A {Δ=[-(k-1)]2 1-4(k-1)×4=0,4.2 -3 -1 17 ∴
1 k-1≠0.
5.x1=-3,x2=2 6.-3 解得:k=2.
7.解:(1)∵a=2,b=-5,c=-2, ∴当关于x 的方程(k-1)x2
1
-(k-1)x+
∴b2-4ac=25+16=41>0. 4
=0有两个相等的实数根时,5± 41 k=2.
∴x= 4 . 第4节 用因式分解法求解一元二次方程
5+ 41 5- 41
∴x1= ,4 x2= 4 . 【课堂作业】
() 3, , , 1.D 2.C 3.C 4.x1=2
,x2=-3 5.0或2 ∵a=2 b=4c=-2 1
-2 6.9-4± 28
∴b2-4ac=16+12=28>0.∴t= 3 . 7.(1)x1=x2=-1 (2)y1=1,y2=-1
27-4 4+27 8.解:设小圆形场地的半径为xm,则
∴t1= ,3 t2=- 3 . 2πx2=π(x+5)2,
【课后作业】 x1=-52+5(不合题意,舍去),
1.D 2.B 3.D 4.D x2=52+5.
2 1 答:小圆形场地的半径为( )
5.1或-3 6.-6 7.k>-
且
4 k≠0
52+5m.
【课后作业】
8.(1)x1= 5+ 6,x2= 5- 6 (2)x1= 1.C 2.C 3.B 4.D 5.0 6.2 7.3
4
-1,x2= -4 8.2或-33
: 2 ( ) 9.解
:(1)因式分解,得
9.解 ∵关于x 的方程x + 2m-1x+4=0 (2x+1+2)2=0,即(2x+3)2=0,
有两个相等的实数根,
∴Δ=(
3
2m-1)2-4×1×4=0, ∴x1=x2=-2.
5 3
∴2m-1=±4,∴m= 或2 m=- .
(2)因式分解,得2
10.解:(1)△ABC 是等腰三角形. (2x+ 2)(x- 3)=0,
理由:∵x=-1是方程的根, 2解得x1=- ,x2= 3.
∴(a+c)×(-1)2+2b×(-1)+(a-c)=0, 2
∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0,即a=b, 10.解:由题意,得x+y=0或x+y-1=0,即
∴△ABC 是等腰三角形. x+y=0或x+y=1.
(2)△ABC 是直角三角形. 【新题看台】
理由:∵方程有两个相等的实数根, 1.D 2.x1=0,x2=2
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 3.解:将方程整理变形为,3x2-4x-4=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,即a2=b2+c2, (3x+2)(x-2)=0,
∴△ABC 是直角三角形. 2
(3)当△ABC 是等边三角形时, x1=- ,3 x2=2.
(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2 2a-(a-1) a(a+1)
+2ax=0, 4.
解:原 式 = a(a-1) ÷ (a-1)2 =
·10·
a+1 (a-1)2 a-1 (2)由根与系数的关系,得x
× 1
+x2=-(2k+
a(a-1) a(a+1)= a2 . 1),x1·x2=k2+1.
由a2+a-2=0解得:a=-2或1. ∵x1+x2=-x1·x2,∴-(2k+1)=-(k2
当a=1时,原式无意义,所以a=-2. +1),
-2-1 3
当a=-2时,原式= 3(-2)2=-4. 解得k=0或k=2.又∵k> ,4 ∴k=2.
*第5节 一元二次方程的根与系数的关系 11.解:(1)∵方程有实数根,
∴Δ=22-4(k+1)≥0,
【课堂作业】 解得k≤0,
7 ∴k的取值范围是k≤0.
1.B 2.B 3.C 4.2 2 5.-3 2 (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1
6
6.- +x2=-2
,x1·x2=k+1,
5 由已知,得
7.解:(1)原方程可变形为x2+x-12=0,根 x1+x2-x1·x2=-2-(k+1)<-1,
据一元二次方程根与系数的关系有x1+x2=-1, 解得k>-2,
x1x2=-12. 又由(1)k≤0,∴-2(2)原方程可变形为x2-8x+10=0,根据一 ∵k为整数,
元二次方程根与系数的关系有x1+x2=8,x1x2 ∴k的值为-1或0.
=10. 【新题看台】
8.解:
8 m
设两根分别为3n,2n,∴5n= ,3 3= 91.D 2.A 3.0 4.-2或-
8 4
6n2,∴n= ,15 5.解:(1)由题意得
8 2( ) 128 {Δ=
(-2m)2-4m(m-2)≥0,
∴m=18n2=18× 15 =25. m≠0,
128 ∴m>0.
此时Δ=(-8)2-4×3×m=64-12×25 () m-2
, 2x1+x2=2
,x1x2= ,
>0 m
128 |x 21 -x2| = (x1 +x2)2 -4x1x2 =4-
∴m=25. 4(m-2)
=1,解得m m=8.【课后作业】
:() ,
1.B 2.A 3.B 4.C 5.1 6.5 7.-1 6.解 1 ∵x1 x2 是关于x 的一元二次方程
x2-2(m+1)x+m28.9或-3 +5=0的两实数根,
2
9.解:∵方程有两个实数根, ∴x1+x2=2(m+1),x1·x2=m +5,
∴Δ=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0. ∴(x1-1)(x2-1)=x1·x2-(x1+x2)+1
解这个不等式,得m≤0. =m
2+5-2(m+1)+1=28,
设方程两根为x1,x2,则x1+x2=-2(m- 解得m=-4或m=6.
2),x ·x =m2+4. 又1 2 ∵Δ=[-2(m+1)]
2-4(m2+5)=4(m+1)2
2 2 2
∵x2+x2-x ·x =21, -4(m +5)=4m +8m+4-4m -20=8m-16≥0,1 2 1 2
∴(x1+x 2 解得m≥2.∴m=6.2)-3x1·x2=21.
∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21. (2)当7为底边时,此时方程x
2-2(m+1)x+
2
整理得:m2-16m-17=0. m +5=0有两个相等的实数根,
2
解得:m =17,m =-1. ∴Δ=4(m+1)-4(m
2+5)=0,解得m=2.
1 2
2
又∵m≤0,∴m=-1. ∴方程变为x -6x+9=0,解得x1=x2=3.
10.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根, ∵3+3<7,∴不能构成三角形;
∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k-3>0,解得 当7为腰时,设x1=7,代入方程得49-14(m
3 +1)+m2+5=0,解得m=10或4.
k>4. 当m=10时方程变为x2-22x+105=0,解得
·11·
数学 九年级上册
第4节 用因式分解法求解一元二次方程
2.方程(2x-1)(3x+2)=0的解为 ( )
1 2
A.x1=- ,
当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分 2
x2=3
解成两个一次因式的乘积时,我们使这两个一次式 1 3B.x1= ,2 x2=-分别等于0进行求解.这种解法叫做因式分解法. 2
1, 2C.x1=2 x2=-3
1 3
活动一:想一想 D.x1=- ,2 x2=2
1.打开课本P46,看一看课本中小颖、小明、小 3.一元二次方程x2=2x 的根是 ( )
亮的解法. A.x=2
思考:这三种解法哪一种最简单 B.x=0
C.x1=0,x2=2
D.x1=0,x2=-2
4.方程(x-2)(x+3)=0的解是 .
2.因式分解常用的方法有哪些 5.当x= 时,代数式x(2x+1)的值
为0.
6.已知一个正数的平方与这个数的9倍相等,
则这个数是 .
活动二:做一做 7.用因式分解法解下列方程:
1.完成课本P47例题. (1)x2+2x=-1;
2.用因式分解法求解一元二次方程的一般步
骤是什么
(2)(3y-4)2-(4y-3)2=0.
3.因式分解法适用于全部的一元二次方程吗
8.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形
场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
1.已知a,b是两个实数,如果ab=0,那么下列
说法正确的是 ( )
A.a 一定是零
B.b一定是零
C.a=0且b=0
D.a=0或b=0
2 9
课时培优作业
10.已知(x+y)(x+y-1)=0,求x+y 的值.
一、选择题
1.下面是四位同学在解方程x(x+3)=x 时
的答案,你判断一下正确的是 ( )
A.x=-2 B.x=0
C.x=0或x=-2 D.x=0或x=2
2.已知方程(x+2)(x-a)=0与x2+x-2=
0的解相同,则a 的值为 ( )
A.-2 B.2
C.1 D.-1
3.已知关于x 的方程x2+px+q=0的两根分 1.(云南中考题)一元二次方程x2-x-2=0
别为x1=3,x2=-4,则二次三项式x2+px+q 可 的解是 ( )
分解为 ( ) A.x1=1,x2=2
A.(x+3)(x-4) B.(x-3)(x+4) B.x1=1,x2=-2
C.(x+3)(x+4) D.(x-3)(x-4) C.x1=-1,x2=-2
4.(宁夏中考题)一元二次方程x(x-2)=2- D.x1=-1,x2=2
x 的根是 ( ) 2.(湖南永州中考题)方程x2-2x=0的解是
A.x=-1 B.x=2 .
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 3.(四川自贡中考题)解方程:3x(x-2)=2(2
二、填空题 -x).
5.方程(x-1)(x-2)=0的两根分别为x1 和
x2,且x1>x2,则x1-2x2= .
6.已知最简二次根式 2x2-x与 4x-2是同
类二次根式,则x 的值为 .
7.若关于x 的方程(x-m)(x+n)=0(m>0
>n)的两个根是x1=3,x2=4,则m= ,
n= .
8.如果代数式(x-2)(x-3)的值与2x(x-2)
的值相等,那么x 的值是 . 4.(贵 州 毕 节 中 考 题)先 化 简,再 求 值:
三、 2解答题 2 1 a +a - ÷÷ 2 ,其中a 满足a2+a-2
9.用因式分解法解下列方程: èa-1 a a -2a+1
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0; =0.
(2)2x2-(23- 2)x- 6=0.
3 0
