a+1 (a-1)2 a-1 (2)由根与系数的关系,得x
× 1
+x2=-(2k+
a(a-1) a(a+1)= a2 . 1),x1·x2=k2+1.
由a2+a-2=0解得:a=-2或1. ∵x1+x2=-x1·x2,∴-(2k+1)=-(k2
当a=1时,原式无意义,所以a=-2. +1),
-2-1 3
当a=-2时,原式= 3(-2)2=-4. 解得k=0或k=2.又∵k> ,4 ∴k=2.
*第5节 一元二次方程的根与系数的关系 11.解:(1)∵方程有实数根,
∴Δ=22-4(k+1)≥0,
【课堂作业】 解得k≤0,
7 ∴k的取值范围是k≤0.
1.B 2.B 3.C 4.2 2 5.-3 2 (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1
6
6.- +x2=-2
,x1·x2=k+1,
5 由已知,得
7.解:(1)原方程可变形为x2+x-12=0,根 x1+x2-x1·x2=-2-(k+1)<-1,
据一元二次方程根与系数的关系有x1+x2=-1, 解得k>-2,
x1x2=-12. 又由(1)k≤0,∴-2(2)原方程可变形为x2-8x+10=0,根据一 ∵k为整数,
元二次方程根与系数的关系有x1+x2=8,x1x2 ∴k的值为-1或0.
=10. 【新题看台】
8.解:
8 m
设两根分别为3n,2n,∴5n= ,3 3= 91.D 2.A 3.0 4.-2或-
8 4
6n2,∴n= ,15 5.解:(1)由题意得
8 2( ) 128 {Δ=
(-2m)2-4m(m-2)≥0,
∴m=18n2=18× 15 =25. m≠0,
128 ∴m>0.
此时Δ=(-8)2-4×3×m=64-12×25 () m-2
, 2x1+x2=2
,x1x2= ,
>0 m
128 |x 21 -x2| = (x1 +x2)2 -4x1x2 =4-
∴m=25. 4(m-2)
=1,解得m m=8.【课后作业】
:() ,
1.B 2.A 3.B 4.C 5.1 6.5 7.-1 6.解 1 ∵x1 x2 是关于x 的一元二次方程
x2-2(m+1)x+m28.9或-3 +5=0的两实数根,
2
9.解:∵方程有两个实数根, ∴x1+x2=2(m+1),x1·x2=m +5,
∴Δ=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0. ∴(x1-1)(x2-1)=x1·x2-(x1+x2)+1
解这个不等式,得m≤0. =m
2+5-2(m+1)+1=28,
设方程两根为x1,x2,则x1+x2=-2(m- 解得m=-4或m=6.
2),x ·x =m2+4. 又1 2 ∵Δ=[-2(m+1)]
2-4(m2+5)=4(m+1)2
2 2 2
∵x2+x2-x ·x =21, -4(m +5)=4m +8m+4-4m -20=8m-16≥0,1 2 1 2
∴(x1+x 2 解得m≥2.∴m=6.2)-3x1·x2=21.
∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21. (2)当7为底边时,此时方程x
2-2(m+1)x+
2
整理得:m2-16m-17=0. m +5=0有两个相等的实数根,
2
解得:m =17,m =-1. ∴Δ=4(m+1)-4(m
2+5)=0,解得m=2.
1 2
2
又∵m≤0,∴m=-1. ∴方程变为x -6x+9=0,解得x1=x2=3.
10.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根, ∵3+3<7,∴不能构成三角形;
∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k-3>0,解得 当7为腰时,设x1=7,代入方程得49-14(m
3 +1)+m2+5=0,解得m=10或4.
k>4. 当m=10时方程变为x2-22x+105=0,解得
·11·
x=7或x=15.∵7+7<15,∴不能组成三角形; (3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题
当m=4时方程变为x2-10x+21=0,解得x 意,得:
=3或x=7,此时三角形的周长为7+7+3=17. (1 2 32n +2n)+4n=21×3,
第6节 应用一元二次方程(1) 解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).
【 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运课堂作业】
动了7s.
1.B 2.C 3.24cm 21cm 4.x(5+x)= 【新题看台】
84 7,12或-12,-7
5.解:设经过x 小时能赶上可疑船只,依据题 1.(22-x)(17-x)=300 2.12
意得 3.解:设AB=x 米,根据题意得:x(100-4x)
, 2(75x)2=(60x)2+302, =400 整理得x -25x+100=0
,解得:x1=20,x2
整理得2025x2=900, =5.
当AB=20米时,BC=20米;当AB=5米时,2, 2解得x1=3 x2=-3. BC=80米>25米,故舍去.
答:羊圈的边长AB,2 BC
都为20米.
因为时间不能为负值,所以x=- 舍去,3 第6节 应用一元二次方程(2)
2
∴x=3. 【课堂作业】
: 2答 经过 小时能赶上可疑船只. 1.A 2.B 3.A 4.20%3 5.(1)2.6(1+x)2
【课后作业】 (2)解:根据题意,得4+2.6(1+x)2=7.146.
, , (
1.D 2.A 3.B 4.x2-70x+825=0 5.7 解这个方程 得x1=0.1x2=-2.1 不合题
意,舍去)
和8 .
: , 答:可变成本平均每年增长的百分率是6.解 设甲步行每小时走x 千米 那么乙骑车 10%.
每小时走(x+10)千米,依据题意得 【课后作业】
30 15 1.A 2.C 3.20% 4.20
x+10+1=
,
x 5.解:(1)设该品牌电动自行车销售量的月平
化简得x2+25x-150=0, 均增长率为x,依据题意得
解之得x 21=5,x2=-30, 150(1+x)=216,
经检验x1=5,x2=-30都是方程的解,但x 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).
=-30不符合题意,舍去. 答:该品牌电动自行车销售量的月平均增长率
∴x=5. 为20%.
15÷5=3(小时), (2)该品牌电动自行车2月份的销量为150×(1
即甲 经 过3小 时 到 达 B 地,此 时 时 间 为9 +20%)=180(辆),∴该品牌电动车1至3月份的销
点钟. 量为150+180+216=546(辆),∴该经销商1至3
答:9点钟时甲、乙两人同时到达B 地. 月的盈利为546×(2800-2300)=273000(元).
7.解:(1)当t=4时, 答:该经销商1至3月共盈利273000元.
1 3 6.解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则
l=2×4
2+ (2×4=14cm
). 6000(1-x)2=4860,
答:甲运动4s后的路程是14cm. 解得:x1=0.1,x2=1.9(舍去),
(2)设它们运动了 ms后第一次相遇,根据题 ∴平均每次下调的百分率为10%.
意,得: (2)方案①可优惠:4860×100×(1-0.98)=
1 3 9720
(元),
( 2 ,2m +2m )+4m=21 方案②可优惠:100×80=8000(元).
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去). ∴方案①更优惠.
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运 【新题看台】
动了3s. 1.A 2.20%
·12·
数学 九年级上册
*第5节 一元二次方程的根与系数的关系
值为 ( )
A.-10 B.4 C.-4 D.10
1.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数 4.已知x1,x2 是方程2x2-7x+4=0的两根,
, b, c 则根x 和x 那么x +x =- xx = . x1+x2=
,x1·x2= .
1 2 1 2 a 1 2 a 5.如果关于x 的一元二次方程x2+px+q=0
2.与一元二次方程两根有关的变形式子: 的两根分别为x1=2,x2=1,那么p= ,
(1)x2 2 21+x2=(x1+x2)-2x1x2; q= .
()1 1 x1+x2 + = 2. 6.已知一元二次方程x
2-6x-5=0的两根为
x1 x2 x1x2
,, 1 1ab 则 的值是a+b .
7.不解方程,求下列方程两根x1,x2 的和与积.
活动一:做一做 (1)x2+x=12;
1.打开课本P49,完成课本中的做一做.
思考:一元二次方程的根的和、积与系数的关
系如何 请用数学公式写出来.
(2)3x2+10=2x2+8x.
2.请用文字写出一元二次方程的根的和、积与
系数的关系.
2
活动二:想一想 8.若方程3x -8x+m=0的两根之比为3∶
1.完成课本P50例题. 2,求m 的值.
2.上述一元二次方程的根的和、积与系数的关
系的条件是什么
3.根与系数的关系常见的变形式子有哪些
一、选择题
1.若关于x 的一元二次方程的两个根为x1=
1,x2=2,则这个方程是 ( )
A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0
1.已知x ,x 是一元二次方程x21 2 -2x=0的两 C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0
根,则x1+x2 的值是 ( ) 2.已知x1,x2 是关于x 的方程x2+ax-2b=
A.0 B.2 C.-2 D.4 0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba
2.若x1,x2 是方程x2-2x-1=0的两个根, 的值是 ( )
则x1+x2+2x1x2 的值为 ( ) 1 1
A. B.- C.4 D.-1
A.-3 B.0 C.1 D.4 4 4
3.已知m,n 是关于x 的一元二次方程x2-3x 3.关于x 的方程4x2+(a2-3a-10)x+4a=
+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a 的 0的两根互为相反数,则a 的值为 ( )
3 1
课时培优作业
A.5 B.-2
C.5或-2 D.2
4.方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的 1.(四川攀枝花中考题)若方程x2+x-1=0
实数根,且满足x1+x2=x1x2,则m 的值是( ) 的两实根为α,β,那么下列说法不正确的是 ( )
A.-2或3 B.3 A.α+β=-1 B.αβ=-1
C.-2 D.-3或2 2 2 1 1C.α +β =3 D. + =-1
二、填空题 α β
5.已知x =3是关于一元二次方程x2-4x+ 2.(广西玉林防城港中考题)x1,x2 是关于x1
c=0的一个根,则方程的另一个根x = . 的一元二次方程x
2-mx+m-2=0的两个实数
2
6.设m,n 是一元二次方程x2+2x-7=0的 1 1根,是否存在实数m 使 + =0成立 则正确的x1 x2
两个根,则m2+3m+n= .
结论是 ( )
7.若关于x 的方程x2+(k-2)x+k2=0的两 A.m=0时成立
根互为倒数.则k= . B.m=2时成立
8.若方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根之 C.m=0或2时成立
差为1,则k的值是 . D.不存在
三、解答题 3.(四川雅安中考题)关于x 的方程x2-(2m
9.已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两 -1)x+m2-1=0的两实数根为x1,x2,且x2 21+x2
个实数根,且两个根的平方和比两根的积大21,求 =3,则m= .
m 的值. 4.(广西桂林中考题)已知关于x 的一元二次
方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根x1 和x2,
且(x1-2)(x1-x2)=0,则k的值是 .
5.(湖 北 鄂 州 中 考 题)一元二次方程 mx2-
2mx+m-2=0.
(1)若方程有两实数根,求m 的范围;
(2)设方程两实根为x1,x2,且|x1-x2|=1,
10.关于x 的一元二次方程x2+(2k+1)x+ 求m.
k2+1=0有两个不等实根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若 方 程 两 实 根 x1,x2 满 足 x1+x2=
-x1·x2,求k的值.
6.(四川泸州中考题)已知x1,x2 是关于x 的
一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个
实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m 的值;
11.关于x 的一元二次方程x2+2x+k+1=0 (2)已知等腰△ABC 的一边长为7,若x1,x2
的实数解是x1 和x2. 恰好是△ABC 另外两边的边长,求这个三角形的
(1)求k的取值范围; 周长.
(2)如果x1+x2-x1x2<-1且k 为整数,求
k的值.
3 2
