第3节 反比例函数的应用 k②当k=-1时,函数y= (x k≠0,k 为常数)
【课堂作业】 的图象上有且只有两个“中国结”:(1,-1),(-1,
1);8
1.C 2.C 3.B 4.反比例 a=b 5.y= k③当k≠±1且k 为非零整数时,函数y=
1500 1 x
x x>0 6.y=-x (k≠0,k为常数)的图象上最少有4个“中国结”:
2 (1,k),(-1,-k),(k,1),(-k,-1),这与函数y
7.(1)k=40,m=80 (2)3h k= (x k≠0
,k 为常数)的图象上有且只有两个“中
4
8.解:(1)将A(m,2)代入y= ( ),得x x>0 m 国结”矛盾;
=2,则点A 坐标为A(2,2),将A(2,2)代入y=kx ④当k为分数或无理数时函数图象上没有“中
-k,得2k-k=2,解得k=2,则一次函数解析式为 国结”.
y=2x-2. k综上可得,当k=1时,函数y= (x k≠0
,k 为
(2)(3,0)或(-1,0)
【课后作业】 常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1),
(-1,-1);
1.D 2.D 3.C 4.B 5.250牛顿 6.2 k
7.40 6 8.①③④ 当k=-1时,函数y= (x k≠0
,k 为常数)的
9.解:(
a
1)∵点A(2,4)在反比例函数y2= 图象上有且只有两个“中国结”:(1,-1),(-1,1).x
的图象上, 11.解:(1)
k
设反比例函数解析式为y= ,将x
8
∴a=2×4=8,y2= . (25,6)代入解析式,得k=25×6=150,x
150
8 则反比例函数解析式为 = .
当x=-4时,m= =-2,∴点B 坐标为 y x-4
( , ) 将y=10代 入 反 比 例 函 数 解 析 式
,得10=
-4 -2 .
150
∵直线y1=kx+b 经过A(2,4)和 B(-4, ,x x=15
,故A(15,10).
-2), 设正比例函数解析式为y=nx,
{2k+b=4,∴ 将A(15,10)代入上式,-4k+b=-2,
解得:k=1, ,
10 2
b=2 得n= ,15=3
∴y1=x+2. 2
(2)设直线y1=x+2与x 轴交点为C. 则正比例函数解析式为y=3x.
由x+2=0,得x=-2, 综上,从药物释放开始,y 与x 之间的函数关
∴点C(-2,0). ì
∴S =S +S
2
x,3 0≤x≤15
,
△AOB △AOC △BOC
1 1 系式为y= í
= ×2×4+ ×2×2=6. 1502 2 , x x>15.
10.解:(1)∵x是整数,x≠0时,3x 是一个无 () 1502 由 =2,
理数,∴当x≠0,x是整数时,3x+2不是整数, x
∴x=0,y=2, 解得x=75(分钟).
答:从药物释放开始,师生至少在
即函数y= 3x+2的图象上“中国结”的坐标 75
分钟内不
(,) 能进入教室是 02 . .
【新题看台】
(2)
k
①当k=1时,函数y= ( , 为常x k≠0k 1.C 2.C 3.4 4.-11
数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1),(-1, k
); 5.解:(1)把A(2,5)分别代入-1 y=
和
x y=x
·25·
{k , k=10, ∴△AEF≌△AGF
(SAS),
=5
+b,得 2 解得{b=3. ∴EF=GF,2+b=5, 即EF=GD+DF,
(2)作AC⊥x 轴于点C, ∴EF=BE+DF.
由(1)得直线AB 的解析式为y=x+3,∴点B ∵BE=3,DF=4,
的坐标为(-3,0),OB=3. ∴EF=BE+DF=7.
∵点A 的坐标是(2,5),∴AC=5,∴S△AOB= 21.(1)证明:∵DE∥OC,CE∥OD,
1 · 1 15OB AC= ×3×5= . ∴四边形OCED 是平行四边形.2 2 2 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AO=OC=BO
=OD.
∴四边形OCED 是菱形.
(2)解:∵∠ACB=30°,∴∠DCO=90°-30°
=60°.
又∵OD=OC,∴△OCD 是等边三角形.
1
过D 作DF⊥OC 于F,则CF=2OC
,设CF
第一章测试卷 =x,则OC=2x,AC=4x.
一、1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.B ∴DF= 3x.∴OC·DF=83.
8.D 9.C 10.B ∴x=2.∴AC=4×2=8.
二、11.(2+ 2,2) 12.5 13.5 14.8 15.2
1
16.3 17.①②③④ 18.4n-1
三、19.证明:∵DE,DF 是△ABC 的中位线, 22.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴DE∥AB,DF∥AC, ∴AB=AD,∠B=∠D=90°.
∴四边形AEDF 是平行四边形. ∵AE=AF,
又∵∠BAC=90°, ∴Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴平行四边形AEDF 是矩形, ∴BE=DF.
∴EF=AD. (2)解:四边形AEMF 是菱形.
20.解:如 图,把 △ABE 逆 时 针 旋 转 90°得 ∵四边形ABCD 是正方形,
到△ADG, ∴∠BCA=∠DCA=45°,BC=DC.
∵BE=DF,
∴BC-BE=DC-DF,
即CE=CF,
易得△COE≌△COF,
∴OE=OF.
∵OM=OA,∴四边形AEMF 是平行四边形.
∵AE=AF,∴平行四边形AEMF 是菱形.
23.解:(1)四边形EFGH 是正方形.
∴BE=DG,AE=AG. (2)①∠HAE=90°+α.
∵∠EAF=45°, 在 ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-
∴∠FAG=90°-45°=45°, ∠ADC=180°-α.
∴∠EAF=∠FAG. ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形,
在△AEF 和△AGF 中, ∴∠HAD=∠EAB=45°,
AE=AG,{ ∴ ∠HAE =360°- ∠HAD - ∠EAB -∠EAF=∠GAF, ∠BAD=360°-45°-45°-(180°-α)=90°+α.AF=AF, ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形,
·26·
数学 九年级上册
第3节 反比例函数的应用
运用反比例函数的有关概念、性质去解决实际 1.如图,一次函数y=kx-3的图象与反比例
问题时,从中抽象出实际问题中的函数关系,并将 m
函数y= 的图象相交于A,B 两点,其中点A 的
文字语言转化为数学语言,再利用反比例函数的知 x
识去解决实际问题.对于反比例函数与一次函数结 坐标为(2,1),则k,m 的值分别为 ( )
合的题目,主要是考查确定两个函数的解析式、利 A.k=1,m=2 B.k=2,m=1
用图象交点来计算围成三角形的面积、利用图象来 C.k=2,m=2 D.k=1,m=1
确定两个函数值的大小.
活动一:做一做
1.打开课本P158,看一看课本中的图6-8,完
成与此相关的练习. 第1题
第2题
2.如图,正比例函数y1=k1x 和反比例函数y2
k
= 2的图象相交于 (, ),x A 12 B
两点,给出下列
结论:
2.举出日常生活中还有哪些反比例函数应用
①k1②当x<-1时,y1③当y1>y2 时,x>1;
④当x<0时,y2 的值随x 值的增大而减小.
其中正确的有 ( )
3.利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 A.0个 B.1个
是什么 C.2个 D.3个
3.受到压力为F(牛)(F 为常数,F>0)的物
体,所受的压强p(帕)与受力面积S(米2)的函数表
F
达式为p= ,则这个函数的图象为图中的 ( )
活动二:想一想 S
1.完成课本P158做一做中的第2题.
4.一块长方形花圃,长为a 米,宽为b米,面积
2.两个函数交点的含义是什么 为8平方米,那么a 与b成 函数关系,列出
a 关于b的函数关系式为 .
5.学校食堂有1500kg煤炭需运出,这些煤炭
运出的天数y 与平均每天运出的煤炭质量x(kg)之
3.解决反比例函数图象与一次函数的图象的 间的函数关系式为 ,x 的取值范围是
问题的常见形式有哪些 一般步骤是什么 .
6.若一次函数y=-2x+1的图象与反比例函
数图象的一个交点横坐标为1,则反比例函数关系
式为 .
8 7
课时培优作业
7.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)
k
与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t= ,其图象v 一、选择题
为如图所示的 一 段 曲 线,且 端 点 为 A(40,1)和 1.已知力F 所做的功W 是15焦,则表示力F
B(m,0.5). 与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系式的
(1)求k和m 的值; 图象大致为 ( )
(2)若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通过
该路段最少需要多少时间
A B
C D
k
2.关于x 的函数y=k(x+1)和y= (x k≠0
)
在同一坐标系中的图象大致是 ( )
8.如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数y=
4(x>0)的图象与一次函数y=kx-k 的图象的 A Bx
交点为A(m,2).
(1)求一次函数的解析式;
(2)设一次函数y=kx-k 的图象与y 轴交于
点B,若点P 是x 轴上一点,且满足△PAB 的面积
是4,直接写出点P 的坐标.
C D
3.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不
变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体的体积
V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的
气压大于120kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,
气球的体积应 ( )
5 5
A.不小于 m34 B.
小于 m34
4 4
C.不小于 m3 D.小于5 5m
3
第3题 第4题
8 8
数学 九年级上册
4.已知如图,一次函数y=ax+b 和反比例函 三、解答题
k k 9.如图,已知一次函数 =kx+b的图象与反
数y= 的图象交于A,B 两点,不等式x ax+b>
y1
x a
的解集为 ( )
比例函数y2= 的图象交于A(2,4)和x B
(-4,m)
A.x<-3 B.-31 两点.
C.x<-3或x>1 D.-3二、填空题 (2)求△AOB 的面积.
5.某人要用一根撬棒撬动一块大石头,已知阻
力和阻力臂不变,分别为1000牛顿和0.5米,当动
力臂l为2米时,撬动这块大石头所需的动力F 为
.
6.如图,一次函数y=kx-1的图象与x 轴交
3
于点A,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点x
B,BC 垂直x 轴于点C.若△ABC 的面积为1,则k
的值是 .
7.小丽家利用国家贷款买了“九安花园”的一
套价值100万元的住房.在交了首付后,假如他们每
年向银行付款y 万元,则预计x 年后结清余款,y 10.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐
与x 的函数如图所示,则小丽家缴了 万元 标均为整数的点称之为“中国结” .
的首付;如果计划用10年的时间还清剩余的钱(不 (1)求函数y= 3x+2的图象上所有“中国结”
包括利息),则小丽家每年至少还 万元. 的坐标;
(2)
k
若函数y= (x k≠0
,k 为常数)的图象上有
且只有两个“中国结”,试求出常数k 的值与相应
“中国结”的坐标.
9
8.函数y1=x(x≥0),y2= (x>0)的图象x
如图所示,则结论:①两函数图象的交点A 的坐标
为(3,3);②当x>3时,y2>y1;③当x=1时,BC
=8;④当x 逐渐增大时,y1 随着x 的增大而增大,
y2 随着 x 的增大而减小.其中正确结论的序号
是 .
8 9
课时培优作业
11.据媒体报道,近期“手足口病”可能进入发
病高峰期,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防
“手足口病”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃
烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫
克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图
中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根
据图象所示信息,解答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y 与x 之间的函数关
系式及自变量的取值范围; A B
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2
毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少
在多长时间内,师生不能进入教室
C D
3.(山西中考题)如图,已知一次函数y=kx-
4的图象与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,与反比
8
例函数y= 在第一象限内的图象交于点x C
,且A
为BC 的中点,则k= .
第3题 第4题
4.(贵州黔南中考题)如图,正比例函数y1=
k
k1x 与反比例函数
2
y2= 的图象交于A,B 两点,
1.(辽宁葫芦岛中考题)某体育场计划修建一 x
个容积一定的长方体游泳池,设容积为a(m3),泳 根据图象可直接写出当y1>y2 时,x 的取值范围
池的底面积S(m2)与其深度x(m)之间的函数关系 是 .
a 5.(浙江湖州中考题)如图,已知在平面直角坐
式为S= ( ),该函数的图象大致是 (x x>0
)
标系xOy 中,O 是坐标原点,点A(2,5)在反比例函
k
数y= 的图象上,过点A 的直线x y=x+b
交x 轴
于点B.
A B (1)求k和b的值;
(2)求△OAB 的面积.
C D
2.(湖南怀化中考题)已知一次函数y=kx+b
的图象如下所示,那么正比例函数y=kx 和反比例
b
函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是x
( )
9 0
