a-c a+b c-b EF n
设
-2= 7 = 1 =k
, ∴ ,DE=m
, ,
{a-c=-2k {a=3k EF+DE n+m∴ = (合比性质),∴ a+b=7k, 解得 b=4k, DE mc-b=k, c=5k. DF n+m即 = ,
∵a+b+c=24, DE m
∴3k+4k+5k=24,解得k=2. DE m∴ = .
∴a=6,b=8,c=10. DF m+n
(2)∵a2+b2=62+82=102=c2, 【新题看台】
∴△ABC 是直角三角形. 1.B 2.B 3.A
【新题看台】
第3节 相似多边形
1.A
2. 解:设 a = 2k,b = 3k,原 式 = 【课堂作业】
5a-2b ·( ) 5a-2b 10k-6ka-2b = = = 1.C 2.D 3.D 4.①和④、②和③ 5.∠A(a+2b)(a-2b) a+2b 2k+6k ∠EFA CB EF
4k 1
= . 6.解:不是.理由:因为玻璃的长与宽之比为8k 2 26∶18=13∶9,而镜框的外边长与宽之比为(26+
第2节 平行线分线段成比例 4)∶(18+4)=15∶11≠13∶9,所以它们不相似.
: :16 24【课堂作业】 7.解 由题意得 ,12=x ∴x=18.∵∠C'=
1.C 2.C 3.B 4.7.5 360°-(63°+129°+78°)=90°,又四边形ABCD∽
: AE AF EB 四边形5.证 明 ∵EF ∥BC,∴ = ,∴ A'B'C'D'
,∴∠C=∠C'=90°,即α=90°.
EB FC AE
8.解:()
1
FC 1 由已知得 MN=AB
,MD=
= , 2
AD=
AF 1
EB+AE FC+AF BC,
由比例的合比性质得
AE =
,即 2
AF ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,
AB AC, AE AF= ∴ = . DM MNAE AF AB AC ∴ ,AB=BC
6.解:(1)∵AD=4,DB=8, 1 2 2
∴AB=AD+DB=4+8=12, ∴ ,2AD =AB
AD 4 1
∴ = = . ∴由AB=4,得AD=42.AB 12 3 (2)矩形 DMNC 与矩形ABCD 的相似比为
(2)
AE AD
∵DE∥BC,∴AC=AB. DM 2
3 1 AB
=2.
∵AE=3,∴AC=
,
3 ∴AC=9. 【课后作业】
【课后作业】 1.B 2.B 3.B 4.C 5.(8,0) 6.25cm
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.33 7.1 7.8
2
8.解:
AD AE 3
∵DE∥BC,∴DB= = .
8.解:因为两个相似多边形的相似比为 ,所
EC 4 5
, CF AD CF 3
2
∵DF∥AC ∴ = ,∴ = ,即 以两个相似多边形的周长的比为 ,设这两个相似BF DB BF 4 5
BC-BF 3 21-BF 3 多边形的周长分别为2k 和5k,所以5k-2k=30,
BF =
, ,解得
4 BF =4 BF=12. 解得k=10,所 以 这 两 个 多 边 形 的 周 长 分 别 为
9.证明:∵l1∥l ∥l , 20cm 和2 3 50cm.
DE AB m 9.6
∴ = = ,EF BC n 10.解:(1)A (2)①相似比 ②相似比的平
·16·
方 ③相似比的立方 10 6
( ∴ =
,
3)由题意可得,相似比为1.1∶1.65=1∶1.5, EF 4
∴体积之比为13∶1.53=1∶3.375. 20解得:EF= .
设小朋友上幼儿园时的体重、体积分别为m1, 3
V1,九年级时的体重、体积分别为m2,V2.由相似知 【新题看台】
识可知m1∶m2=V1∶V2, 2
∴18∶m =1∶3.375,∴m =60.75kg. 1.C 2.B 3. 4.2.52 2 3
即他的体重为60.75kg. 5.解:∵DE∥BC,DE=2,BC=3,
【新题看台】 ∴△ADE∽△ABC,
1.D 2.A AE DE 2∴AC=BC=3.
第4节 探索三角形相似的条件(1) 6.证明:∵∠ABD=∠C,∠A 是公共角,
【课堂作业】 ∴△ABD ∽△ACB,
AB AD
1.B 2.B 3.A 4.∠D=∠B 或∠AED= ∴ ,AC=AB
10
∠C 5.3 6.4.8
∴AB2=AD·AC.
:
: , , 7.解 在△ABD 与△ACB 中
,∠ABD=∠C,
7.解 ∵∠A=45° ∠B=26°
C AB AD∴∠ =180°- ∠A - ∠B =109°,∴ ∠C ∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB,∴ 又AC=AB. ∵
=∠B'.
, 6 4又∵∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'C'B'. AB=6,AD=4,∴ = ,AC 6 ∴AC=9
,CD=AC-
8.(1)50° (2)60° (3)6.6cm AD=9-4=5.
【课后作业】
第4节 探索三角形相似的条件()14 8 2
1.C 2.B 3.C 4.C 5.6 6.3 7.15 【课堂作业】
8 8
8. 或5 11 16 101.C 2.B 3.B 4.3或 5.
9.证明:∵△PMN 是等边三角形, 3 3
证明:在 和 中,
∴∠PMN=60°,PN=MP, 6. △ABD △CBE
, ,
∴∠AMP=180°-∠PMN=120°=∠APB. ∵∠DAB=∠ECB ∠ABD=∠CBE
又∵∠A=∠A,∴△AMP∽△APB, ∴△ABD∽△CBE
,
AM MP AB BD AB BC
∴ = , ∴ =
,即
CB BE DB=BE.AP PB
∴AM·PB=MP·AP, ∵ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC,∠DBE =
∴AM·PB=PN·AP. ∠DBC+ ∠CBE,∠ABD = ∠CBE,∴ ∠ABC
10.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, =∠DBE.
∴∠A=∠D=90°, AB BC在 △ABC 和 △DBE 中, = ,∠ABC
∴∠AEB+∠ABE=90°. DB BE
,
∵EF⊥BE, =∠DBE
∴∠AEB+∠DEF=90°, ∴△ABC∽△DBE.
∴∠DEF=∠ABE, 【课后作业】
∴△ABE∽△DEF. 1.A 2.A 3.B 4.∠B=∠AED(答案不
(2)解:∵△ABE∽△DEF, 唯一) 5.65°或115°
BE AB 6.(∴ = . 1
)证明:∵四边形ABCD 是正方形.
EF DE ∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+
∵AB=6,AD=12,AE=8, ∠APD=90°.
∴BE= AB2+AE2=10,DE=AD-AE= ∵∠DPE=90°,∴∠APD+∠EPB=90°,
12-8=4, ∴∠ADP=∠EPB.
·17·
数学 九年级上册
第3节 相似多边形
2.下列说法中错误的是 ( )
A.相似多边形的对应边成比例
1.各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫 B.相似多边形的对应角相等
做相似多边形. C.相似多边形的边数相同
2.相似多边形对应边的比叫做相似比.同时注 D.对应边成比例的两个多边形是相似多边形
意两个等边三角形和正方形一定是相似多边形. 3.两个相似五边形,一组对应边的长分别为
3cm 和4.5cm,则这两个多边形的相似比可能是
( )
活动一:看一看 3 5 1 2A. B.
1.打开课本P86,看一看课本中的图4-11. 4 6
C.2 D.3
思考:这两个投射到屏幕的图形有什么相同点 4.下列四副剪纸:
和不同点
① ② ③ ④
其中是相似图形的是 (填序号).
2.举出日常生活中还有哪些这样的图形.
5.如图,四边形 EFAD∽四边形 ABCD,则
∠C 的对应角是 ,∠B 的对应角是
AF ( )
,( )= AB .
活动二:想一想
1.完成课本P87想一想.
6.一块矩形玻璃,长26cm,宽18cm,配上一个
2.完成课本P87做一做. 边宽为2cm的镜框(如图),玻璃和镜框的外边是相
似矩形吗 并说明理由.
3.常见的多边形一定是相似多边形的有哪些
它们有什么共同特征
1.放大镜中的多边形与原多边形的关系是
( )
A.形状不同,大小不同
B.形状相同,大小相同
C.形状相同,大小不同
D.形状不同,大小相同
5 1
课时培优作业
7.如图所示,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',
求未知边x 的长度和α的大小.
一、选择题
1.五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E',若对
应边AB 与A'B'的长分别为50厘米和40厘米,则
五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比是
( )
A.5∶4 B.4∶5
C.5∶25 D.25∶5
2.如图所示,一般书本的纸张是原纸张多次对
开得到的,矩形 ABCD 沿EF 对开后,再把矩形
EFCD 沿MN 对开,依此类推,若各种开本的矩形
AB
都相似,则 等于 (
AD
)
2
A.0.618 B.2
C.2 D.2
3.如图所示,有三个矩形,其中是相似形的是
8.如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN,矩形 ( )
DMNC 与矩形ABCD 相似,已知AB=4.
(1)求AD 的长;
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比.
甲 乙 丙
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
4.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相
似,则此矩形的长边与短边的比是 ( )
A.2∶1 B.4∶1
C.2∶1 D.1∶ 2
二、填空题
5.若△OAB 各个顶点的坐标分别为O(0,0),
A(2,4),B(4,0),要想得到与△OAB 形状相同的
一个△OA'B',已知点A'(4,8),且点B'位于x 轴
上,则点B'的坐标为 .
6.巡警李铭在犯罪现场发现一只脚印,他把随
身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照,照片
送到刑侦科,他们测得照片中的脚印和钞票的长度
分别为5cm和3.1cm,一张百元钞票的实际长度为
15.5cm,则脚印的实际长度为 .
7.如图,在长为8cm、宽为4cm的矩形中,截
去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原
5 2
数学 九年级上册
矩形相似,则留下矩形的面积是 cm2. A.两个球体 B.两个圆锥体
C.两个圆柱体 D.两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质:①相似
体的一切对应线段(或弧)长的比等于 ;
三、解答题 ②相似体表面积的比等于 ;③相似体体积
2
8.已知两个相似多边形的相似比为 ,它们的 的比等于 .5 (3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期
周长之差为30cm,求这两个相似多边形的周长.
的同一个人的人体是相似体.一个小朋友上幼儿园
时身高为1.1m,体重为18kg.到了九年级时,身高
为1.65m,问:他的体重是多少 (不考虑不同时期
人体平均密度的变化)
9.如图,在梯形ABCD 中,EF∥AB∥DC,AB
=9,DC=4,若用EF 把原梯形分成两个相似的小
梯形,求EF 的长.
1.(福建莆田中考题)下列四组图形中,一定相
似的是 ( )
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
10.我们把相似形的概念推广到空间:如果两 D.正五边形与正五边形
个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把 2.(河北中考题)在研究相似问题时,甲、乙同
它们叫做相似体.如图所示,甲、乙是两个不同的正 学的观点如下:
方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之 甲:将边长为3,4,5的三角形按图①的方式向
比都等于相似比(a∶b). 外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,
则新三角形与原三角形相似.
乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外
扩张,得到新矩形,它们的对应边间距均为1,则新
矩形与原矩形不相似.
甲 乙
设S甲,S乙 分别表示这两个正方体的表面积,则
S 6a2甲
= = a
2
÷
S乙 6b2 èb . 图① 图②
又设V甲,V乙 分别表示这两个正方体的体积,则 对于两人的观点,下列说法正确的是 ( )
V a3 a 3甲 A.两人都对= ÷V b3=乙 èb . B.两人都不对
(1)下列几何体中,一定属于相似体的是 C.甲对,乙不对
. D.甲不对,乙对
5 3
