数学 九年级上册
第4节 探索三角形相似的条件(2)
2.如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交
于O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角
两个三角形相似的判定定理:两边成比例且夹 形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确
角相等的两个三角形相似. 的是 ( )
活动一:想一想
1.打开课本P91,已知两边成比例,增加一个相
等的角这个条件.
思考:相等的角有哪几种情况 A.①与②相似 B.①与③相似
C.①与④相似 D.②与③相似
3.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条
2.当相等的角是夹角时,两个三角形一定相 件后,仍无法判定△ABC∽△ADE 的是 ( )
似吗
3.写出本节课中判定两个三角形相似的判定
定理.
AB AC AB BC
A.AD=AE B.AD=DE
4.写出课本P91例2解题过程中的依据. C.∠B=∠D D.∠C=∠AED
4.在△ABC 和△A'B'C'中,∠B=∠B',AB
=6,BC=8,B'C'=4,则当 A'B'= 时,
活动二:做一做 △ABC 与△A'B'C'相似.
1.打开课本P92,完成想一想. 5.在△ABC 中,点 D,E 分别在AB,AC 上,
AD∶AB=AE ∶AC =2∶3,BC =5,则 DE
= .
2.运用三角形相似判定定理2需要注意什么 6.如 图,已 知 ∠DAB = ∠ECB,∠ABD =
∠CBE.求证:△ABC∽△DBE.
3.判定两个三角形相似的判定定理有哪些
1.能说明△ABC 和△A1B1C1 相似的条件是
( )
A.AB∶A1B1=AC∶A1C1
B.AB∶A1C1=BC∶A1C1 且∠A=∠C1
C.AB∶A1B1=BC∶A1C1 且∠B=∠A1
D.AB∶A1B1=AC∶A1C1 且∠B=∠B1
5 7
课时培优作业
(1)求证:∠ADP=∠EPB;
(2)求∠CBE 的度数;
一、选择题 () AP3 当 的值等于多少时,△PFD∽△BFP
1.已知如图:(1)、(2)中各有两个三角形,其边 AB
长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD 交于 并说明理由.
O 点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确
的是 ( )
(1) (2)
A.都相似 B.都不相似
C.只有(1)相似 D.只有(2)相似
2.如图,D,E 分别是AB,AC 上的点,在下列
: ; AD AE DE条件中 ①∠AED=∠B ②AC =
;
AB ③BC = 1.(贵 州 贵 阳 中 考 题)如 图,在 方 格 纸 中,
AD 和, △ABC △EPD
的顶点均在格点上,要使△ABC
能判定
AC △ADE
与△ACB 相似的是 ( )
∽△EPD,则点P 所在的格点为 ( )
A.①② B.①③
C.①②③ D.①
3.在等边△ABC 中,点D,E 分别在AC,AB
边上, AD 1且
AC=
,
3 AE=BE
,则有 ( ) A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
2.(山东淄博中考题)如图,四边形ABCD 中,
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD AC⊥BD 交BD 于点E,点F,M 分别是AB,BC
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD 的中点,BN 平分∠ABE 交AM 于点N,AB=AC
二、填空题
=BD,连接MF,NF.
4.如图所示,D,E 分别是△ABC 的边AB,AC (1)判断△BMN 的形状,并证明你的结论;
上的点,试添加一个条件: ,使得△ABC (2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说
∽AED. 明理由.
5.△ABC 中,∠B=25°,AD 是BC 边上的高,
并且AD2=BD·DC,则∠BCA 的度数为 .
三、解答题
6.如图,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点
(不与点A,B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P
顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE 交边BC 于
点F,连接BE,DF.
5 8方 ③相似比的立方 10 6
( ∴ =
,
3)由题意可得,相似比为1.1∶1.65=1∶1.5, EF 4
∴体积之比为13∶1.53=1∶3.375. 20解得:EF= .
设小朋友上幼儿园时的体重、体积分别为m1, 3
V1,九年级时的体重、体积分别为m2,V2.由相似知 【新题看台】
识可知m1∶m2=V1∶V2, 2
∴18∶m =1∶3.375,∴m =60.75kg. 1.C 2.B 3. 4.2.52 2 3
即他的体重为60.75kg. 5.解:∵DE∥BC,DE=2,BC=3,
【新题看台】 ∴△ADE∽△ABC,
1.D 2.A AE DE 2∴AC=BC=3.
第4节 探索三角形相似的条件(1) 6.证明:∵∠ABD=∠C,∠A 是公共角,
【课堂作业】 ∴△ABD ∽△ACB,
AB AD
1.B 2.B 3.A 4.∠D=∠B 或∠AED= ∴ ,AC=AB
10
∠C 5.3 6.4.8
∴AB2=AD·AC.
:
: , , 7.解 在△ABD 与△ACB 中
,∠ABD=∠C,
7.解 ∵∠A=45° ∠B=26°
C AB AD∴∠ =180°- ∠A - ∠B =109°,∴ ∠C ∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB,∴ 又AC=AB. ∵
=∠B'.
, 6 4又∵∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'C'B'. AB=6,AD=4,∴ = ,AC 6 ∴AC=9
,CD=AC-
8.(1)50° (2)60° (3)6.6cm AD=9-4=5.
【课后作业】
第4节 探索三角形相似的条件()14 8 2
1.C 2.B 3.C 4.C 5.6 6.3 7.15 【课堂作业】
8 8
8. 或5 11 16 101.C 2.B 3.B 4.3或 5.
9.证明:∵△PMN 是等边三角形, 3 3
证明:在 和 中,
∴∠PMN=60°,PN=MP, 6. △ABD △CBE
, ,
∴∠AMP=180°-∠PMN=120°=∠APB. ∵∠DAB=∠ECB ∠ABD=∠CBE
又∵∠A=∠A,∴△AMP∽△APB, ∴△ABD∽△CBE
,
AM MP AB BD AB BC
∴ = , ∴ =
,即
CB BE DB=BE.AP PB
∴AM·PB=MP·AP, ∵ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC,∠DBE =
∴AM·PB=PN·AP. ∠DBC+ ∠CBE,∠ABD = ∠CBE,∴ ∠ABC
10.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, =∠DBE.
∴∠A=∠D=90°, AB BC在 △ABC 和 △DBE 中, = ,∠ABC
∴∠AEB+∠ABE=90°. DB BE
,
∵EF⊥BE, =∠DBE
∴∠AEB+∠DEF=90°, ∴△ABC∽△DBE.
∴∠DEF=∠ABE, 【课后作业】
∴△ABE∽△DEF. 1.A 2.A 3.B 4.∠B=∠AED(答案不
(2)解:∵△ABE∽△DEF, 唯一) 5.65°或115°
BE AB 6.(∴ = . 1
)证明:∵四边形ABCD 是正方形.
EF DE ∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+
∵AB=6,AD=12,AE=8, ∠APD=90°.
∴BE= AB2+AE2=10,DE=AD-AE= ∵∠DPE=90°,∴∠APD+∠EPB=90°,
12-8=4, ∴∠ADP=∠EPB.
·17·
(2)解:过点E 作EG⊥AB 交AB 的延长线于 FM NM
, ∴ = .点G 则∠EGP=∠A=90°. BD BC
又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE, ∵AM⊥BC,∴∠NMF+∠FMB=90°.
∴△PAD≌△EGP, ∵FM∥AC,∴FM⊥BE,∴∠CBD+∠FMB
∴EG=AP,AD=AB=PG, =90°,
∴AP=EG=BG, ∴∠NMF=∠CBD,
∴∠CBE=∠EBG=45°. ∴△MFN∽△BDC.
第4节 探索三角形相似的条件(3)
【课堂作业】
1.C 2.C 3.D 4.相似 5.23
6.证得AM2=AN·MN 即可.
(3)解:
AP 1
当 = 时,△PFD∽△BFP. AB 6 3 BC 7.5 3 ACAB 2 7.证明:∵DE=4=
, ,
2 EF= 5 =2 DF
理 由 如 下:∵ ∠ADP = ∠FPB,∠A 9 3
=∠PBF, =6=
,
2
∴△ADP∽△BPF. AB BC AC
1 ∴ = =
,
DE EF DF ∴△ABC∽△DEF
,∴∠A
设AD=AB=a,则AP=PB= ,2a =∠D.
∴BF=BP·
AP 1
= a, 8.解:设每个小正方形的边长为单位“1”,结合AD 4 格点,根 据 勾 股 定 理 可 得,A1B1= 5,A1C1=
5
∴PD= AD2+AP2= a, 10,2 B1C1 =5
;A2B2 = 2,A2C2 =2,B2C2
5 = 10
;
PF= PB2+BF2=4a
, A1B1 5 10 B C 5 10∴A B = =
, 1 1 ,
BP BF 5 2 2 2 2 B
= =
2C2 10 2
∴PD=PF=5. A1C1 10,
又∵∠DPF=∠PBF=90°, A C =2 2 2
∴△PFD∽△BFP. A
∴ 1
B1 B1C1 A= = 1
C1,
【新题看台】 A2B2 B2C2 A2C2
1.C ∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
2.解:(1)△BMN 是等腰直角三角形. 【课后作业】
证明:∵AB=AC,点 M 是BC 的中点,∴AM 1.C 2.B 3.B 4.B 5.3 6.7.6或12.4
⊥BC,AM 平分∠BAC. 7.35-3 8.90
∵BN 平分∠ABE,AC⊥BD, AB
9.解:矩 形 ABFE 是 黄 金 矩 形1 .
由 于
BC =
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN= (2 ∠BAE 5-1
+∠ABE)=45°. ,设2 AB=
(5-1)k,BC=2k,所以FC=CD
∴△BMN 是等腰直角三角形. =AB,BF=BC-FC=BC-AB=2k-(5-1)k
(2)△MFN∽△BDC.
理由如下:∵点F,
( )
M 分别是AB,BC 的中点, ( ), BF 3- 5k 5-1= 3- 5k 所以 = = ,所以矩AB (
1 5-1
)k 2
∴FM∥AC,FM=2AC. 形ABFE 是黄金矩形.
1 FM 1 10.解:由三角形三边的关系可知,只能截取
∵AC=BD,∴FM=2BD
,即
BD=2. 150cm的钢筋,设截取后一段长为xcm,则另一段
∵△BMN 是等腰直角三角形, 长为ycm.
1 NM 1 分三种情况:
∴NM=BM=2BC
,即
BC =2. (1)当40cm 的 边 与25cm 的 边 是 对 应 边
·18·
