(2)解:过点E 作EG⊥AB 交AB 的延长线于 FM NM
, ∴ = .点G 则∠EGP=∠A=90°. BD BC
又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE, ∵AM⊥BC,∴∠NMF+∠FMB=90°.
∴△PAD≌△EGP, ∵FM∥AC,∴FM⊥BE,∴∠CBD+∠FMB
∴EG=AP,AD=AB=PG, =90°,
∴AP=EG=BG, ∴∠NMF=∠CBD,
∴∠CBE=∠EBG=45°. ∴△MFN∽△BDC.
第4节 探索三角形相似的条件(3)
【课堂作业】
1.C 2.C 3.D 4.相似 5.23
6.证得AM2=AN·MN 即可.
(3)解:
AP 1
当 = 时,△PFD∽△BFP. AB 6 3 BC 7.5 3 ACAB 2 7.证明:∵DE=4=
, ,
2 EF= 5 =2 DF
理 由 如 下:∵ ∠ADP = ∠FPB,∠A 9 3
=∠PBF, =6=
,
2
∴△ADP∽△BPF. AB BC AC
1 ∴ = =
,
DE EF DF ∴△ABC∽△DEF
,∴∠A
设AD=AB=a,则AP=PB= ,2a =∠D.
∴BF=BP·
AP 1
= a, 8.解:设每个小正方形的边长为单位“1”,结合AD 4 格点,根 据 勾 股 定 理 可 得,A1B1= 5,A1C1=
5
∴PD= AD2+AP2= a, 10,2 B1C1 =5
;A2B2 = 2,A2C2 =2,B2C2
5 = 10
;
PF= PB2+BF2=4a
, A1B1 5 10 B C 5 10∴A B = =
, 1 1 ,
BP BF 5 2 2 2 2 B
= =
2C2 10 2
∴PD=PF=5. A1C1 10,
又∵∠DPF=∠PBF=90°, A C =2 2 2
∴△PFD∽△BFP. A
∴ 1
B1 B1C1 A= = 1
C1,
【新题看台】 A2B2 B2C2 A2C2
1.C ∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
2.解:(1)△BMN 是等腰直角三角形. 【课后作业】
证明:∵AB=AC,点 M 是BC 的中点,∴AM 1.C 2.B 3.B 4.B 5.3 6.7.6或12.4
⊥BC,AM 平分∠BAC. 7.35-3 8.90
∵BN 平分∠ABE,AC⊥BD, AB
9.解:矩 形 ABFE 是 黄 金 矩 形1 .
由 于
BC =
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN= (2 ∠BAE 5-1
+∠ABE)=45°. ,设2 AB=
(5-1)k,BC=2k,所以FC=CD
∴△BMN 是等腰直角三角形. =AB,BF=BC-FC=BC-AB=2k-(5-1)k
(2)△MFN∽△BDC.
理由如下:∵点F,
( )
M 分别是AB,BC 的中点, ( ), BF 3- 5k 5-1= 3- 5k 所以 = = ,所以矩AB (
1 5-1
)k 2
∴FM∥AC,FM=2AC. 形ABFE 是黄金矩形.
1 FM 1 10.解:由三角形三边的关系可知,只能截取
∵AC=BD,∴FM=2BD
,即
BD=2. 150cm的钢筋,设截取后一段长为xcm,则另一段
∵△BMN 是等腰直角三角形, 长为ycm.
1 NM 1 分三种情况:
∴NM=BM=2BC
,即
BC =2. (1)当40cm 的 边 与25cm 的 边 是 对 应 边
·18·
时,得 *第5节 相似三角形判定定理的证明40 x y
= ,解得 , , ,25 30=50 x=48y=80x+y<150 【课堂作业】
符合题意;
1.C 2.C 3.相似 4.答案不唯一,如() BC∶2 当40cm 的 边 与30cm 的 边 是 对 应 边
, EF=2∶1
或∠A=∠D
时 得
GE DE
40 x y, 1, 2, 5.
(1)证明:∵AD∥BC,∴ = .
30= =
解得
25 50 x=33 y=66 x+y
GB BC
3 3
∵E 是AD 的中点,, ∴DE=AE
,
<150 符合题意;
(3)
GE AE
当40cm 的 边 与50cm 的 边 是 对 应 边 ∴GB=BC.
时,得
AE EF
40 x y (2)解:∵AD∥BC,∴ = .
50=25=
,解得
30 x=20
,y=24,x+y<150, BC BF
() GE AE符合题意; 由 1 得 = ,
GE EF,
GB BC ∴GB=BF
因此,另外两边的长度为48cm 与80cm,或 2 EF
1 2 ∴ ,
33 cm 与66 cm,或20cm与24cm. 2+3+EF
= 3
3 3 即EF2+5EF-6=0,
11.解:(1)根据勾股定理,得AB=25,AC= 解得EF=1或EF=-6(舍去).
5,BC=5; ∴EF 的长为1.
显然有AB2+AC2=BC2, 【课后作业】
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三
相似
角形. 1.D 2.B 3.C 4. 5.①② 6.22
(2)△ABC 和△DEF 相似. 2或
4
根据 勾 股 定 理,得 AB=2 5,AC= 5,BC
, 7.
(1)证明:∵AC 平分∠DAB,
=5
∴∠DAC=∠CAB.
DE=42,DF=22,EF=2 10. ∵∠ADC=∠ACB=90°,
AB AC BC 5
∴DE= = =
, ∴△ADC∽△ACB,
DF EF 22 ∴AD∶AC=AC∶AB,
∴△ABC∽△DEF. ∴AC2=AB·AD.
(3)如图,△P2P4P5 即为所求三角形. (2)证明:∵E 为AB 的中点,
1
∴CE=2AB=AE
,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠DAC=∠CAB,
【新题看台】 ∴∠DAC=∠ECA,
1.3 ∴CE∥AD.
2.解:(1)如图所示:△A B C 即为所求; (3)解:∵CE∥AD,1 1 1
(2)如图所示:△A2B2C2 即为所求.(答案不唯 ∴△AFD∽△CFE,
一,符合题意即可) ∴AD∶CE=AF∶CF.
1
∵CE= AB,2
1
∴CE=2×6=3.
∵AD=4,
4 AF
∴ ,3=CF
AC 7
∴AF=4.
·19·
数学 九年级上册
第4节 探索三角形相似的条件(3)
1.两个三角形相似的判定定理:三边成比例的 1.已知△ABC 的三边长分别为6cm,7.5cm,
两个三角形相似. 9cm,△DEF 的一边长为4cm,当△DEF 的另两
2.一般地,点C 把线段AB 分成两条线段AC 边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 ( )
, AC BC, , ,和BC 如果 那么称线段AB=AC AB
被点C 黄金 A.2cm3cm B.4cm5cm
C.5cm,6cm D.6cm,7cm
分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 2.如图,A,B,C,P,Q,甲,乙,丙,丁都是方格
的比叫做黄金比. 纸中的格点,若使△PQR∽△ABC,则点 R 应是
甲、乙、丙、丁四点中的 ( )
活动一:做一做
1.打开课本P93,完成做一做.
2.写出本节课中判定两个三角形相似的判定 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
定理. 1
3.若把△ABC 各边分别缩小为原来的 ,得3
到△A1B1C1,下面结论正确的是 ( )
A.△ABC 与△A1B1C1 不一定相似3.写出课本P94例3解题过程中的依据.
B.△ABC 与△A1B1C1 的相似比为1∶3
C.△ABC 与△A1B1C1 各对应角不相等
D.△ABC 与△A1B1C1 的相似比为3∶1
4.日常生活中两个形状相同的三角板也相 4.在△ABC 中,AB∶AC∶BC=4∶3∶2,在
似吗 △A1B1C1 中,A1B1∶A1C1∶B1C1=3∶2∶4,则
△ABC 与△A1B1C1 (填“相似”或“不相
似”).
活动二:做一做 5.据有关实验测定,当气温处于人体正常体温
1.打开课本P95,看图4-18中的图形,并完成 (37℃)的黄金比值时,人体感到最舒适.这个气温
针对图4-18的问题. 约为 ℃.(精确到1℃)
6.已知线段MN=1,在MN 上有一点A,如果
3- 5
AN= .求证:点A 是MN 的黄金分割点2 .2.黄金比是多少
3.完成课本P96的想一想.
4.写出判定两个三角形相似的所有判定定理.
5 9
课时培优作业
7.已知△ABC 的三边长分别为AB=6cm,
BC=7.5cm,AC=9cm,△DEF 的三边长分别为
DE=4cm,EF=5cm,DF=6cm.求 证:∠A
=∠D.
A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)
3.如图,扇子的圆心角为x°,余下的扇形的圆
心角为y°,x 与y 的比通常按黄金比来设计,这样
的扇子外形较美观,若取黄金比为0.6,则x 为
( )
A.216 B.135
C.120 D.108
8.如图所示,在正方形网格上有两个三角形
A1B1C1 和A2B2C2,求证:△A1B1C1∽△A2B2C2.
第3题 第4题
4.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和
BC,
AC BC
如果 = ,那么称线段AB 被点C 黄金分AB AC
BC
割,AC 与AB 的比叫做黄金比,则 等于 ( )AB
5-1 3- 5
A. 2 B. 2
5+1 3+ 5
C. 2 D. 2
二、填空题
5.若△ABC 各边分别为AB=25cm,BC=
20cm,AC=15cm,△DEF 的两边为DE=5cm,
一、选择题 EF=4cm,则当DF= cm时,△ABC 与
1.△ABC 和△DEF 满足下列条件,其中能使 △DEF 相似.
△ABC 与△DEF 相似的是 ( ) 6.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的
黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 长为20m,
A.AB=c,AC=b,BC=a,DE= a,EF=
则主持人应走到离A 点 m处,她处在比
b,DF=c 较得体的位置.(结果精确到0.1m)
B.AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,
DF=1
C.AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,
DF=6
D.AB= 2,AC= 3,BC= 5,DE= 6,EF
=3,DF=3 7.我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthe-
2.如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7), nonTemple)的正面是一个黄金矩形.若已知黄金矩
(1,1),(4,1),(6,1),若以C,D,E 为顶点的三角形 形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于 .
与△ABC 相似,则点E 的坐标不可能是 ( ) (结果保留根号)
6 0
数学 九年级上册
, ,AD AM 11.如图
,在边长为1的小正方形组成的网格
8.如图 四边形 ABCD 为矩形 AB=AN = 中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,P1,P2,
DM,则∠MAN 的度数为 度. P3,P4,P5 是△DEF 边上的5个格点,请按要求完BN 成下列各题:
(1)试证明△ABC 为直角三角形;
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明
理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,
P3,P4,P5 中的3个格点,并且与△ABC 相似(要
三、解答题
求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明).
AB
9.如果一个矩形ABCD(AB5-1
≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金2
矩形给人以美感.在黄金矩形 ABCD 内作正方形
CDEF,得到一个小矩形 ABFE(如图),请问矩形
ABFE 是否是黄金矩形 请说明你的结论的正
确性.
1.(山东淄博中考题)在△ABC 中,P 是AB 上
的动 点(P 异 于 A,B),过 点 P 的 一 条 直 线 截
△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,我们不妨
称这种直线为过点 P 的△ABC 的相似线.如图,
∠A=36°,AB=AC,当点P 在AC 的垂直平分线
上时,过点P 的△ABC 的相似线最多有 条.
10.一个钢筋三角架三边长分别为25cm,
30cm,50cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角 2.(安徽中考题)如图,在边长为1个单位长度
架,而只有长为40cm和150cm的两根钢筋,要求 的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶
以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有 点是网格线的交点).
余料)作为另两边,写出所有不同的截法. (1)将 △ABC 向 上 平 移 3 个 单 位 得 到
△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)请画出一个格点△A2B2C2,使△A2B2C2
∽△A1B1C1,且相似比不为1.
6 1
