参考答案
第一章 特殊平行四边形 ∵AE=EC
,
∴∠EAC=∠ACE.
第1节 菱形的性质与判定(1) ∵∠CEF=60°
,
∴∠EAC=30°,
【课堂作业】 ∴AF 是△ABC 的角平分线,
1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.4 ∴BF=CF,
∴点F 是线段BC 的中点.
7.2 13
8.(1)解:图中有三对全等三角形:①△ABC≌ 【新题看台】
△ADC,②△ABF≌△CDE,③△ADE≌△CBF. 1.C 2.C 3.27
(2)证明:∵四边形ABCD 是菱形, 4.证明:∵四边形ADEF 是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD, ∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC.
∴∠BAC=∠DCA. ∴∠A=∠BDE,∠A=∠CFE.
∵AE=CF, ∴∠BDE=∠CFE.
∴AE+EF=CF+EF, 又∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴AF=CE. 在△DBE 与△FCE 中,
在△ABF 和△CDE 中, ∠B=∠C,
{AB=CD
, ∠BDE=∠CFE,
∠BAC=∠DCA, {DE=FE,
AF=CE, ∴△DBE≌△FCE.
∴△ABF≌△CDE(SAS), ∴BE=CE.
∴∠BFA=∠DEC,
∴ED∥BF. 第1节 菱形的性质与判定(2)
9.(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB= 【课堂作业】
CD,AB∥CD.又∵BE=AB,∴四边形BECD 是
平行四边形,∴BD=EC. 1.D 2.B 3.C 4.①或③
(2)解:∵四边形BECD 是平行四边形,∴BD
∥CE,∴∠ABO=∠E=50°.又∵四边形ABCD 是 5.证明:如图,
菱形,∴AC⊥BD,∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.
【课后作业】
1.B 2.A 3.D 4.B 5.1∶2 16 6.30° ∵AB∥DC,
50 7.G ∴∠1=∠2.
8.(1)∠ABD=60° (2)BE=1 ∠1=∠2,
9.(1)证明:连接AC. 在△CFO 和△AEO 中,{∠FOC=∠EOA,
∵BD 是菱形ABCD 的对角线, OC=OA,
∴BD 垂直平分AC, ∴△CFO≌△AEO.
∴AE=EC. ∴OF=OE,
(2)解:点F 是线段BC 的中点. 又∵OA=OC,
理由:∵四边形ABCD 是菱形, ∴四边形AECF 是平行四边形.
∴AB=CB. 又∵EF⊥AC,
又∵∠ABC=60°, ∴四边形AECF 是菱形.
∴△ABC 是等边三角形, 6.证明:连接 MP,PN,NQ,QM,
∴∠BAC=60°. ∵M,N,P,Q 分别是AD,BC,BD,AC 的中点,
·1·
1 , 1 , 1 , ∵AM⊥BC
,AN⊥DC,∴∠AMB=∠AND
∴PM = 2AB PN= 2DC NQ= 2AB =90°.
1
MQ= DC. ∵AM =AN
,∴ △AMB ≌ △AND,∴AB
2 =AD,
∵AB=CD, ∴四边形ABCD 是菱形.
∴PM=PN=NQ=MQ. 5.(1)证 明:在 △ABC 与 △ADC 中,AB=
∴四边形 MPNQ 是菱形. AD,BC=DC,AC=AC,
∴MN 与PQ 互相垂直平分. ∴△ABC≌△ADC.∴∠1=∠2.
【课后作业】 (2)解:∵BC=DC,∠1=∠2,∴OD=OB,OC
1.B 2.A 3.C 4.A 5.答案不唯一,如 ⊥BD.
4 ∵OE=OC,∴四边形BCDE 是平行四边形.
OA=OC 等 6.AB=CD 7.菱形 8.3 3 ∵OC⊥BD,∴ BCDE 是菱形.
9.证 明:(1)在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AD 6.(1)证明:∵△ABC 绕点A 逆时针方向旋转
∥BC, 100°得到△ADE,
∴∠AEB=∠EAD. ∴ ∠BAD = ∠CAE =100°,AB =AD,AC
∵AE=AB, =AE.
∴∠ABE=∠AEB, 又∵AB=AC,∴AD=AE.
∴∠ABE=∠EAD. AB=AC,
(2)∵AD∥BC, 在△ABD 和△ACE 中,{∠BAD=∠CAE,∴∠ADB=∠DBE. AD=AE,
∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB, ∴△ABD≌△ACE.
∴∠ABE=2∠ADB, (2)解:∵AC=AE,
∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB- ∴∠ACE=∠AEC.
∠ADB=∠ADB, ∵∠CAE=100°,∠ACE=∠AEC,
∴AB=AD, ∴∠ACE=40°.
又∵四边形ABCD 是平行四边形, (3)证明:∵∠ACE=40°,∠BAC=40°,
∴四边形ABCD 是菱形. ∴∠ACE=∠BAC,
10.(1)证明:连接EF 交AC 于O,当顶点 A ∴AB∥CE.
与C 重合时,折痕EF 垂直平分AC, ∵△ABD≌△ACE,∠ACE=40°,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°. ∴∠ABD=∠ACE=40°.
∵在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AD ∥BC,∴ ∵∠BAC=40°,∠CAE=100°,
∠EAO = ∠FCO,∴ △EAO ≌ △FCO,∴OE ∴∠BAE=140°.
=OF, ∴∠BAE+∠ABD=180°.
∴四边形AFCE 是菱形. ∴AE∥BD.
(2)解:∵四边形AFCE 是菱形,∴AF=AE= ∴四边形ABFE 是平行四边形.
10cm. ∵AB=AD,AC=AE,AB=AC,
设AB=acm,BF=bcm, ∴AB=AE.
∵△ABF 的面积为24cm2,∴a2+b2=100, ∴平行四边形ABFE 是菱形.
ab=48,∴(a+b)2=196,∴a+b=14或a+b=
-14(不合题意,舍去), 第2节 矩形的性质与判定(1)
∴△ABF 的周长为a+b+10=24(cm). 【课堂作业】
【新题看台】 1.C 2.A 3.C 4.115° 5.4 6.3
1.AB=BC 或AC⊥BD 等 2.12 3.45 7.证明:∵四边形ABCD 为矩形,
4.证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°. ∴AC=BD,则BO=CO.
∵∠BAD=∠BCD,∴∠BCD+∠B=180°, ∵BE⊥AC 于E,CF⊥BD 于F,
∴AB∥CD,∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴∠BEO=∠CFO=90°.
∴∠B=∠D. 又∵∠BOE=∠COF,
·2·
课时培优作业
第1节 菱形的性质与判定(2)
1.菱形是特殊的平行四边形. 1.下列命题中正确的是 ( )
2.判定一个四边形是否是菱形的常用方法: A.对角线相等的四边形是菱形
(1)(边)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做 B.对角线互相垂直的四边形是菱形
菱形;(2)(对角线)定理1:对角线互相垂直的平行 C.对角线相等的平行四边形是菱形
四边形是菱形;(3)(边)定理2:四条边都相等的四 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
边形是菱形. 2.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=120°.已知
3.菱形面积的另一种计算方法:两条对角线乘 △ABC 的周长是15,则菱形ABCD 的周长是
积的一半. ( )
活动一:证一证
打开课本P5,看一看课本中的图1-3.
思考:(1)题目中的已知条件有哪些 A.25 B.20 C.15 D.10
3.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两
邻角度数比为 ( )
(2)判定这个四边形是菱形的依据是什么 A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1
4.如图,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=
90°;③AB=BC;④AC=BD.添 加 一 个 就 能 使
活动二:想一想 ABCD 成为菱形的有 (填序号).
打开课本P8,看例3.
思考:(1)计算菱形的边长或对角线的长时常
结合什么数学知识
5.如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,过对角
(2)平行四边形的面积公式是否适合菱形面积 线AC 的中点O 作EF⊥AC,分别交边AB,CD 于
的计算 点E,F,连接CE,AF.求证:四边形AECF 是菱形.
(3)菱形的面积计算还有哪一种简单的计算
方法
活动三:做一做
1.完成课本P8的“做一做”.
2.写出重叠部分是菱形的证明过程.
4
数学 九年级上册
6.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,M,N,
P,Q 分别是AD,BC,BD,AC 的中点,求证:MN
与PQ 互相垂直平分.
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
二、填空题
5.如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边形,
且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ,
使四边形ABCD 成为菱形.(只需添加一个即可)
第5题 第6题
一、选择题 6.如图,点 E,F,G,H 分别是任意四边形
1.如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 互相 ABCD 中 AD,BD,BC,CA 的 中 点,当 四 边 形
垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是 ABCD 至少满足 条件时,四边形EFGH
( ) 是菱形.
7.在平面直角坐标系中,已 知 点 A(0,2),
B(-23,0),C(0,-2),D(23,0),则以这四个点
为顶点的四边形ABCD 的形状是 .
8.如图所示,在菱形ABCD 中,AE⊥BC,BE
A.BA=BC B.AC,BD 互相平分 =EC,AE=2,则AB= .
C.AC=BD D.AB∥CD
2.如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 边上一点,
且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:①AE=BF;
②△DEF 是等边三角形;③△BEF 是等腰三角形;
④∠ADE=∠BEF,其中结论正确的个数是( ) 三、解答题
A.3 B.4 C.1 D.2 9.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 边
上的一点,连接AE,BD,且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD
是菱形.
第2题 第3题
3.如图,O 是菱形ABCD 的对角线AC,BD 的
交点,E,F 分别是OA,OC 的中点.下列结论:①
S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE 是菱形;③△DEF
是轴对称图形;④∠ADE=∠EDO.其中正确的结
论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如 图,将 △ABC 沿 BC 方 向 平 移 得 到
△DCE,连 接 AD,下 列 条 件 能 够 判 定 四 边 形
ABCD 为菱形的是 ( )
5
课时培优作业
10.已知:如图所示的一张长方形纸片ABCD 5.(江苏镇江中考题)如图,在四边形 ABCD
(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A 与点C 重合, 中,AB=AD,BC=DC,AC,BD 相交于点O,点E
再展开,折痕EF 交AD 边于点E,交BC 边于点 在AO 上,且OE=OC.
F,分别连接AF 和CE. (1)求证:∠1=∠2;
(1)求证:四边形AFCE 是菱形; (2)连接BE,DE,判断四边形BCDE 的形状,
(2)若AE=10cm,△ABF 的面积为24cm2, 并说明理由.
求△ABF 的周长.
1.(山 东 淄 博 中 考 题)已知 ABCD,对角线
AC,BD 相交于点O,请你添加一个适当的条件,使
ABCD 成为一个菱形.你添加的条件是 .
2.(甘肃白银中考题)如图,四边形ABCD 是菱
形,点O 是两条对角线的交点,过O 点的三条直线 6.(河北中考题)如图,△ABC 中,AB=AC,
将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对 ∠BAC=40°,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转
角线的 长 分 别 为6和8时,则 阴 影 部 分 的 面 积 100°得到△ADE,连接BD,CE 交于点F.
为 . (1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)求∠ACE 的度数;
(3)求证:四边形ABFE 是菱形.
3.(四川泸州中考题)一个平行四边形的一条
边长为3,两条对角线的长分别为4和25,则它的
面积为 .
4.(福建厦门中考题)如图,在四边形 ABCD
中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为 M,AN⊥DC,垂
足为N.若∠BAD=∠BCD,AM=AN,求证:四边
形ABCD 是菱形.
6
