1 , 1 , 1 , ∵AM⊥BC
,AN⊥DC,∴∠AMB=∠AND
∴PM = 2AB PN= 2DC NQ= 2AB =90°.
1
MQ= DC. ∵AM =AN
,∴ △AMB ≌ △AND,∴AB
2 =AD,
∵AB=CD, ∴四边形ABCD 是菱形.
∴PM=PN=NQ=MQ. 5.(1)证 明:在 △ABC 与 △ADC 中,AB=
∴四边形 MPNQ 是菱形. AD,BC=DC,AC=AC,
∴MN 与PQ 互相垂直平分. ∴△ABC≌△ADC.∴∠1=∠2.
【课后作业】 (2)解:∵BC=DC,∠1=∠2,∴OD=OB,OC
1.B 2.A 3.C 4.A 5.答案不唯一,如 ⊥BD.
4 ∵OE=OC,∴四边形BCDE 是平行四边形.
OA=OC 等 6.AB=CD 7.菱形 8.3 3 ∵OC⊥BD,∴ BCDE 是菱形.
9.证 明:(1)在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AD 6.(1)证明:∵△ABC 绕点A 逆时针方向旋转
∥BC, 100°得到△ADE,
∴∠AEB=∠EAD. ∴ ∠BAD = ∠CAE =100°,AB =AD,AC
∵AE=AB, =AE.
∴∠ABE=∠AEB, 又∵AB=AC,∴AD=AE.
∴∠ABE=∠EAD. AB=AC,
(2)∵AD∥BC, 在△ABD 和△ACE 中,{∠BAD=∠CAE,∴∠ADB=∠DBE. AD=AE,
∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB, ∴△ABD≌△ACE.
∴∠ABE=2∠ADB, (2)解:∵AC=AE,
∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB- ∴∠ACE=∠AEC.
∠ADB=∠ADB, ∵∠CAE=100°,∠ACE=∠AEC,
∴AB=AD, ∴∠ACE=40°.
又∵四边形ABCD 是平行四边形, (3)证明:∵∠ACE=40°,∠BAC=40°,
∴四边形ABCD 是菱形. ∴∠ACE=∠BAC,
10.(1)证明:连接EF 交AC 于O,当顶点 A ∴AB∥CE.
与C 重合时,折痕EF 垂直平分AC, ∵△ABD≌△ACE,∠ACE=40°,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°. ∴∠ABD=∠ACE=40°.
∵在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AD ∥BC,∴ ∵∠BAC=40°,∠CAE=100°,
∠EAO = ∠FCO,∴ △EAO ≌ △FCO,∴OE ∴∠BAE=140°.
=OF, ∴∠BAE+∠ABD=180°.
∴四边形AFCE 是菱形. ∴AE∥BD.
(2)解:∵四边形AFCE 是菱形,∴AF=AE= ∴四边形ABFE 是平行四边形.
10cm. ∵AB=AD,AC=AE,AB=AC,
设AB=acm,BF=bcm, ∴AB=AE.
∵△ABF 的面积为24cm2,∴a2+b2=100, ∴平行四边形ABFE 是菱形.
ab=48,∴(a+b)2=196,∴a+b=14或a+b=
-14(不合题意,舍去), 第2节 矩形的性质与判定(1)
∴△ABF 的周长为a+b+10=24(cm). 【课堂作业】
【新题看台】 1.C 2.A 3.C 4.115° 5.4 6.3
1.AB=BC 或AC⊥BD 等 2.12 3.45 7.证明:∵四边形ABCD 为矩形,
4.证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°. ∴AC=BD,则BO=CO.
∵∠BAD=∠BCD,∴∠BCD+∠B=180°, ∵BE⊥AC 于E,CF⊥BD 于F,
∴AB∥CD,∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴∠BEO=∠CFO=90°.
∴∠B=∠D. 又∵∠BOE=∠COF,
·2·
∴△BOE≌△COF. 又∵矩形ABCD 中,OA=OB.
∴BE=CF. ∴△AOB 是等边三角形,
8.解:在 Rt△AEF 和 Rt△DCE 中,∠A= ∴∠AOB=60°,∴∠BOC=120°.
∠D=90°. (2)由矩形的性质可得△COD≌△BOA,
∵EF⊥CE. ∴OC=OB=6cm,由(1)中已求△AOB 是等
∴∠FEC=90°. 边三角形,
∴∠AEF+∠DEC=90°. ∴DC=OC=OD=6cm,
而∠ECD+∠DEC=90°, ∴△DOC 的周长为18cm.
∴∠AEF=∠DCE. 13.解:(1)猜想:GF=GC.
又∠FAE=∠EDC=90°,EF=EC, 连接EG,
∴Rt△AEF≌Rt△DCE.
∴AE=DC.
AD=AE+4.
∵矩形ABCD 的周长为32cm,
∴(AE+4)×2+AE×2=32,
四边形
∴AE=6(cm). ∵ ABCD
是矩形,∴∠B=∠C=90°.
: , ∵△ABE 沿AE 折叠后得到 ,9.证明 在 Rt△ABC 中 ∵E 为斜边AB 的 △AFE
, ∴BE=FE
,∠GFE=∠AFE=∠B=90°.
中点
∵BE=CE,∴EF=EC.
1
∴CE=2AB. ∵EG=EG
,∴Rt△EFG≌Rt△ECG,
在Rt△ABD 中,∵E 为斜边AB 的中点, ∴GF=GC.
(2)答:仍然成立1 .
∴DE=2AB.
∴CE=DE.
【课后作业】
1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.4 7.4 连接CF,∵四边形ABCD 是平行四边形,
8.20 9.(2,23) 10.5或6 ∴AB∥CD,∴∠B+∠ECG=180°.
11.证明:连接CE. ∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE,
∴∠B=∠AFE,BE=FE.
∵∠AFE+∠EFG=180°,∴∠EFG=∠ECG,
∵BE=CE,∴EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,
∴∠EFG-∠EFC=∠ECG-∠ECF,
∴∠GFC=∠GCF,
∵点E 为Rt△ACB 的斜边AB 的中点, ∴GF=GC.
1 【新题看台】
∴CE=2AB=AE. 5 5
∵△ACD 是等边三角形,∴AD=CD. 1.B 2.D 3.6 4. 或3 2
在△ADE 与△CDE 中,AD=CD,DE=DE, 5.(1)证明:由折叠的性质可得:DE=BC,∠E
AE=CE,∴△ADE≌△CDE. =∠C=90°,
∴∠ADE=∠CDE=30°. ∠DFE=∠BFC,
∵∠DCB=150°,∴∠EDC+∠DCB=180°. 在△EDF 和△CBF 中,∠E=∠C,
∴DE∥CB. {DE=BC,
12.解:(1)∵AE⊥BD, ∴△EDF≌△CBF(AAS).
∴∠AEO=∠AEB=90°. (2)解:在Rt△ABD 中,
又∵AE=AE,∠1=∠2, ∵AD=3,BD=6,∴∠ABD=30°.
∴△AEO≌△AEB, 由折叠的性质可得:∠DBE=∠ABD=30°,
∴AO=AB, ∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.
·3·
6.证明:(1)∵CF∥BD, 分∠BAC,∴AD⊥BC,故∠ADB=90°.
∴∠EDO=∠ECF;∠EOD=∠EFC. ∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°,又∠DAE=90°,
又∵E 是CD 中点, 故四边形AEBD 是矩形.∴AB=DE.
∴CE=DE. 9.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).
∴△ODE≌△FCE. 证明:如图,∵BE∥CF,∴∠EBH=∠FCH.
(2)∵△ODE≌△FCE, ∵点 H 是边BC 的中点,∴BH=CH.
∴EO=EF. 又∵∠EHB=∠FHC,
又∵CE=DE, ∴△BEH≌△CFH.
∴四边形ODFC 是平行四边形.
又∵四边形ABCD 是矩形,
∴OC=OD.
∴四边形ODFC 是菱形.
第2节 矩形的性质与判定(2) (2)当BH=EH 时,四边形BFCE 是矩形.理
由如下:
【课堂作业】 连接BF,CE.
1.A 2.D 3.D 4.矩形 对角线互相平分 ∵△BEH≌△CFH,
且相等的四边形是矩形 5.90 6.矩形 ∴EH=FH.
7.证明:∵矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交 又∵BH=CH,
于O,∴AO=BO=CO=DO. ∴四边形BFCE 是平行四边形.
又∵E,F,G,H 分别是OA,OB,OC,OD 的 又∵BH=EH,∴EF=BC,
中点, ∴四边形BFCE 是矩形.
∴EO=FO=GO=HO, 10.(1)证明:∵CE 平分∠ACB,
∴EG=HF,∴四边形EFGH 是矩形. ∴∠BCE=∠OCE.
8.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∵MN∥BC,
∴BC∥AD,AB∥CD, ∴∠BCE=∠OEC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,∠ABC+∠BCD ∴∠OEC=∠OCE,
=180°. ∴OE=OC.
又∵ ABCD 的四个内角的角平分线分别交 同理,OC=OF,
于E,F,G,H, ∴OC=OE=OF,
∴∠BAF+ ∠ABF=90°,∠GBC+ ∠GCB 1故OC= EF.
=90°, 2
∴∠GFE=∠AFB=90°,∠G=90°, (2)解:当点 O 位于AC 边的中点时,四边形
同理可证∠GHE=90°,∠E=90°, AECF 是矩形.
∴四边形EFGH 为矩形. 证明:由(1)知OE=OF,
【课后作业】 又O 为AC 边的中点,
∴OA=OC,
1.A 2.A 3.B 4.A 5.∠B=90°或
∴四边形AECF 是平行四边形.
∠BAC+∠BCA=90°等 6.矩形 7.12
8.(1)证明:∵AD 平分∠BAC,
1
∴∠BAD= ∵∠ECO= ∠ACB,
1
2 ∠OCF=2∠ACD
,
1 1
2∠BAC. ∴∠ECF=∠ECO+∠OCF= (2 ∠ACB+
1
又∵AE 平分∠BAF,∴∠BAE= ∠BAF. ∠ACD)=90°,2
∴四边形AECF 是矩形.
∵ ∠BAC + ∠BAF =180°,∴ ∠BAD +
1 1 【新题看台】
∠BAE= (2 ∠BAC+∠BAF
)=2×180°=90°. 1.B 2.答案不唯一,如∠ABC=90°或 AC
即∠DAE=90°,故DA⊥AE. =BD
(2)解:AB=DE.理由是:∵AB=AC,AD 平 3.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥
·4·
数学 九年级上册
第2节 矩形的性质与判定(1)
3.如图,在矩形ABCD 中,AB=2BC,在CD 上
取一点E,使AE=AB,则∠EBC 的度数是 ( )
1.矩形是特殊的平行四边形,所以具有平行四 A.30° B.22.5° C.15° D.10°
边形所有的性质. 4.如图,一个含有30°角的直角三角板的两个
2.矩形的四个角都是直角,对角线相等. 顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2=
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. .
活动一:看一看
1.打开课本P11,看一看课本中的图片.
第4题 第 题
思考: 5矩形与平行四边形的相同点与不同点.
5.如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O,AB
=2,∠AOB=60°,则对角线AC 的长为 .
2.举出日常生活中还有哪些矩形的例子. 6.如图,矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交
于点O,过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E,F,
活动二:想一想 AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
1.完成课本P11“想一想”.
2.写出矩形的一些特有的性质.
7.如图,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,
活动三:做一做 BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
1.完成课本P11图1-8的证明. 求证:BE=CF.
2.矩形是轴对称图形,它有几条对称轴
3.完成课本P12图1-9的证明.
1.若矩形ABCD 的两邻边长分别是1,2,则其 8.如图,已知矩形ABCD 中,E 是AD 上的一
对角线BD 的长是 ( ) 点,F 是AB 上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE
A.3 B.3 C.5 D.25 =4cm,矩形ABCD 的周长为32cm,求AE 的长.
2.如图所示,在矩形ABCD 中,E 是BC 边的
中点,且AE 平分∠BAD,CE=2,则CD 的长是
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
第2题 第3题
7
课时培优作业
9.如图,已知△ABC 和△ABD 均为直角三角 ③CA=CH;④BE=3ED.正确的是 ( )
形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E 为AB 的中点.
求证:CE=DE.
A.②③ B.③④
C.①②④ D.②③④
二、填空题
6.如图,矩形 ABCD 的顶点A,B 在数轴上,
CD=5,点A 对应的数为-1,则点B 所对应的数为
.
一、选择题
1.如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,
使点C 落在点C'处,BC'交AD 于点E,AD=8,
AB=4,则DE 的长为 ( ) 第6题
第8题
A.3 B.4 C.5 D.6 7.如果矩形的邻边长为a 和b,且a,b 满足(a
-1)2+ b-4=0,那么矩形的面积等于 .
8.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中
点,M 是AD 的中点,若AB=5,AD=12,则四边形
ABOM 的周长为 .
第1题 第2题 9.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的
2.如图,在矩形ABCD 中,两条对角线相交于 对角线AC 平行于x 轴,边OA 与x 轴正半轴的夹
点O,折叠矩形,使顶点D 与对角线交点O 重合,折 角为30°,OC=2,则点B 的坐标是 .
痕为 CE,已知△CDE 的周长是10cm,则 矩 形
ABCD 的周长为 ( )
A.15cm B.18cm C.19cm D.20cm
3.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,D 在CB 上,
E 为AB 的中点,AD,CE 相交于点F,且 AD= 第9题 第10题
DB.若∠B=20°,则∠DFE= ( ) 10.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,若
A.40° B.50° C.60° D.70° 点P 在AD 边上,连接BP,PC,△BPC 是以PB
为腰的等腰三角形,则PB 的长为 .
三、解答题
11.在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为一
边向外作等边三角形ACD,点E 为AB 的中点,连
接
DE.
求证:DE∥CB.
第3题 第4题
4.矩形纸片ABCD 的边长AB=4,AD=2.将
矩形纸片沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,折叠后
在其一面着色(如图),则着色部分的面积为 ( )
11 5
A.8 B.2 C.4 D.2
5.在矩形ABCD 中,AB=1,AD= 3,AF 平
分∠DAB,过点C 作CE⊥BD 于E,延长AF,EC
交于点H,下列结论中:①AF=FH;②BO=BF;
8
数学 九年级上册
12.如图所示,矩形ABCD 的对角线AC,BD 2.(贵州黔南中考题)如图,把矩形纸片ABCD
相交于点O,AE⊥BD,垂足为 E,∠1=∠2,OB 沿对角线BD 折叠后点C 落在点C'处,设重叠部分
=6cm. 为△EBD,则下列说法错误的是 ( )
(1)求∠BOC 的度数; A.AB=C'D B.∠BAE=∠DC'E
(2)求△DOC 的周长. C.EB=ED D.∠ABE 一定等于30°
3.(湖南郴州中考题)如图,在矩形ABCD 中,
AB=8,BC=10,E 是AB 上一点,将矩形ABCD
沿CE 折叠后,点B 落在AD 边的点F 上,则DF
的长为 .
13.(1)操作发现:如图1,在矩形ABCD 中,E 第3题 第4题
是 BC 的 中 点,将 △ABE 沿 AE 折 叠 后 得 到 4.(河南中考题)如图,矩形 ABCD 中,AD=
△AFE,点F 在矩形ABCD 内部,延长AF 交CD 5,AB=7.点 E 为DC 上一个动点,把△ADE 沿
于点G.猜想线段GF 与GC 有何数量关系 并说明 AE 折叠,当点D 的对应点D'落在∠ABC 的角平
你的理由; 分线上时,DE 的长为 .
(2)类比探究:如图2,将(1)中的矩形 ABCD 5.(湖南湘潭中考题)如图,将矩形 ABCD 沿
改为平行四边形,其他条件不变,(1)中的结论是否 BD 对折,点A 落在E 处,BE 与CD 相交于F,若
仍然成立 请说明理由. AD=3,BD=6.
(1)求证:△EDF≌△CBF;
(2)求∠EBC 的度数.
图1 图2
6.(四 川 遂 宁 中 考 题)已 知:如 图,在 矩 形
ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E 是CD 中
点,连接OE,过点C 作CF∥BD 交线段OE 的延长
线于点F,连接DF.求证:
(1)△ODE≌△FCE;
1.(重庆中考题)如图,在矩形ABCD 中,对角 (2)四边形ODFC 是菱形.
线AC,BD 相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB 的
大小为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
第1题 第2题
9
