6.证明:(1)∵CF∥BD, 分∠BAC,∴AD⊥BC,故∠ADB=90°.
∴∠EDO=∠ECF;∠EOD=∠EFC. ∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°,又∠DAE=90°,
又∵E 是CD 中点, 故四边形AEBD 是矩形.∴AB=DE.
∴CE=DE. 9.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).
∴△ODE≌△FCE. 证明:如图,∵BE∥CF,∴∠EBH=∠FCH.
(2)∵△ODE≌△FCE, ∵点 H 是边BC 的中点,∴BH=CH.
∴EO=EF. 又∵∠EHB=∠FHC,
又∵CE=DE, ∴△BEH≌△CFH.
∴四边形ODFC 是平行四边形.
又∵四边形ABCD 是矩形,
∴OC=OD.
∴四边形ODFC 是菱形.
第2节 矩形的性质与判定(2) (2)当BH=EH 时,四边形BFCE 是矩形.理
由如下:
【课堂作业】 连接BF,CE.
1.A 2.D 3.D 4.矩形 对角线互相平分 ∵△BEH≌△CFH,
且相等的四边形是矩形 5.90 6.矩形 ∴EH=FH.
7.证明:∵矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交 又∵BH=CH,
于O,∴AO=BO=CO=DO. ∴四边形BFCE 是平行四边形.
又∵E,F,G,H 分别是OA,OB,OC,OD 的 又∵BH=EH,∴EF=BC,
中点, ∴四边形BFCE 是矩形.
∴EO=FO=GO=HO, 10.(1)证明:∵CE 平分∠ACB,
∴EG=HF,∴四边形EFGH 是矩形. ∴∠BCE=∠OCE.
8.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∵MN∥BC,
∴BC∥AD,AB∥CD, ∴∠BCE=∠OEC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,∠ABC+∠BCD ∴∠OEC=∠OCE,
=180°. ∴OE=OC.
又∵ ABCD 的四个内角的角平分线分别交 同理,OC=OF,
于E,F,G,H, ∴OC=OE=OF,
∴∠BAF+ ∠ABF=90°,∠GBC+ ∠GCB 1故OC= EF.
=90°, 2
∴∠GFE=∠AFB=90°,∠G=90°, (2)解:当点 O 位于AC 边的中点时,四边形
同理可证∠GHE=90°,∠E=90°, AECF 是矩形.
∴四边形EFGH 为矩形. 证明:由(1)知OE=OF,
【课后作业】 又O 为AC 边的中点,
∴OA=OC,
1.A 2.A 3.B 4.A 5.∠B=90°或
∴四边形AECF 是平行四边形.
∠BAC+∠BCA=90°等 6.矩形 7.12
8.(1)证明:∵AD 平分∠BAC,
1
∴∠BAD= ∵∠ECO= ∠ACB,
1
2 ∠OCF=2∠ACD
,
1 1
2∠BAC. ∴∠ECF=∠ECO+∠OCF= (2 ∠ACB+
1
又∵AE 平分∠BAF,∴∠BAE= ∠BAF. ∠ACD)=90°,2
∴四边形AECF 是矩形.
∵ ∠BAC + ∠BAF =180°,∴ ∠BAD +
1 1 【新题看台】
∠BAE= (2 ∠BAC+∠BAF
)=2×180°=90°. 1.B 2.答案不唯一,如∠ABC=90°或 AC
即∠DAE=90°,故DA⊥AE. =BD
(2)解:AB=DE.理由是:∵AB=AC,AD 平 3.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥
·4·
BC,AB∥CD, ∴∠AED=∠DFC=90°,
∴∠FAC=∠ECA,∠BAC=∠DCA. ∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°,
1
BAE EAC , ∴∠EAD=∠FDC.由折 叠 可 得 ∠ = ∠ = 2 ∠BAC ∴△AED≌△DFC(AAS).
1
∠DCF=∠FCA= ∠DCA,∴∠EAC=∠FCA. ∴AE=DF,ED=FC.2 ∵DF=DE+EF,
又 ∵AC=CA,∴ △CAE ≌ △ACF,∴CE ∴AE=FC+EF.
=AF, 8.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴四边形AECF 是平行四边形. ∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.
(2)解:∵AB=6,AC=10,由勾股定理,得BC ∵△CDE 是等边三角形,
=8. ∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE.
设EM=x,则BE=EM=x,∴CE=BC-BE ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE
=8-x, =60°,
CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4. ∴∠ADE=∠BCE=30°.
在Rt△CEM 中,由勾股定理,得EM2+CM2 ∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,
=CE2, ∴△ADE≌△BCE.
所以x2+42=(8-x)2,解得x=3. (2)解:∵△ADE≌△BCE,
1
∴S ,四边形AECF=2S△ACE=2×2AC
·EM=30. ∴AE=BE
∴∠BAE=∠ABE.
4.证明:(1)如图所示, ∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=
∵AF∥BC, 90°,∠BAE=∠ABE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴∠DAE=∠AFB.
∵点E 是AB 的中点, ∵AD=CD=DE,
∴AE=BE, ∴∠DAE=∠DEA.
∴△AEF≌△BED. ∵∠ADE=30°,
∴∠DAE=75°,
∴∠AFB=75°.
【课后作业】
1.C 2.D 3.13 4.2 5.①②④⑤
6.证 明:在 正 方 形 ABCD 中,AD =CD,
(2)∵△AEF≌△BED, ∠ADE=∠DCF=45°,∠ADC=90°.
∴AF=BD.
{AD=CD
,
∵AF∥BD, 在△ADE 与△DCF 中,∠ADE=∠DCF,
∴四边形AFBD 是平行四边形. DE=CF,
∵AB=AC, ∴△ADE≌△DCF,
又∵BD=CD, ∴∠DAE=∠CDF.
∴AD⊥BC, 又∵ ∠CDF + ∠ADF =90°,∴ ∠DAE +
则∠ADB=90°, ∠ADF=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DF.
∴ AFBD 是矩形. 7.证明:(1)∵四边形ABCD 与CEFH 均是正
第3节 正方形的性质与判定(1) 方形,
∴BC=DC,CH=CE,∠BCD=∠HCE=90°,
【课堂作业】 ∴∠BCH=∠DCE.
1 在△BCH 和△DCE 中,
1.C 2.C 3.A 4.4 5.32 6.9 {BC=DC
,
7.证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∠BCH=∠DCE,
∴AD=DC,∠ADC=90°. CH=CE,
又∵AE⊥DG,CF∥AE, ∴△BCH≌△DCE,∴BH=DE.
·5·
课时培优作业
第2节 矩形的性质与判定(2)
条件,仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )
A.AB=AD B.OA=OB
矩形的判定定理:(1)有一个角是直角的平行 C.AC=BD D.DC⊥BC
四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩 2.下列条件中,能判定四边形 ABCD 为矩形
形;(3)有三个角是直角的四边形是矩形. 的是 ( )
A.AB∥CD,AB=CD,AD=BC
B.∠A=∠B=∠D
活动一:做一做 C.AB=BC,AD=CD,∠C=90°
1.打开课本P14,按照图1-11进行操作. D.AB=CD,AD=BC,∠A=90°
(1)完成课本中的做一做. 3.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四
边形门槛是否为矩形,下面是某合作小组的4位同
学拟定的方案,其中正确的是 ( )
A.测量对角线是否互相平分
(2)完成课本图1-12的证明. B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中三个角是否都为直角
4.延长等腰△ABC 的腰BA 到D,CA 到E,分
2.举出日常生活中还有哪些矩形的例子. 别使AD=AB,AE=AC,则四边形BCDE 是
,其判定根据是 .
5.如图,一个平行四边形的活动框架,对角线
是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α 也随之变
活动二:想一想 化,两条对角线长度也在发生改变.当∠α 是
1.完成课本P15定理的证明. 度时,两条对角线长度相等.
2.说出课本P15“议一议”的合理性. 6.已知点E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的
边AB,BC,CD,DA 的中点,若AC⊥BD,且AC≠
BD,则四边形EFGH 的形状是 (填“一般
的平行四边形”或“矩形”).
活动三:总一总 7.如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于
1.矩形的判定定理有哪些 O,E,F,G,H 分别是OA,OB,OC,OD 的中点.求
证:四边形EFGH 是矩形.
2.证明一个四边形是矩形的一般步骤有哪些
1. ABCD 中,AC 交BD 于点O,再添加一个
1 0
数学 九年级上册
8.已知:如图, ABCD 的四个内角的角平分 二、填空题
线分别交于E,F,G,H. 5.如图所示,将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针
求证:四边形EFGH 为矩形. 旋转180°得到△CDA,添加一个条件 ,
使四边形ABCD 为矩形.
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于
D,AE 是∠BAC 外角的平分线,DE∥AB 交AE
于E,则四边形ADCE 的形状是 .
一、选择题
第6题 第7题
1.下列说法:①矩形是轴对称图形,两条对角 7.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC⊥
线所在的直线是它的对称轴;②对角线相等的四边 BD,垂足为O,点E,F,G,H 分别为边AD,AB,
形是矩形;③有两个角相等的平行四边形是矩形; BC,CD 的中点.若 AC=8,BD =6,则 四 边 形
④对角线相等且互相平分的四边形是矩形;⑤对角 EFGH 的面积为 .
线互相垂直平分的四边形是矩形.其中正确的有 三、解答题
( ) 8.如图,△ABC 中,AB=AC,AD,AE 分别是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ∠BAC 和∠BAC 的外角的平分线,BE⊥AE.
2.如图,A,B,C 分别表示三个村庄,AB= (1)求证:DA⊥AE;
1000m,BC=600m,AC=800m,在社会主义新农 (2)试判断AB 与DE 是否相等 并证明你的
村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动 结论.
中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则
活动中心P 建在 ( )
A.AB 的中点处
B.BC 的中点处
C.AC 的中点处
D.∠C 的平分线与AB 的交点处
3.矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,
∠AOD=120°,AC=8,则△ABO 的周长为 ( )
A.16 B.12 C.24 D.20
4.已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那
么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是 ( )
A.22°,68° B.44°,66°
C.24°,66° D.40°,50°
1 1
课时培优作业
9.如图,在四边形ABCD 中,点 H 是边BC 的 3.(江苏扬州中考题)如图,AC 为矩形ABCD
中点,作射线AH,在线段AH 及其延长线上分别 的对角线,将边AB 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上
取点E,F,连接BE,CF. 的点M 处,将边CD 沿CF 折叠,使点D 落在AC
(1)请 你 添 加 一 个 条 件,使 得 △BEH ≌ 上的点N 处.
△CFH,你添加的条件是 ,并证明; (1)求证:四边形AECF 是平行四边形;
(2)在问题(1)中,当BH 与EH 满足什么关系 (2)若 AB=6,AC=10,求四边形 AECF 的
时,四边形BFCE 是矩形,请说明理由. 面积.
10.如图,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一
个动点,过点O 作MN∥BC,交∠ACB 的平分线
于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.
(1)求证:
1
OC=2EF
;
(2)当点O 位于AC 边的什么位置时,四边形 4.(辽宁葫芦岛中考题)如图,△ABC 中,AB
AECF 是矩形 并给出证明. =AC,点D(不与点B 重合)在BC 上,点E 是AB
的中点,过点A 作AF∥BC 交DE 延长线于点F,
连接AD,BF.
(1)求证:△AEF≌△BED;
(2)若BD=CD,求证:四边形AFBD 是矩形.
1.(广西河池中考题)在 ABCD 中,AC,BD
是对角线,如果添加一个条件,即可推出 ABCD
是矩形,那么这个条件是 ( )
A.AB=BC B.AC=BD
C.AC⊥BD D.AB⊥BD
2.(湖南娄底中考题)如图,要使平行四边形
ABCD 成为矩形,应添加的条件是
(只填一个).
1 2
