BC,AB∥CD, ∴∠AED=∠DFC=90°,
∴∠FAC=∠ECA,∠BAC=∠DCA. ∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°,
1
BAE EAC , ∴∠EAD=∠FDC.由折 叠 可 得 ∠ = ∠ = 2 ∠BAC ∴△AED≌△DFC(AAS).
1
∠DCF=∠FCA= ∠DCA,∴∠EAC=∠FCA. ∴AE=DF,ED=FC.2 ∵DF=DE+EF,
又 ∵AC=CA,∴ △CAE ≌ △ACF,∴CE ∴AE=FC+EF.
=AF, 8.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴四边形AECF 是平行四边形. ∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.
(2)解:∵AB=6,AC=10,由勾股定理,得BC ∵△CDE 是等边三角形,
=8. ∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE.
设EM=x,则BE=EM=x,∴CE=BC-BE ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE
=8-x, =60°,
CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4. ∴∠ADE=∠BCE=30°.
在Rt△CEM 中,由勾股定理,得EM2+CM2 ∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,
=CE2, ∴△ADE≌△BCE.
所以x2+42=(8-x)2,解得x=3. (2)解:∵△ADE≌△BCE,
1
∴S ,四边形AECF=2S△ACE=2×2AC
·EM=30. ∴AE=BE
∴∠BAE=∠ABE.
4.证明:(1)如图所示, ∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=
∵AF∥BC, 90°,∠BAE=∠ABE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴∠DAE=∠AFB.
∵点E 是AB 的中点, ∵AD=CD=DE,
∴AE=BE, ∴∠DAE=∠DEA.
∴△AEF≌△BED. ∵∠ADE=30°,
∴∠DAE=75°,
∴∠AFB=75°.
【课后作业】
1.C 2.D 3.13 4.2 5.①②④⑤
6.证 明:在 正 方 形 ABCD 中,AD =CD,
(2)∵△AEF≌△BED, ∠ADE=∠DCF=45°,∠ADC=90°.
∴AF=BD.
{AD=CD
,
∵AF∥BD, 在△ADE 与△DCF 中,∠ADE=∠DCF,
∴四边形AFBD 是平行四边形. DE=CF,
∵AB=AC, ∴△ADE≌△DCF,
又∵BD=CD, ∴∠DAE=∠CDF.
∴AD⊥BC, 又∵ ∠CDF + ∠ADF =90°,∴ ∠DAE +
则∠ADB=90°, ∠ADF=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DF.
∴ AFBD 是矩形. 7.证明:(1)∵四边形ABCD 与CEFH 均是正
第3节 正方形的性质与判定(1) 方形,
∴BC=DC,CH=CE,∠BCD=∠HCE=90°,
【课堂作业】 ∴∠BCH=∠DCE.
1 在△BCH 和△DCE 中,
1.C 2.C 3.A 4.4 5.32 6.9 {BC=DC
,
7.证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∠BCH=∠DCE,
∴AD=DC,∠ADC=90°. CH=CE,
又∵AE⊥DG,CF∥AE, ∴△BCH≌△DCE,∴BH=DE.
·5·
(2)设 CD 与 BH 相 交 于 G,则 ∠MBC+ 交点为点G.
∠CGB=90°. 由 轴 对 称 知:FE =FB,AE =AB,∠ABF
又∵∠CDE=∠MBC,∠DGH=∠BGC, =∠AEF.
∴∠CDE+∠DGH=90°,∴∠GMD=90°, ∵正方形ABCD,
∴BH⊥DE. ∴AB=AD,∠BAD=90°,
8.解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AC⊥ ∴AE=AD,
BD,∠BAC=∠ABO=45°. ∴∠AEF=∠ADF,
∵PF⊥BD,∴PF∥AC.同理PE∥BD, ∴∠ABF=∠ADF.
∴四边形PFOE 为矩形,故PE=OF. ∵∠AGB=∠DGF,
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴∠DFG=∠BAG=90°.
2 在Rt△ABD 中,AB
2+AD2=BD2,
∴PE+PF=OF+FB=OB=2a. ∴2AB
2=BD2.
(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. 在Rt△BFD 中,BF
2+FD2=BD2,
, , ∴EF2+FD2∵PF⊥BD ∴PF∥AC.同理PE∥BD =BD
2,
, 2 2 2∴四边形PFOE 为矩形 故PE=OF. ∴EF +FD =2AB .
又∵∠PBF=∠OBA=45°,∴PF=BF. 第3节 正方形的性质与判定(2)
2
∴PE-PF=OF-BF=OB=2a. 【课堂作业】
【新题看台】 1.D 2.B 3.D 4.答案不唯一,如 AC=
BD 或AB⊥BC 5.4
1.A 2.A 3.D 4.5 5.5 6.解:∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°,
6.解:(1)如图1所示: ∴四边形CFDE 是矩形.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠FCD=45°,∠CDF=45°,
∴CF=DF,∴矩形CFDE 是正方形.
7.证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC
,
图1 图2 ∴∠B=∠C.
(2)如图2,连接AE, ∵D 是BC 的中点,
∵点E 是点B 关于直线PA 的对称点, ∴BD=CD.
∴∠PAB=∠PAE,AE=AB. ∴△BED≌△CFD.
∵∠PAB=20°, (2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠PAE=20°,∠BAE=40°. ∴∠AED=∠AFD=90°.
∵正方形ABCD, ∵∠A=90°,
∴AB=AD,∠BAD=90°, ∴四边形DFAE 为矩形.
∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°, 又∵△BED≌△CFD,
1 ∴DE=DF,
∴∠ADF = ∠AED = (2 180°- ∠EAD
)
∴四边形DFAE 为正方形.
=25°. 【课后作业】
1.D 2.D 3.D 4.用卷尺量出方桌的四
边,再量方桌的两条对角线.若四边相等且对角线
也相等,则可判别方桌是正方形 5.正方形
6.(1)证 明:∵OD 平 分 ∠AOC,OF 平
分∠COB,
图3 ∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.
(3)如图3,连接AE,BF,BD,设BF 与AD 的 ∵ ∠AOC + ∠COB =180°,∴2∠COD +
·6·
数学 九年级上册
第3节 正方形的性质与判定(1)
1.正方形是特殊的平行四边形,所以具有平行 1.如图,在菱形ABCD 中,∠B=60°,AB=4,
四边形所有的性质. 则以AC 为边长的正方形的周长为 ( )
2.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平 A.14 B.15 C.16 D.17
行四边形叫做正方形.
3.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
4.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
第1题 第2题
2.如图,在正方形ABCD 的外侧作等边三角形
活动一:想一想
, ADE
,则∠AEB 的度数为 ( )
1.打开课本P20 看一看课本中的图1-17.
() A.10° B.12.5° C.15° D.20°1 说说正方形与平行四边形的相同点与不
3.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形
同点.
的面积是 ( )
A.8 B.42 C.82 D.16
4.如图,已知面积为1的正方形ABCD 的对角
(2)说说正方形与菱形、矩形的相同点与不 线相交于点O,过点O 任意作一条直线分别交AD,
同点. BC 于E,F,则阴影部分的面积是 .
2.举出日常生活中还有哪些正方形的例子.
活动二:做一做 第4题 第6题
1.完成课本P20对两个定理的证明. 5.已知正方形的一条对角线长为8cm,则其面
积是 cm2.
6.如图,左边是一个正方形,右边是一个直角
三角形,则此正方形的面积是 cm2.
2.正方形是轴对称图形,它有几条对称轴 7.如图,四边形ABCD 是正方形,G 是BC 上
任意一点(点G 与B,C 不重合),AE⊥DG 于E,
CF∥AE 交DG 于F.
活动三:总一总 求证:AE=FC+EF.
1.正方形的性质有哪些
2.请用图形表示出正方形与平行四边形、菱
形、矩形之间的关系.
1 3
课时培优作业
8.如图,点E 是正方形ABCD 内一点,△CDE
是等边三角形,连接EB,EA,延长BE 交边AD 于
点F.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)求∠AFB 的度数.
第4题 第5题
5.如图,点P 是正方形ABCD 的对角线BD
上一点,PE⊥BC 于点E,PF⊥CD 于点F,连接
EF.给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;
③△APD 一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;
⑤PD= 2EC.其中正确结论的序号是 .
三、解答题
6.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD
相交于点O,E,F 分别 在OD,OC 上,且DE=CF,
连接DF,AE,AE 的延长线交DF 于点M.求证:
AM⊥DF.
一、选择题
1.如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角
形ADE,AC,BE 相交于点F,则∠BFC 的度数为
( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
第1题 第2题 7.在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如
2.如图,边 长 分 别 为4和8的 两 个 正 方 形 图放置,连接DE,BH,两线交于点M.求证:
ABCD 和CEFG 并排放在一起,连接BD 并延长交 (1)BH=DE;
EG 于点T,交FG 于点P,则GT= ( ) (2)BH⊥DE.
A.1 B.2 C.2 D.22
二、填空题
3.如图所示,直线a 经过正方形ABCD 的顶点
A,分别过此正方形的顶点B,D 作BF⊥a 于点F,
DE⊥a 于点E,若 DE=8,BF=5,则 EF 的长
为 .
4.以边长为2的正方形的中心O 为端点,引两
条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于 A,B
两点,则线段AB 的最小值是 .
1 4
数学 九年级上册
8.已知正方形ABCD 的边长为a,两条对角线 3.(山西中考题)如图,点E 在正方形ABCD
AC,BD 交于点O,P 是射线AB 上任意一点.过P 的对角线AC 上,且EC=2AE,直角三角形FEG
点分别作直线AC,BD 的垂线PE,PF,垂足为 的两直角边EF,EG 分别交BC,DC 于点M,N.若
E,F. 正方形 ABCD 的 边 长 为a,则 重 叠 部 分 四 边 形
(1)如图1,当P 点在线段AB 上时,求PE+ EMCN的面积为 ( )
PF 的值; 2 2 1 2 5 4A. a B. a C. 2 2
(2)如图2,当P 点在线段AB 的延长线上时, 3 4 9
a D.9a
求PE-PF 的值. 4.(黑 龙 江 哈 尔 滨 中 考 题)如 图,在 正 方 形
ABCD 中,AC 为对角线,点E 在AB 边上,EF⊥
AC 于点F,连接EC,AF=3,△EFC 的周长为12,
则EC 的长为 .
图1 图2
第4题 第5题
5.(江苏宿迁中考题)如图,正方形ABCD 的边
长为2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线BD 上
移动,则PE+PC 的最小值是 .
6.(北京中考题)在正方形ABCD 外侧作直线
AP,点B 关于直线AP 的对称点为E,连接BE,
DE,其中DE 交直线AP 于点F.
(1)依题意补全图1;
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF 的度数;
(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示
线段 AB,FE,FD 之间的数量关系,并证明.
1.(湖南郴州中考题)平行四边形、矩形、菱形、
正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等 图1 图2
2.(浙江台州中考题)如图,F 是正方形ABCD
的边CD 上的一个动点,BF 的垂直平分线交对角
线AC 于点E,连接BE,FE,则∠EBF 的度数是
( )
A.45° B.50° C.60° D.不确定
第2题 第3题
1 5
