(2)设 CD 与 BH 相 交 于 G,则 ∠MBC+ 交点为点G.
∠CGB=90°. 由 轴 对 称 知:FE =FB,AE =AB,∠ABF
又∵∠CDE=∠MBC,∠DGH=∠BGC, =∠AEF.
∴∠CDE+∠DGH=90°,∴∠GMD=90°, ∵正方形ABCD,
∴BH⊥DE. ∴AB=AD,∠BAD=90°,
8.解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AC⊥ ∴AE=AD,
BD,∠BAC=∠ABO=45°. ∴∠AEF=∠ADF,
∵PF⊥BD,∴PF∥AC.同理PE∥BD, ∴∠ABF=∠ADF.
∴四边形PFOE 为矩形,故PE=OF. ∵∠AGB=∠DGF,
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴∠DFG=∠BAG=90°.
2 在Rt△ABD 中,AB
2+AD2=BD2,
∴PE+PF=OF+FB=OB=2a. ∴2AB
2=BD2.
(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. 在Rt△BFD 中,BF
2+FD2=BD2,
, , ∴EF2+FD2∵PF⊥BD ∴PF∥AC.同理PE∥BD =BD
2,
, 2 2 2∴四边形PFOE 为矩形 故PE=OF. ∴EF +FD =2AB .
又∵∠PBF=∠OBA=45°,∴PF=BF. 第3节 正方形的性质与判定(2)
2
∴PE-PF=OF-BF=OB=2a. 【课堂作业】
【新题看台】 1.D 2.B 3.D 4.答案不唯一,如 AC=
BD 或AB⊥BC 5.4
1.A 2.A 3.D 4.5 5.5 6.解:∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°,
6.解:(1)如图1所示: ∴四边形CFDE 是矩形.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠FCD=45°,∠CDF=45°,
∴CF=DF,∴矩形CFDE 是正方形.
7.证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC
,
图1 图2 ∴∠B=∠C.
(2)如图2,连接AE, ∵D 是BC 的中点,
∵点E 是点B 关于直线PA 的对称点, ∴BD=CD.
∴∠PAB=∠PAE,AE=AB. ∴△BED≌△CFD.
∵∠PAB=20°, (2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠PAE=20°,∠BAE=40°. ∴∠AED=∠AFD=90°.
∵正方形ABCD, ∵∠A=90°,
∴AB=AD,∠BAD=90°, ∴四边形DFAE 为矩形.
∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°, 又∵△BED≌△CFD,
1 ∴DE=DF,
∴∠ADF = ∠AED = (2 180°- ∠EAD
)
∴四边形DFAE 为正方形.
=25°. 【课后作业】
1.D 2.D 3.D 4.用卷尺量出方桌的四
边,再量方桌的两条对角线.若四边相等且对角线
也相等,则可判别方桌是正方形 5.正方形
6.(1)证 明:∵OD 平 分 ∠AOC,OF 平
分∠COB,
图3 ∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.
(3)如图3,连接AE,BF,BD,设BF 与AD 的 ∵ ∠AOC + ∠COB =180°,∴2∠COD +
·6·
2∠COF=180°, ∴∠BAD=∠DAC.
∴∠COD+∠COF=90°,即∠DOF=90°. ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线,
∵OA=OC,OD 平分∠AOC,∴OD⊥AC,AD ∴∠MAE=∠CAE.
=DC,∴∠CDO=90°. 1
, ∴∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 2 ×180°∵CF⊥OF ∴∠CFO=90°.∴四边形CDOF
是矩形. =90°.
(2)解:当∠AOC=90°时,四边形CDOF 是正 又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
方形. ∴∠ADC=∠CEA=90°.
理由:∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC. ∴四边形ADCE 为矩形.
又由(1)知四边形CDOF 是矩形, (2)解:例如,当∠BAC=90°时,四边形ADCE
∴四边形CDOF 是正方形. 是正方形.
7.(1)①证 明:∵四 边 形 ABCD 与 四 边 形 证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD ⊥BC
CEFG 都是正方形. 于D,
∴BC=DC,GC=CE,∠BCG=∠DCE=90°, ∴∠ACD=∠DAC=45°,
∴△BCG≌△DCE, ∴DC=AD.
∴BG=DE. 由(1)知四边形ADCE 为矩形,
②解:存在,△DCE 可由△BCG 绕点C 顺时 ∴矩形ADCE 是正方形.
针旋转90°得到. 3.(1)证明:∵DE⊥BC,
(2)解:连接BD,BD= BC2+CD2= 2. ∴∠DFB=90°.
,
∵△BCG≌△DCE, ∵∠ACB=90°
CBG CDE ∴∠ACB=∠DFB
,
∴∠ =∠ .
又∵∠CDE+∠MEC , ∴AC∥DE.=90°
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴∠CBG+∠MEC=90°,
∴四边形ADEC 是平行四边形,
∴BM⊥DE.
, ∴CE=AD.又∵M 是DE 的中点 (2)解:四边形BECD 是菱形.
∴BE=BD= 2, 理由是:∵D 为AB 中点,∴AD=BD.
∴DC+CE=BC+CE= 2. ∵CE=AD,∴BD=CE.
8.证明:(1)图②中,∵CD=CE=DE=2cm, ∵BD∥CE,∴四边形BECD 是平行四边形.
∴∠CDE=60°. ∵∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴CD=BD,
∵AD=DG=1cm,四边形 ABCD 和EHGF ∴四边形BECD 是菱形.
是矩形, (3)解:当∠A=45°时,四 边 形 BECD 是 正
∴∠ADC=∠GDE=90°. 方形.
∴∠GDC=∠ADE=150°. 理由是:∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴△AED≌△GCD. ∴∠ABC=∠A=45°,
(2)图③中,∵∠α=45°,∴∠NCE=∠NEC ∴AC=BC.
=45°. ∵D 为BA 中点,∴CD⊥AB,
∴∠CNE=90°,CN=NE,∴∠HND=90°. ∴∠CDB=90°.
∵CD=EH =2cm,∠H =∠D=∠HND ∵四边形BECD 是菱形,
=90°, ∴四边形BECD 是正方形,
∴四边形 MHND 是矩形. 即当∠A=45°时,四边形BECD 是正方形.
又CD=HE,CN=NE, 第二章 一元二次方程
∴HN=ND.∴四边形 MHND 是正方形.
【新题看台】 第1节 认识一元二次方程(1)
1.B
2.(1)证 明:在 △ABC 中,AB =AC,AD 【课堂作业】
⊥BC, 1.C 2.D 3.A 4.a≠1 5.60(1+x)2=
·7·
课时培优作业
第3节 正方形的性质与判定(2)
2.如图,把一个矩形纸片对折两次,然后沿图
中虚线剪下一个角,为了得到一个正方形,剪切线
正方形的判定方法:(1)对角线相等的菱形是 与折痕所成的角的大小等于 ( )
正方形;(2)对角线垂直的矩形是正方形;(3)有一
个角是直角的菱形是正方形.
活动一:做一做
打开课本P22,按照图1-20进行操作. A.30° B.45° C.60° D.90°
(1)完成课本中的“议一议”. 3.已知四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=
90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方
形,那么这个条件可以是 ( )
A.∠D=90° B.AB=CD
(2)明确正方形三个判定定理的内容. C.AD=BC D.BC=CD
4.如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O,请
你添加一个条件: ,使得该菱形为正方形.
活动二:证一证
1.完成课本P22正方形三个判定定理的证明.
5.如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,
若将纸片沿DE 折叠,使DC 落在DA 上,点C 的
2.理解并掌握P23例2的证明过程和依据. 对应点为点F,若BE=6cm,则CD 的长为
cm.
活动三:想一想
1.完成课本P23中的“做一做”. 6.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD
平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E,
F,试说明四边形CFDE 是正方形.
2.完成课本P23中的“议一议”.
1.下列说法不正确的是 ( )
A.有一个角是直角的菱形是正方形
B.两条对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.四条边都相等的四边形是正方形
1 6
数学 九年级上册
7.如图:已知在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 二、填空题
边的中点,过点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 4.小明家买了一张方桌,他想检查一下方桌是
为E,F. 否为正方形,但手上只有一把卷尺,请你帮他设计
(1)求证:△BED≌△CFD; 一个方案,并说明理由:
(2)若∠A=90°,求证:四边形 DFAE 是正 .
方形. 5.在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于
点O,若AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,则四边形
ABCD 的形状是 .
三、解答题
6.如图,O 是线段AB 上的一点,OA=OC,OD
平分∠AOC 交AC 于点D,OF 平分∠COB,CF⊥
OF 于点F.
(1)求证:四边形CDOF 是矩形;
(2)当∠AOC 是多少度时,四边形CDOF 是正
方形 并说明理由.
一、选择题
1.矩形内角平分线能够围成一个 ( )
A.平行四边形
7.如图,B,C,E 是同一直线上的三个点,四边
B.矩形
形 ABCD 与 四 边 形 CEFG 都 是 正 方 形.连 接
C.菱形
BG,DE.
D.正方形 (1)①求证:BG=DE;
2.若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的
②图中是否存在通过旋转能够互相重合的两
四边形是正方形,则四边形ABCD 一定是 ( )
个三角形 若存在,请指出,并说出旋转过程;若不
A.矩形
存在,请说明理由.
B.对角线互相垂直的四边形 (2)若正方形ABCD 的边长是1,延长BG 恰好
C.菱形
交DE 于DE 的中点M,求DC+CE 的值.
D.对角线垂直且相等的四边形
3.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂
直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且BE
=BF.添加一个条件,仍不能判定四边形ECFB 为
正方形的是 ( )
A.BC=AC B.CF⊥BF
C.BD=DF D.AC=BF
1 7
课时培优作业
8.两个长为2cm,宽为1cm的长方形,摆放在 2.(贵州安顺中考题)如图,在△ABC 中,AB
直线l上(如图①),CE=2cm,将长方形ABCD 绕 =AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN 是△ABC 的外
着点C 顺时针旋转α角,将长方形EFGH 绕着点E 角∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
逆时针旋转相同的角度. (1)求证:四边形ADCE 为矩形;
(1)当旋转到顶点D,H 重合时,连接AE,CG, (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADCE
求证:△AED≌△GCD(如图②); 是正方形 并给出证明.
(2)当 α=45°时 (如 图 ③),求 证:四 边 形
MHND 为正方形.
图① 图② 图③
3.(黑龙江牡丹江中考题)如图,在 Rt△ABC
中,∠ACB=90°,过点C 的直线 MN∥AB,D 为
AB 边上一点,过点D 作DE⊥BC,交直线 MN 于
E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D 在AB 中点时,四边形BECD 是什么
特殊四边形 说明你的理由;
(3)若D 为AB 中点,则当∠A 的大小满足什
么条件时,四边形BECD 是正方形 请说明你的
理由.
1.(湖南株洲中考题)已知四边形ABCD 是平
行四边形,再从:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC
=BD,④AC⊥BD 四个条件中,选两个作为补充条
件后,使得四边形ABCD 是正方形,现有下列四种
选法,其中错误的是 ( )
A.选①② B.选②③
C.选①③ D.选②④
1 8
