数学 九年级上册
第二章 一元二次方程
第1节 认识一元二次方程(1)
2.一元二次方程9x2-4x=0的二次项、一次
项、常数项依次是 ( )
只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化 A.9x2,4x,0
成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这 B.9x2,-4x,无常数项
样的方程叫做一元二次方程.我们把ax2+bx+c= C.9x2,0,4x
0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形 D.9x2,-4x,0
式,其中ax2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次 3.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形
项,b是一次项系数;c是常数项. 式是 ( )
A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0
C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0
活动一:想一想
4.若关于x 的方程(a-1)x2+3x=0是一元
1.打开课本P31,看一看课本中的图2-1和 二次方程,则a 的取值范围是 .
2-2. 5.某公司今年4月份营业额为60万元,6月份
思考:由上述两幅图列出的方程有什么共同特点
营业额达到100万元,设该公司5,6两个月份营业
额的月平均增长率为x,则可列方程为
.
2.上述两幅图列出的方程与一元一次方程、二
6.若关于x 的一元二次方程4x2-3ax-2a=
元一次方程有什么不同点
6的常数项为4,则一次项系数为 .
7.把方程3(x-1)2=2x(x-2)+5化成一元
二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、
活动二:总一总
一次项系数和常数项
1.一元二次方程的定义是什么
.
2.写出一元二次方程的一般形式,指出二次
项、一次项、常数项等有关概念.
3.写出几个一元二次方程.
一、选择题
1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 1.下列关于x 的方程:①(m-3)x2- 3x-2
( )
=0;②k2x+5k+6=0;③ 3x2
2 1
-4x-2=0
;
A.x2
1
+x2=0
2 1 ,
B.x2-2x=x2
④3x + -2=0 其中是一元二次方程的个数是
+1 x
C.(x-1)(x+2)-1=0 ( )
D.3x2-2xy-5y2=0 A.1 B.2 C.3 D.4
1 9
课时培优作业
2.下列方程中,关于x 的一元二次方程是 9.a 是二次项系数,b 是一次项系数,c是常数
( ) 项,且满足 a-1+(b-2)2+|a+b+c|=0,求满
A.3(x+1)2=2(x+1) 足条件的一元二次方程.
1 1
B.x2+x-2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
3.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之
间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计
划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀
请x 个队参赛,则x 满足的关系式为 ( )
1 1
A.2x
(x+1)=28 B.2x
(x-1)=28
( 2 ) 2 ( )
C.x (x+1)=28 D.x (x-1)=28 10.已知关于x 的方程 m -9x + m+3x
4.方程ax2+bx+c=0是关于x 的一元二次 -5=0.
方程的条件是 ( ) (1)当m 为何值时,此方程是一元一次方程
A.a,b,c为任意实数 并求出此时方程的解;
B.a 是不等于0的实数 (2)当m 为何值时,此方程是一元二次方程
C.a,b不能同时为0 并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常
D.b,c不能同时为0 数项.
二、填空题
5.把方程(x-3)2-x=2x+1化为一般形式
是 ,其 中 二 次 项 系 数
是 ,一 次 项 系 数 是 ,常 数 项 是
.
6.若方程kx2+x=3x2+1是关于x 的一元二
次方程,则k的取值范围是 .
7.关于x 的方程(|k|-4)x2+(k+4)x+2k
+3=0,当k 时,是一元二次方程;当
k 时,是一元一次方程.
三、解答题
8.将4个数a,b,c,d 排成2行、2列,两边各加 1.(湖北襄阳中考题)用一条长40cm的绳子
a b a b 围成一个面积为64cm2 的长方形.设长方形的长为
一条竖线,记成 ,定义 =ad-bc,上
c d c d xcm,则可列方程为 ( )
述记号叫做二阶行列式. A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64
x+1 x+2 C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64
那么 =1表示的方程是什么
x-2 2x 2.(浙江丽水中考题)如图,某小区规划在一个
请写出它的一般式. 长30m、宽20m的长方形ABCD 上修建三条同样
宽的通道,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD
平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为
78m2,那么通道的宽应设计成多少 m 设通道的
宽为xm,由题意列得方程 .
2 02∠COF=180°, ∴∠BAD=∠DAC.
∴∠COD+∠COF=90°,即∠DOF=90°. ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线,
∵OA=OC,OD 平分∠AOC,∴OD⊥AC,AD ∴∠MAE=∠CAE.
=DC,∴∠CDO=90°. 1
, ∴∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 2 ×180°∵CF⊥OF ∴∠CFO=90°.∴四边形CDOF
是矩形. =90°.
(2)解:当∠AOC=90°时,四边形CDOF 是正 又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
方形. ∴∠ADC=∠CEA=90°.
理由:∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC. ∴四边形ADCE 为矩形.
又由(1)知四边形CDOF 是矩形, (2)解:例如,当∠BAC=90°时,四边形ADCE
∴四边形CDOF 是正方形. 是正方形.
7.(1)①证 明:∵四 边 形 ABCD 与 四 边 形 证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD ⊥BC
CEFG 都是正方形. 于D,
∴BC=DC,GC=CE,∠BCG=∠DCE=90°, ∴∠ACD=∠DAC=45°,
∴△BCG≌△DCE, ∴DC=AD.
∴BG=DE. 由(1)知四边形ADCE 为矩形,
②解:存在,△DCE 可由△BCG 绕点C 顺时 ∴矩形ADCE 是正方形.
针旋转90°得到. 3.(1)证明:∵DE⊥BC,
(2)解:连接BD,BD= BC2+CD2= 2. ∴∠DFB=90°.
,
∵△BCG≌△DCE, ∵∠ACB=90°
CBG CDE ∴∠ACB=∠DFB
,
∴∠ =∠ .
又∵∠CDE+∠MEC , ∴AC∥DE.=90°
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴∠CBG+∠MEC=90°,
∴四边形ADEC 是平行四边形,
∴BM⊥DE.
, ∴CE=AD.又∵M 是DE 的中点 (2)解:四边形BECD 是菱形.
∴BE=BD= 2, 理由是:∵D 为AB 中点,∴AD=BD.
∴DC+CE=BC+CE= 2. ∵CE=AD,∴BD=CE.
8.证明:(1)图②中,∵CD=CE=DE=2cm, ∵BD∥CE,∴四边形BECD 是平行四边形.
∴∠CDE=60°. ∵∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴CD=BD,
∵AD=DG=1cm,四边形 ABCD 和EHGF ∴四边形BECD 是菱形.
是矩形, (3)解:当∠A=45°时,四 边 形 BECD 是 正
∴∠ADC=∠GDE=90°. 方形.
∴∠GDC=∠ADE=150°. 理由是:∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴△AED≌△GCD. ∴∠ABC=∠A=45°,
(2)图③中,∵∠α=45°,∴∠NCE=∠NEC ∴AC=BC.
=45°. ∵D 为BA 中点,∴CD⊥AB,
∴∠CNE=90°,CN=NE,∴∠HND=90°. ∴∠CDB=90°.
∵CD=EH =2cm,∠H =∠D=∠HND ∵四边形BECD 是菱形,
=90°, ∴四边形BECD 是正方形,
∴四边形 MHND 是矩形. 即当∠A=45°时,四边形BECD 是正方形.
又CD=HE,CN=NE, 第二章 一元二次方程
∴HN=ND.∴四边形 MHND 是正方形.
【新题看台】 第1节 认识一元二次方程(1)
1.B
2.(1)证 明:在 △ABC 中,AB =AC,AD 【课堂作业】
⊥BC, 1.C 2.D 3.A 4.a≠1 5.60(1+x)2=
·7·
100 6.15 2015
: , ∴a
2-2014a+
7.解 去括号 得 a2+1
3x2-6x+3=2x2-4x+5, 2015=a2-2014a+
整理得x2-2x-2=0, 2015a
所以二次项系数为1,一次项系数为-2,常数 1=a2-2015a+a+
项是-2. a
【课后作业】 1=-1+a+a
1.A 2.A 3.B 4.B 5.x2-9x+8=0 a2-a+1 2015a-a
1 -9 8 6.k≠3 7.≠±4 =4 = a = a =2014.
8.解:由题意可得(x+1)×2x-(x+2)(x- 【 】
2)
新题看台
=1,写成一般形式为x2+2x+3=0.
: 1.D 2.A 3.A 4.B 5.19.解 由 a-1+(b-2)2+|a+b+c|=0,
, ,
得{a-1=0 a=1 第2节 用配方法求解一元二次方程(1)b-2=0, 解得a+b+c=0, {b=2,c=-3. 【课堂作业】
∵a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项, 1.C 2.A 3.B 4.(x-2)2=3 5.x1=
∴所求的方程为x2+2x-3=0. -1,x2=3
10.解:(1)根据一元一次方程的定义可知 m2 6.解:(1)原方程可以变形为x2=4,
-9=0,m+3≠0,解得m=3. 开平方,得x=±2.
5
此时化简方程为6x-5=0,解得x=6.
所以原方程的解是x1=2,x2=-2.
1
( 22)根据一元二次方程的定义可知m2-9≠0, (2)原方程可以变形为x = ,4
解得m≠±3. 1
该方程的二次项系数为m2-9,一次项系数为 开平方,得x=±2.
m+3,常数项为-5. 1 1
所以原方程的解是
【 】 x1=
,x2=-
新题看台 2 2
.
1.B 2.x2-35x+66=0 7.()
-1+ 6 -1- 6
1x1= , ()2 x2= 2 2x1=
第1节 认识一元二次方程(2) -2,x2=0
【课堂作业】 【课后作业】
1.D 2.A 3.C 4.-1 5.2 6.答案不唯 1.C 2.A 3.A 4.B 5.±2 6.4 7.无
一,如x2-9=0 7.填表略 x1=1,x2=9 解 8.6± 5
8.解:表 格 从 左 至 右 依 次 填:6,-5,-12, 9.(1)x1=-2+ 6,x2=-2- 6 (2)x1=
-15,-14,-9,0.
由表可知:-3,x2=-1 (4)x1=
时,2x2-x-15=0,
,
所以方程2x2-x-15=0的两个解为x = 2+ 6x2=2- 61
-2.5,x2=3. 510.解:把x2-2x- =0配方,
【课后作业】 4
2 9 3
1.C 2.B 3.D 4.B 5.-3 2 6.0 a 得(x-1)= ,4 x-1=±
,
2
+c=b 0 7.5 8.1 5 1
9.解:(1)表格从左至右依次填:3.4375,6.25, ∴x1= ,2 x2=-2.
10,10.9375,11.25,10.9375,10,8.4375. 5 9
(2)1.5s时,小球达到最高处. 把x= 代入2 x
2-(k+2)x+ ,4=0
10.解:∵a是方程x2-2015x+1=0的一个根, 25 5 9 7
∴a2 ,
得 ( ) ,解得 ;
-2015a+1=0 即a2+1=2015a. 4-2 k+2 +4=0 k=5
·8·
