2023年春期高二期末考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再求其虚部即可.
【详解】由题知：，，
所以的虚部为.
故选：A
2. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可得答案
【详解】解：定义域为，
因为，
所以为偶函数，所以图像关于轴对称，所以排除AC，
当时，，则，
令，则或（舍去）
当时，，当时，，
所以 在上递减，在上递增，所以排除B，
故选：D
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A. () B. (1，+) C. (1，1) D. (0，1)
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.
【详解】∵函数，，
∴，
由，，解得，
即函数的单调递增区间为.
故选：D.
4. 已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系以及线面平行的判定定理，结合必要不充分条件的概念即可得出结论.
【详解】依题意得，
当，时，直线与直线的位置关系为平行或者异面，
当，时，由线面平行的判定定理可得，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数的取值范围，于此可得出整数的最小值.
【详解】满足条件，执行第一次循环，，；
满足条件，执行第二次循环，，；
满足条件，执行第二次循环，，.
满足条件，调出循环体，输出的值为.
由上可知，，因此，输入的整数的最小值是，故选A.
【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6. 已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.
【详解】由题意，,解得
所以
故选：B.
7. 甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（ ）
A. 甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B. 甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C. 甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D. 甲的数据的极差小于乙的数据的极差
【答案】C
【解析】
【分析】根据条形图列举出甲乙的数据，应用平均数、中位数、方差、极差的求法求出甲乙的特征数据，进而比较它们的大小即可.
【详解】由题设，甲数据为，乙数据为，
所以甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲乙中位数均为，
甲的方差，乙的方差，
甲极差为，乙极差为，
综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.
故A、B、D错误，C正确.
故选：C
8. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的对称性即可得到答案.
【详解】.
故选：B.
9. 已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；
【详解】解：对于命题，当时，故命题为假命题，所以为真命题；
对于，恒成立，
所以函数在R上单调递增，故命题为真命题，所以为假命题，
所以为假命题，为假命题，为真命题；
故选：D
10. 已知函数.曲线在点处切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；
解：因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
11. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【分析】根据，取，和，，即可排除错误选项，构造函数，利用导数说明其单调性，即可判断C．
【详解】解：根据，取，，则可排除、；
取，，则由，，可排除．
构造函数，，则，
令，则，即函数在上单调递增，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，故C正确；
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
12. 已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，得，构造函数，，求出其最小值，即可求出a的取值范围．
【详解】由，得，即，
记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，记，，
，
，，，
时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是合理构造函数，求出其最小值从而求出a的取值范围．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．
【答案】9
【解析】
【分析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积
【详解】由题设可估计落入黑色部分的概率
设黑色部分面积为,由几何概型计算公式可得
解得
故答案为:9
14. 3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则相同科目的书不相邻的放法共有______种．
【答案】72
【解析】
【分析】不相邻问题用插空法.
【详解】
3本数学书的放法有种，其间产生4个空挡，如图.
将3本语文书插入①②③号空挡，或②③④号空挡，共有种，
故同类书不相邻的放法共有种.
故答案为：.
15. 抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义，结合切线的斜率求解切点坐标，然后求解切线与的正切值，再利用三角函数恒等变换公式可求得结果
【详解】解：由，得，则，
设点的坐标为，则由题意可得，解得，则，所以，
因为抛物线的焦点，所以，
设切线与的夹角为，则，
所以，
故答案为：
16. 在正方体中，棱长为1，，分别为，的中点，为线段上异于，的动点，现有下列结论：
①与为异面直线；
②；
③周长最小值为；
④三棱锥的体积为定值.
其中所有正确结论的编号是_______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】在正方体中，由线线，线面关系可判断①和②；而③周长，当为线段上异于，的动点时，显然是中点时最小；④三棱锥的体积可考虑底面和高是否分别为定值即可.
【详解】①在正方体 中，易得与为异面直线,所以①正确；
②在正方体 中，易得，又, ，，所以面 ，又面，所以，故，所以②正确；
③当移动到线段中点时，周长的最小值，此时周长
，所以③错误；
④在三棱锥中，当在线段中移动时，底面中，不变，到的距离不变，所以面积为定值，又连接，交于，则易得面，所以为三棱锥的高，且为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑:
（1）找出动点所在的线段或轨迹；
（2）判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹,利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数在点（1，）处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数和的值；
（Ⅱ）求在[1，3]上的最小值.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解；
（Ⅱ）结合导数与单调性关系可先判断函数的单调性，进而可求最小值．
【详解】解：（Ⅰ）因为
所以，
由题意可得，，
解得，，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以，
因为，，
易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值也就是最小值
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的最值，属于基础题．
18. 在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.为了解我市脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对，两个地区2020年脱贫家庭进行随机抽样调查，共抽取600户作为样本，统计数据如下表：
地区 地区
2020年人均年纯收入超过10000元 50户 200户
2020年人均年纯收入未超过10000元 250户 100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.（将频率视为概率）
（1）从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该户人均年纯收入超过10000元的概率；
（2）分别从地区和B地区2020年脱贫家庭中各随机抽取1户，记为这2户家庭中2020年人均年纯收入未超过10000元的户数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)的分布列见解析，的数学期望为.
【解析】
【分析】(1)利用数表求出A地区人均年纯收入超过10000元的频率，由此估计概率即得；
(2)确定X所有可能值，再分别求出对应的概率列出分布列即可作答.
【详解】(1)从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为M，
由表格中数据知，A地区抽出的300户家庭中，2020年人均年纯收入超过10000元的有50户，则人均年纯收入超过10000元的频率为，
由此估计；
(2)X的可能值为0，1，2，
从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为N，则，
而M与N相互独立，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的数学期望为：.
19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质可得，由平面几何的知识可得，再由线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、平面的一个法向量为，由即可得解.
【详解】（1）证明：连结，如图，
∵平面，平面，∴，
∵底面是平行四边形，，∴，
∵，∴平面；
（2）以C为原点，为x轴，为y轴，过点C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
∵，，∴，，，，
∴，，
设平面的一个法向量，
则，取得，
∵平面，∴平面的一个法向量为，
则，
又二面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了线面垂直的证明及利用空间向量求二面角，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.
20. 平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）依题意，线段的长度等于到：的距离，由抛物线定义可得其方程；
（2）设直线方程为（），与联立得，由“直线，的斜率互为相反数”结合韦达定理得，进而可证得结果.
【详解】（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，
则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，
所以，的方程为．
（2）将代入得．则
易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．
由得．
则，．①
则，，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以，，
则．②
联立①②，得，
所以或．
若，则的方程为，恒过点，不合题意；
所以，即直线的斜率为定值．
21 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.
【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．
【解析】
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）由分离参数法问题转化为在上恒成立，求出的最大值即可，利用导数确定的单调性，得最大值．
【详解】（1）由已知，当时，，当时，，
∴的减区间是，增区间；
（2）函数的定义域是，定义域是，
不等式为，
∴不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，
设，则，时，，，
又在上是增函数，，，
∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，
，，
，∴，
∵，∴，∴整数的最小值为2．
【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题，解题关键在于问题的转化，解题方法是：用分离参数法转化为在上恒成立，然后再用导数求出的最大值即可．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
（选修4-4 极坐标与参数方程）
22. 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数）
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，直线与曲线交于，两点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将曲线变形为，由，，，代入即可得到所求曲线的直角坐标方程；
（2）令，可得，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，求得的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．
【详解】（1）曲线的极坐标方程是，
即为，
由，，，
可得，
即；
（2）直线的参数方程是为参数）
令，可得，，即，
将直线的参数方程代入曲线，可得：
，
即为，
解得，，
由参数的几何意义可得，
．
【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用，，进行方程的转化，同时注意运用参数的几何意义进行求解，考查方程思想的运用和运算求解能力．
（选修4-5 不等式选讲）
23. 已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若正实数满足，证明：．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；
（2）根据题意，结合柯西不等式代入计算即可得到证明.
【小问1详解】
，且，
，解得．
．
．
（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；
（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．
综上所述，．
【小问2详解】
由（1）得．．
，
．当且仅当，即时等号成立．
．2023年春期高二期末考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
3. 函数单调递增区间为（ ）
A. () B. (1，+) C. (1，1) D. (0，1)
4. 已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
5. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是
A. B. C. D.
6. 已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于( )
A 6 B. 5 C. 4 D. 2
7. 甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（ ）
A. 甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B. 甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C. 甲数据的方差大于乙的数据的方差
D. 甲的数据的极差小于乙的数据的极差
8. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
9. 已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数.曲线在点处的切线方程为（ ）
A B.
C. D.
11. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．
14. 3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则相同科目的书不相邻的放法共有______种．
15. 抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．
16. 在正方体中，棱长为1，，分别为，的中点，为线段上异于，的动点，现有下列结论：
①与为异面直线；
②；
③周长的最小值为；
④三棱锥的体积为定值.
其中所有正确结论的编号是_______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数在点（1，）处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数和的值；
（Ⅱ）求在[1，3]上的最小值.
18. 在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.为了解我市脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对，两个地区2020年脱贫家庭进行随机抽样调查，共抽取600户作为样本，统计数据如下表：
地区 地区
2020年人均年纯收入超过10000元 50户 200户
2020年人均年纯收入未超过10000元 250户 100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.（将频率视为概率）
（1）从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该户人均年纯收入超过10000元的概率；
（2）分别从地区和B地区2020年脱贫家庭中各随机抽取1户，记为这2户家庭中2020年人均年纯收入未超过10000元的户数，求的分布列和数学期望.
19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
21. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
（选修4-4 极坐标与参数方程）
22. 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数）
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，直线与曲线交于，两点，求的值．
（选修4-5 不等式选讲）
23. 已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若正实数满足，证明：．
