河北省石家庄市元氏县音体美学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

2022--2023学年度 第二学期 高二数学期末试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．函数的图象在处的切线方程是，则等于（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
3．用 四个数字组成无重复数字的四位数， 其中比大的偶数共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
5．设，则的值为（ ）
A．311 B．312 C．313 D．315
6．将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
7．现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ）
A． B． C． D．
8．已知某种疾病的某种疗法的治愈率为80%．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
二、多选题（选不全得2分）
9．下列式子正确的有（ ）
A． B．
C． D．，
10．以下四个命题中正确的是（ ）．
A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位
D．对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大
11．甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量~，则
B．若随机变量的方差，则
C．若，，，则事件与事件独立
D．若随机变量~且，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．若，则m=______.
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
15．若随机变量，且，则______.
16．某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是__________.
四、解答题
17．（10分）已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数在区间（-2，2）上的单调性．
18．（10分）某学校安排4个三口之家(学生与其父母)参加学校的相关活动：
（1）组织4个家庭合照，要求学生站前排，父母站在自己小孩的身后，有多少种不同的站法？
（2）从中选出6人参加一次集体交流，每个家庭必须有人参加，有多少种不同的选派方法？
19．（10分）设．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
20．（10分）一袋中共有个大小相同的黑球个和白球个．
(1) 若从袋中任意摸出个球，求至少有个白球的概率.．
(2)现从中不放回地取球，每次取个球，取次，已知第次取得白球，求第次取得黑球的概率．
21．（15分）现有名男生和名女生站成一排照相.(列式并算出结果)
（1）两女生相邻，有多少种不同的站法？
（2）女生甲不在左端，女主乙不在右端，有多少种不同的站法？
（3）女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)有多少种不同的站法？
22．（15分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
选择新能源汽车 选择传统汽车 合计
40岁以下 65
40岁以上（包含40岁） 60 100
合计 200
(1)完成列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；
(2)以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求的分布列及数学期望．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
试卷第4页，共4页
参考答案：
1．A
【分析】求得，令，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得.
故选：A.
2．D
【分析】根据切线方程可求的值.
【详解】因为函数的图象在处的切线方程是，所以 ，，所以，
故选：D.
3．D
【分析】比大，故千位为，分类讨论即可
【详解】比大，故千位为，
千位为2，则个位为4，有种
千位为3，则个位为2或4，有种
千位为4，则个位为2，有种
故一共有8种，
故选：D
4．C
【分析】确定函数在和上单调递减，在和上单调递增，对比得到答案.
【详解】设导函数图像与的交点横坐标分别为和，，，
根据图像：
和时，；
和时，；
则函数在和上单调递减，在和上单调递增.
对比图像知C满足.
故选：C.
5．C
【分析】令和，得到两个等式，两式相加化简即可得出答案.
【详解】令，则①，
令，则②，
①加②可得：，解得：.
故选：C.
6．B
【分析】根据题意，分两步进行：（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里；（2）将剩下的个小球放入与其编号不同的盒子里．利用分步乘法计数原理可得结果．
【详解】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子．
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法．
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种．故选B．
7．A
【分析】分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案.
【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则,
表示事件“抽到两名女同学”，则,
故,
故选：A
8．D
【分析】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式计算即可逐一判定.
【详解】由题意可得，由二项分布的概率公式得，即B正确；
若，则，与条件矛盾，即D错误；
由二项分布的期望与方差公式得：，即A、C正确；
故选：D
9．CD
【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算法则，逐一对各选项进行求导判断即可得出结论.
【详解】对于选项A，，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B错误.
对于选项C，，所以选项C正确；
对于选项D，，所以选项D正确；
故选：CD.
10．BC
【分析】根据系统抽样的定义可判断A；根据相关系数的定义可判断B；根据回归方程可判断选项C；根据独立性检验可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由题意可知相同的间隔取一件是系统抽样，故选项A不正确；
对于B：两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，故选项B正确；
对于C：每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位，故选项C正确；
对于D：随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故选项D不正确，
故选：BC．
11．ACD
【分析】根据古典概型求概率公式得到，由全概率公式计算，由条件概率计算BD选项中的概率.
【详解】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；
因为，所以选项C正确；
因为，，所以，故选项D正确；
因为，所以选项B错误；
故选：ACD
12．ACD
【分析】通过计算可以判断选项ABD；计算得到，则事件与事件独立，所以选项C正确.
【详解】A. 若随机变量~，则，所以该选项正确；
B. 若随机变量的方差，则,所以该选项错误；
C. 若，则事件与事件独立，所以该选项正确；
D. 若随机变量~且，则，所以该选项正确.
故选：ACD
13．
【分析】直接利用组合数的性质得到x+3x-6=18或x=3x-6,解之即得x的值.
【详解】因为，所以x+3x-6=18或x=3x-6，所以x=3或6.
故答案为3或6
【点睛】（1）本题主要考查组合数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)如果.
14．
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
15．/
【分析】根据正态分布的性质可得，即可求解.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】利用条件概率和全概率公式即可.
【详解】设考生会答该题为事件A，不会答为事件B，该考生回答正确为事件C；
则：,,
故答案为：
17．(1)；
(2)在和(1，2)上单调递增，在（，1）上单调递减
【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；
（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.
【详解】（1）由已知可得．又，所以
（2）由（1）可知，，
令，解得或，
令，解得，
所以在和(1，2)上单调递增，在上单调递减．
18．（1）384种；（2）594种．
【分析】(1)可先按家庭排列4个学生，再排父母.
（2）可分两种情况，一是其中两个家庭各选2人，另2个家庭各选1人；二是其中一个家庭选3人，另外3个家庭各选1人.
【详解】解：（1）先将4个家庭看作4个元素全排列，再考虑每个家庭中父母的顺序，共有种.
（2）分两种情况：
1.两个家庭各选2人，另两个家庭各选1人，共有种；
2.其中一个家庭3人全选，另三个家庭各选1人，共有种；
故总共有种．
19．（1）1 ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）赋值法，令，即得解；
（2）赋值法，分别令，联立，即得解；
（3）相当于的展开式中各项系数之和，令，即得解
【详解】（1）令，得．
（2）令，得，①
由（1），知，②
由②-①，得，
∴，
（3）相当于的展开式中各项系数之和，
令，∴．
20．（1）；（2）
【分析】(1)求出总的基本事件数，然后求解符合要求的基本事件，利用古典概率模型求解；
(2) 求出总的基本事件数，然后求解符合要求的基本事件，利用条件概率模型求解；
【详解】(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，
则.
(2)令“第1次取得白球”为事件, “第2次取得黑球”为事件，则
，
.
故.
【点睛】本题主要考查古典概率和条件概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养.
21．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把两女生捆绑作为一个元素与5名男生进行排列；
（2）先把7人全排列，然后减去女生甲在左端的排列数及女生乙在右端的排列数，同时加上女生甲在左端同时女生乙在右端的排列数；
（3）女生甲要么在乙的左端，要么在乙的右端，因此只要用全排列除以2即得．
【详解】(1)
(2)
(3)
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
22．(1)至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
(2)分布列见详解，.
【分析】（1）根据列联表中的数据以及公式进行计算求解.
（2）利用二项分布进行计算求解.
【详解】（1）由题可知：
选择新能源汽车 选择传统汽车 合计
40岁以下 65 35 100
40岁以上（包含40岁） 40 60 100
合计 105 95 200
所以，
所以至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
（2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，
抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为，所以，
所以的可能取值为：0，1，2，3，且
；
；
；
；
所以的分布列为：
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
数学期望.
答案第9页，共10页