22.2.4 一元二次方程根的判别式 有实数根;
课堂作业 ②当k≠0时,方程是一元二次方程,
1 ∵Δ=[-(3k-1)]
2-4k·2(k-1)=(k+1)2≥0,
1.k≤4 2. ±6 3.k< ,且4 k≠0 ∴无论k为何实数,方程总有实数根.
13 7. 证明:4. - 5.1 -3 ∵Δ=
[-(m+2)]2-4(2m-1)=(m
8
-2)2+4,
6. 解:(1)∵b2-4ac=(-4)2-4×3×1=4>
∴在实数范围内,m 无论取何值,(m-2)2+4
0,∴方程有两个不相等的实数根;
>0,即Δ>0,
(2)方程化为一般形式为:18x2+25x+7=0,∵
∴关于x 的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0
a=18,b=25,c=7,∴Δ=b2-4ac=252-4×18×7
恒有两个不相等的实数根.
=625-504>0,∴方程有两个不相等的实数根.
8. 解:(1)∵Δ=(-6)2-4×1×k=36-4k≥
(3)方程化为一般形式为:3x2-43x+4=0, 0,∴k≤9;
∵a=3,b=-43,c=4,∴Δ=b2-4ac=(-43)2 (2)∵k是符合条件的最大整数且k≤9,
-4×3×4=0,∴方程有两个相等的实数根. ∴k=9.
7.m≤3 当k=9时,方程x2-6x+9=0的根为x1=x2
1 =3;把x=3代入方程x2: [ ( )]2 +mx-1=0
得9+3m-1
8. 解 Δ= -k+1 -4 k2+1÷÷=2k-3,
è 4 , 8=0 ∴m=- .
由题意得Δ≥0,即2k-3≥0, 3
新题看台
3
∴k≥ ,2 1.C 2.C
3 3.(1)证明:∵m≠0,Δ=(, m+2
)2-4m×2=
∴当k≥ 时 方程有两个实数根2 . m2-4m+4=(m-2)2,而(m-2)2≥0,即Δ≥0,∴
9.(1)证明:∵关于x 的一元二次方程x2- 方程总有两个实数根;
(2m+1)x+m(m+1)=0,∴Δ=[-(2m+1)]2- (2)解:(x-1)(mx-2)=0,x-1=0或mx-2
4m(m+1)=1>0,∴方程总有两个不相等的实数 2
( , , ,当 为正整数 或 时,根. 2)解:∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0 =0 ∴x1=1x2=m m 1 2 x2
代入方程中得到m(m+1)=0,∴m=0或m=-1. 为整数,即方程的两个实数根都是整数,∴正整数m
∵(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m 的值为1或2.
+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5.把m=0代入 22.2.5* 一元二次方程的根与系数的关系
3m2+3m+5,得3m2+3m+5=5;把 m=-1代入 课堂作业
3m2+3m+5,得3m2+3m+5=3×1-3+5=5.
()7 1 11. 1 (2)0 - (3)6 0
课后作业 4 4 3
5 (4)m+1 m 2.x2-x-2=0(答案不唯一)
1.B 2.C 3.m≤ 且4 m≠1 4.a<1
且a
49
9 3.1 -3 4. -11 5. -1 6.36 7.
(1)当m
≠0 5.k≥-4 1
: , , ≤ 时,方程有两个实数根 () ()6. 证明 ①当k=0时 方程是一元一次方程 2 . 2m=-4 3x1
— 5 —数学 九年级上册
22.2.4 一元二次方程根的判别式
5. 若方程x2+px+2=0的一个根为2,则它
的另一个根是 ,p= .
我们把Δ=b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+ 6. 不解方程,判断下列方程根的情况:
bx+c=0的根的判别式.(1)Δ>0 方程有两个不 (1)3x2-x+1=3x;
相等的实数根;(2)Δ=0 方程有两个相等的实数
根;(3)Δ<0 方程没有实数根.
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式
(2)( 2x+1
)(9x+8)=1;
是什么 用公式法解一元二次方程的步骤有哪些
2
2. 推导一元二次方程求根公式的主要方法是 (3)3x -43x=-4.
什么 能用求根公式解一元二次方程的前提是什
么 为什么
7. 已知关于x 的一元二次方程x2+(6-2m)x
=-m2+4m-3有实数根,求m 的取值范围.
3. 讨论b2-4ac 的值有哪几种情况 它与一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况有
什么关系
(1)当b2-4ac>0,方程根的情况是什么
(2)当b2-4ac=0,方程根的情况是什么 8. 已知关于x 的方程x2 (
1
-k+1)x+ 2
( 4
k +1
3)当b2-4ac<0,方程根的情况是什么
=0.k取什么值时,方程有两个实数根
9. 已知关于x 的方程x2-(2m+1)x+m(m
+1)=0.
1. 如果关于x 的一元二次方程x2-4x+k=0 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
有实数根,那么k的取值范围是 . (2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m
2 -1)22. 如果关于x 的方程x +kx+9=0有两个 +(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简
相等的实数根,那么k的值为 . 再求值).
3. 关于x 的一元二次方程kx2-x+1=0有
两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
4. 已知关于x 的方程x2-(a+2)x+a-2b
1
=0的根的判别式等于0,且x= 是方程的根,则2
a+b的值为 .
2 5
课时培优作业
8. 已知关于x 的一元二次方程x2-6x+k=0
有两个实数根.
1. 已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2 (1)求k的取值范围;
-2x-3=0.下列说法正确的是 ( ) (2)如果k 取符合条件的最大整数,且一元二
A.①②都有实数解 次方程x2-6x+k=0与x2+mx-1=0有一个相
B.①无实数解,②有实数解 同的根,求常数m 的值.
C.①有实数解,②无实数解
D.①②都无实数解
2. 已知关于x 的方程kx2+(1-k)x-1=0,
下列说法正确的是 ( )
A.当k=0时,方程无解
B.当k=1时,方程有一个实数解
C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
3. 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x2+x
+1=0有实数根,则m 的取值范围是 .
4. 如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等的 1.(苏州中考题)下列关于x 的方程有实数根
实数根,则实数a 的取值范围为 . 的是 ( )
5. 关于x 的一元二次方程-x2+(2k+1)x+ A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0
2-k2=0有实数根,则k的取值范围是 . C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0
6. 已知关于x 的方程kx2-(3k-1)x+2(k- 2.(内江 中 考 题)若关于x 的一元二次方程
1)=0,求证:无论k为何实数,方程总有实数根. (k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k
的取值范围是 ( )
1 1
A.k>2 B.k≥2
1 1
C.k> 且2 k≠1 D.k≥
且
2 k≠1
3.(北京中考题)已知关于x 的方程mx2-(m
+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数
7. 已知关于x 的方程x2-(m+2)x+(2m- m 的值.
1)=0,求证:方程恒有两个不相等的实数根.
2 6
