22.2.4 一元二次方程根的判别式 有实数根;
课堂作业 ②当k≠0时,方程是一元二次方程,
1 ∵Δ=[-(3k-1)]
2-4k·2(k-1)=(k+1)2≥0,
1.k≤4 2. ±6 3.k< ,且4 k≠0 ∴无论k为何实数,方程总有实数根.
13 7. 证明:4. - 5.1 -3 ∵Δ=
[-(m+2)]2-4(2m-1)=(m
8
-2)2+4,
6. 解:(1)∵b2-4ac=(-4)2-4×3×1=4>
∴在实数范围内,m 无论取何值,(m-2)2+4
0,∴方程有两个不相等的实数根;
>0,即Δ>0,
(2)方程化为一般形式为:18x2+25x+7=0,∵
∴关于x 的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0
a=18,b=25,c=7,∴Δ=b2-4ac=252-4×18×7
恒有两个不相等的实数根.
=625-504>0,∴方程有两个不相等的实数根.
8. 解:(1)∵Δ=(-6)2-4×1×k=36-4k≥
(3)方程化为一般形式为:3x2-43x+4=0, 0,∴k≤9;
∵a=3,b=-43,c=4,∴Δ=b2-4ac=(-43)2 (2)∵k是符合条件的最大整数且k≤9,
-4×3×4=0,∴方程有两个相等的实数根. ∴k=9.
7.m≤3 当k=9时,方程x2-6x+9=0的根为x1=x2
1 =3;把x=3代入方程x2: [ ( )]2 +mx-1=0
得9+3m-1
8. 解 Δ= -k+1 -4 k2+1÷÷=2k-3,
è 4 , 8=0 ∴m=- .
由题意得Δ≥0,即2k-3≥0, 3
新题看台
3
∴k≥ ,2 1.C 2.C
3 3.(1)证明:∵m≠0,Δ=(, m+2
)2-4m×2=
∴当k≥ 时 方程有两个实数根2 . m2-4m+4=(m-2)2,而(m-2)2≥0,即Δ≥0,∴
9.(1)证明:∵关于x 的一元二次方程x2- 方程总有两个实数根;
(2m+1)x+m(m+1)=0,∴Δ=[-(2m+1)]2- (2)解:(x-1)(mx-2)=0,x-1=0或mx-2
4m(m+1)=1>0,∴方程总有两个不相等的实数 2
( , , ,当 为正整数 或 时,根. 2)解:∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0 =0 ∴x1=1x2=m m 1 2 x2
代入方程中得到m(m+1)=0,∴m=0或m=-1. 为整数,即方程的两个实数根都是整数,∴正整数m
∵(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m 的值为1或2.
+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5.把m=0代入 22.2.5* 一元二次方程的根与系数的关系
3m2+3m+5,得3m2+3m+5=5;把 m=-1代入 课堂作业
3m2+3m+5,得3m2+3m+5=3×1-3+5=5.
()7 1 11. 1 (2)0 - (3)6 0
课后作业 4 4 3
5 (4)m+1 m 2.x2-x-2=0(答案不唯一)
1.B 2.C 3.m≤ 且4 m≠1 4.a<1
且a
49
9 3.1 -3 4. -11 5. -1 6.36 7.
(1)当m
≠0 5.k≥-4 1
: , , ≤ 时,方程有两个实数根 () ()6. 证明 ①当k=0时 方程是一元一次方程 2 . 2m=-4 3x1
— 5 —
和x2 能同号,
1 新题看台
此时 m 的取值范围是m≤ 且2 m 1.B 2.A 3.10
≠0.
课后作业 22.3 实践与探索(1)
1.B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.9 课堂作业
8.5 9.8 1. (11-x) x(11-x)=30 2. (160+
10. 解:∵关于x 的方程x2+x+n=0有两个 2x)(100+2x)=2×160×100 3.10% 4.B
实数根-2,m, 5. 解:(1)20(32-x) (2)依题意,得(32-2x)·
{-2m=n,∴ (20-x)=570;解得x1=1,x2=35(不合题意,舍去).-2+m=-1, 答:小道的水平宽度为1米.
m=1,
解得{ 6.(1)16×(1+30%)=20.8(元) (2)由(x-n=-2,
16)(170-5x)=280,解得x1=20,x2=30,又因为
即m,n的值分别是1,-2.
x≤20.8,所以x=20.
11. 解:(1)∵方程有实数根,∴Δ=22-4(k+
课后作业
1)≥0,解得k≤0.故k的取值范围是k≤0;
1.C 2.C 3.C 4.20%
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1
5. 解:设购买了x 件这种服装且多于10件,根
+x2=-2,x1x2=k+1,x1+x2-x1x2=-2-(k
据题意得出:
+1).由已知,得-2-(k+1)<-1,解得k>-2.又
[80-2(x-10)]x=1200,
由(1)k≤0,∴-2解得:x1=20,x2=30,
1和0.
当x=20时,80-2(20-10)=60元>50元,符
12. 解:(1)∵x1,x2是一元二次方程(a-6)x2
合题意;
+2ax+a=0的两个实数根,∴由根与系数的关系
当x=30时,80-2(30-10)=40元<50元,不
a 2a
可知,x1x2= , ; 一元二次方a-6x1+x2=-a-6 ∵ 合题意,舍去.
程(a-6)x2+2ax+a=0有两个实数根,∴Δ=4a2 答:她购买了20件这种服装.
-4(a-6)·a≥0,且a-6≠0,解得,a≥0,且a≠ 6. 解:根据题意,得
6;(1)∵-x1+x1x2=4+x2,∴x1x2=4+(x + (x-120)[1 120-(x-120)]=3200,
a 2a 即x2-360x+32000=0,
x2),即 ,解得,a-6=4-a-6 a=24>0.∴
存在实数
解得x1=200,x2=160.
a,使-x1+x1x2=4+x2成立,a 的值是24. (2) 答:x 的值为200或160.
∵(x1+1)(x2+1)
a
=x1x2+(x1+x2)+1= 新题看台a-6-
1.B 2.D
2a a
+1=- +1,∴当(x1+1)(x2+1)为负整a-6 a-6 3. 解:设中间的数为x,则(x+2)(x-2)=6x
数时,a-6>0,且a-6是6的约数,∴a-6=6,a- +3,x=7(x=-1舍去),所以这三个数分别为5,
6=3,a-6=2,a-6=1,∴a=12,9,8,7;∴使(x1 7,9.
+1)(x2+1)为负整数的实数a 的整数值有12,9, 4. 解:设 AB 的长度为x 米,则BC 的长度为
8,7. (100-4x)米.
— 6 —数学 九年级上册
22.2.5* 一元二次方程的根与系数的关系
2. 请写出一个根为x=-1,另一个根为x=2
的一元二次方程 .
根与系数的关系是以一元二次方程有两个实 3. 一元二次方程x2-4x-c=0的一个根是
数根为前提条件的,因此在应用时先确定一元二次 3,则另一个根是 ,c= .
方程是否有实数根至关重要.换言之,在运用根与系 4. 若x2-3x-1=0的两根分别为x1,x2,则
数的关系时要注意:(1)方程是一元二次方程,即二 x2 x1
次项系数a≠0;(2)方程一定要有实数根,即b2- 可得x +x = .1 2
4ac≥0. 5. 若方程x2-x-1=0的两实根分别为a,b,
1 1
求 的值
a+b .
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式
是什么 一元二次方程的两个根x1,x2 与系数a,
b,c有怎样的关系
6. 设x1,x2分别是方程2x2-5x-6=0的两
1 1
2. 对于二次项系数为1的一元二次方程x2+ 根,求 +x2 x2
的值.
px+q=0,如果它的两根为x1,x2,
1 2
请利用求根公
式对根与系数的关系进行推导,并将下列结果补充
完整.
x1= ,x2=
x1+x2= ,x1x2=
你能用文字表达吗
7. 已知关于x 的一元二次方程4x2+4(m-
1)x+m2=0.
(1)当m 在什么范围内取值时,方程有两个实
数根
(2)设方程有两个实数根x1,x2,问当m 为何
值时,x2 21+x2=17
1. 不解 方 程,求 下 列 方 程 两 根 之 和 与 两 根 (3)若方程有两个实数根x1,x2,问x1 和x2 能
之积: 否同号 若能同号,请求出相应m 的取值范围;若
(1)4x2+1=7x,x1+x2= ,x1·x2 不能同号,请说明理由.
= .
(2)3x2-1=0,x1+x2= ,x1·x2
= .
(3)x2-6x=0,x1+x2= ,x1·x2
= .
(4)x2-(m+1)x+m=0,x1+x2= ,
x1·x2= .
2 7
课时培优作业
11. 关于x 的一元二次方程x2+2x+k+1=0
的实数解是x1和x2.
1. 已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的 (1)求k的取值范围;
两根,则x1+x2的值是 ( ) (2)如果x1+x2-x1x2<-1且k 为整数,求
A.0 B.2 k的值.
C.-2 D.4
2. 设x ,x 是方程x21 2 +3x-3=0的两个实数
x x
根,则 2+ 1的值为 ( )x1 x 2
A.5 B.-5
C.1 D.-1
3. 已知关于x 的一元二次方程x2+2x+a-1
=0有两根,分别为x1和x 22,且x1-x1x2=0,则a
的值是 ( )
12. 已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+
A.1 B.1或-2
2ax+a=0的两个实数根.
C.2 D.1或2 (1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成
4. 已知m,n 是关于x 的一元二次方程x2- 立 若存 在,求 出a 的 值;若 不 存 在,请 你 说 明
3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a 理由;
的值为 ( ) (2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a 的
A.-10 B.4
整数值.
C.-4 D.10
5. 已知实数a,b 分别满足a2-6a+4=0,
2 b ab -6b+4=0,且a≠b,a+
的值是 (
b
)
A.7 B.-7
C.11 D.-11
6. 如果关于x 的一元二次方程x2+4x+a=0
的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2-2x1-2x2
-5=0,那么a 的值为 ( )
A.3 B.-3
C.13 D.-13
7. 已知关于x 的一元二次方程x2-x-3=0 1.(宜宾中考题)若关于x 的一元二次方程的
的两个实数根分别为α,β,则(α+3)(β+3)= . 两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是 ( )
8. 若x1=-1是关于x 的方程x2+mx-5= A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0
0的一个根,则方程的另一个根x2= . C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0
9.设x1,x2是一元二次方程x2+4x-3=0的 2.(玉林中考题)x1,x2是关于x 的一元二次
两个根,2x1(x22+5x2-3)+a=2,则a= . 方程x2-mx+m-2=0的两个实数根,是否存在
10. 已知关于x 的方程x2+x+n=0有两个 1 1
实数根-2,m.求m,n 的值. 实数m 使 + =0成立 则正确的结论是x1 x2
( )
A.m=0时成立 B.m=2时成立
C.m=0或2时成立 D.不存在
3.(江西中考题)若α,β是方程x2-2x-3=0
的两个实数根,则α2+β2= .
2 8
