数学 九年级上册
23.3.2 相似三角形的判定(1)
(5)已知在△ABC 和△A'B'C'中,∠A=35°,
∠B=50°,∠A'=35°,∠C'=105°,则△ABC∽
相似三角形的判定:①平行于三角形一边的直 △A'B'C'. ( )
线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与 2. 已知:如图,(1),(2)中各有两个三角形,其
原三角形相似.②如果两个三角形的两个对应角相 边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD 交
等,那么这两个三角形相似.③如果两个三角形的两 于O 点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法
条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角 正确的是 ( )
形相似.
1. 目前如何判定两个三角形相似
2. 动手 画 一 画:分 别 画 出 两 个 大 小 不 同 的 A.都相似 B.都不相似
ABC 与 DEF,并使 A D、 B E, C.
只有(1)相似 D.只有(2)相似
△ △ ∠ =∠ ∠ =∠
3. 如图,点 D 在△ABC 的边AC 上,要判定
∠C=∠F. △ADB 与△ABC 相似,添加一个条件,不正确的是
(1)用刻度尺量一量各边长,它们的对应边是 ( )
否会成比例 A. ∠ABD=∠C
(2)你能得出什么结论 它们相似吗 B. ∠ADB=∠ABC
AB CB
C.BD=CD
AD AB
D.AB=AC
3. 想一想,至少需要几组角对应相等就能保证
4. 如图
,已知各图中的 ,请写出各图
两个三角形相似呢 为什么 ∠1=∠2
中所有的相似三角形.
4. 思考:若两个三角形仅有一对角是对应相等
的,那么它们是否一定相似
1. 判断.(对的打“ ”,错的打“×”) 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BD=CD,
(1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似. CE⊥AB 于E.
( ) 求证: △ABD∽△CBE.
(2)有一个角相等的两个等腰三角形相似.
( )
(3)都有一个角等于100°的两个等腰三角形相似.
( )
(4)两个等腰直角三角形相似. ( )
4 3
课时培优作业
△ABC 是等腰三角形;④△BCD∽△ABC.其中正
确的有 ( )
1. 已知等腰三角形ABC 和等腰三角形DEF, A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
∠A=∠D=50°,这两个等腰三角形一定相似吗 9. 如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=2,BC=
答: . 5,DC=8.若在边 DC 上有一点P,使△PAD 与
2. 在△ABC 和△DEF 中,∠A=30°,∠B= △PBC 相似,则这样的点P 有 ( )
27°,∠D=123°,∠F=30°,则△ABC 和△DEF 是
否相似: .
3. 如图,点D,E 在△ABC 的边AB,AC 上.
(1)若∠1=∠2,则△ ∽△ ;
(2)若∠2=∠B,则△ ∽△ ; A.1个 B.2个
(3)若DE∥BC,则△ ∽△ . C.3个 D.4个
10. 如图,在正方形ABCD 中,E 是CD 的中
, 1点 点F 在BC 上,且FC=4BC.
图中相似三角形
共有 ( )
A.1对 B.2对
第3题 第4题 C.3对 D.4对
4. 如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则
图中所有的相似三角形为 .
5. 如图,已知两点 A(2,0),B(0,4),且∠1=
∠2,则点C 的坐标是 .
第10题 第11题
11. 如图,已知:在△ABC 中,∠ADE=∠C,
则下列等式成立的是 ( )
第5题 第6题 AD AE AE ADA.AB=AC B.BC=BD
6. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形. DE AE DE AD
如图,△ABC,△BDC,△DEC 都是黄金三角形,已 C.CB=AB D.BC=AB
知AB=1,则DE= . 12. 如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交
7. 如 图,D 是 △ABC 的 边 AB 上 一 点,若 于E,∠CPD=∠A=∠B,BC 交PD 于F,AD 交
∠1= ,那 么 △ADC ∽ △ACB;若 ∠2 PC 于G,则图中相似三角形有 ( )
= ,那么△ADC∽△ACB. A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
第7题 第8题
, 第12题 第13题8. 如图 在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
AB 的垂直平分线交AC 于D,交AB 于E,则下列 13. 如图,已知∠1=∠2=∠3,则下列关系式
结论:①∠C=72°;②BD 是∠ABC 的平分线;③ 中正确的是 ( )
4 4
数学 九年级上册
AB BC AC BC 17. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
A.AD=AE B.AE=AD BD 是角平分线.
AB AC AC AB
C. = D. = 求证:(1)△ABC∽△BDC;DE AE AE AD (2)BC2=AC·CD.
14. 如图,D,E 分别是△ABC 的边AC,AB 上
的点,若 ∠A =38°,∠C=82°,∠1=60°,那 么
△ADE 与△ABC 相似吗 若相似,请给出证明.
15. 如图,已知在△ABC 与△DEF 中,∠C=
54°,∠A=47°,∠F=54°,∠E=79°.
求证:△ABC∽△DEF.
1.(盘锦中考题)如图,在平
面直角坐标系中,A(0,4),B(2,
0),点C 在第一象限,若以 A,
B,C 为顶点的三角形与△AOB
相似(不包括全等),则点C 的个
数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
16. 如图,AB=3AC,BD =3AE,又 BD ∥
2.(河北中考题)在研究相似问题时,甲、乙两
AC,点B,A,E 在同一条直线上.
个同学的观点如下:
(1)求证:△ABD∽△CAE;
(2)如果AC=BD,AD=22BD,设BD=a,
求BC 的长.
甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向
外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则
新三角形与原三角形相似.
乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外
扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则
新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是 ( )
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
4 5∴边框的内边缘所成的矩形 ABCD 与边框的 不唯一)
外边缘所成的矩形EFGH 不相似. 23.3.2 相似三角形的判定(1)
6. 解:设其他三边的长是xcm,ycm,zcm,由 课堂作业
题意,得:
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
x∶4=4∶2=y∶3=z∶6, 2.A 3.C 4. 略
解得x=8,y=6,z=12. 5. 证明:在△ABC 中,AB=AC,BD=CD,
所以其他三边的长为8cm,6cm和12cm. ∴AD⊥BC.
7. 解:∵△ABC 与△DEF 相似, ∵CE⊥AB,
x y 4
∴ = = , ∴∠ADB=∠CEB=90°,12 7 8
又
, ∵∠B=∠B
,
∴x=6y=3.5.
∴△ABD∽△CBE.
新题看台
课后作业
5+1
1.D 2. 2 1. 不一定相似 2. 相似 3. (1)ADE ACD
(2)ACD ABC (3)ADE ABC 4. △ABC∽
23.3 相似三角形
△ACD∽△CBD 5.(0,1)
3- 5
6. 2 7.∠B
23.3.1 相似三角形
∠ACB 8. A 9.C 10.C 11.C 12.C
课堂作业
13.D
1.C 2.D 3.C
14. 解:相似.理由是:
4. 解:由两个三角形相似知:对应边成比例,则
∵∠B=180°-∠A-∠C=60°,
20 22 x
= = ,所以30 33 48 x=32. ∴∠A=∠A,∠1=∠B,∠AED=∠C,
由两个三角形相似可知:对应角相等,对应边成 ∴△ABC∽△ADE.
3a 10 20 15. 证明:在△ABC 中,∠B=180°-∠A-∠C
比例,所以n=55,m=80,2a=
,得 = .
y y 3 =79°,
5. 略 ∠B=∠E,
在△ABC 和△DEF 中,
课后作业 {∠C=∠F,
1. △COD ∠OAB = ∠OCD,∠ABO = ∴△ABC∽△DEF.
, AB BO OA∠CDO ∠AOB=∠COD = = 2.AC 16.(1)证明:∵BD∥AC,点B,A,E 在同一条CD DO OC
直线上,
AD AE
ED AE 3.ABC ADE C AB AC 3∶8 ∴∠DBA=∠EAC,
4.∠BAC ∠FAE ∠ABC ∠AFE ∠ACB AB BD又∵ = =3,AC AE
AE FE
∠AEF AB AC BC 12 5.A 6.C 7.D ∴△ABD∽△CAE;
8.B 9.108 1∶9 (2)解:连 接 BC,∵AB=3AC=3BD,AD=
新题看台 22BD,
1.12 2.B 3.C 4.△ABP∽△AED(答案 ∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2,
— 10 —
∴∠D=90°. ∴CD= AC2-AD2= 2.
由(1)得△ABD∽△CAE, 要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
∴∠E=∠D=90°.
(1)
AC AB
当Rt△ABC∽Rt△ACD 时,有 = ,
1 , 1 22
AD AC
∵AE= 3BD EC= 3AD = 3 BD
,AB AC2
∴AB=
=3BD, AD
=3.
∴在Rt△BCE 中,BC2=(AB+AE)2+EC2 () , AC AB2 当Rt△ACB∽Rt△CDA 时 有CD=
,
AC
2 2
1
2
= 3BD+ BD ÷÷ +
22 ÷ 108 2 AC
è 3 è 3
BD ÷ = 9BD ∴AB=CD =32.
=12a2, 故当AB 的长为3或32时,这两个直角三角
∴BC=23a. 形相似.
17. 证明:(1)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠C= 课后作业
1 1.C 2.B 3.D 4. ∠C=∠D 或∠B=
∠ABC= (2 180°-∠A
)=72°.∵BD 平分∠ABC,
AD AE
∠E 或 =
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A,而∠C=∠C,∴ AC AB
△ABC∽△BDC. 5. 解:(1)∠ABC=135°,BC=22;
(2)由△ABC∽△BDC,得 BC∶DC=AC∶ (2)△ABC 与△DEF 相似;
BC,即BC2=AC·CD. 理由:因为∠ABC=∠DEF=135°,
新题看台 又因为由AB=2,BC=22,DE= 2,EF=2,
1.D 2.A AB BC
可得: = = 2,
23.3.2 相似三角形的判定(2) DE EF
所以,根据两边对应成比例,且夹角相等,可得
课堂作业
△ABC∽△DEF.
1. ∠A=∠D 或BC∶EF=2∶1
新题看台
2.B 3.D 4.B
1.C 2.A
5. 解:△ABC∽△AEF.理由是:
, , , 23.3.3 相似三角形的性质在△ABC 中 AB=2AC=6
AE 1,AF 3 1
课堂作业
∵ ,AB=2 AC=6=2 1.A 2.D 3.1∶2 4.25 5.1∶3 6.25
AE AF
∴ = . 7.1∶3 8.75AB AC
课后作业
又∵∠A =∠A,
4
∴△ABC∽△AEF. 1.50 6.6 9 2.B 3.D 4.B 5.D 6.C
6. 解:△ABC∽△DEF;理由是: 7. 解:∵四边形ABCD 是矩形,
AB AC BC
∵ = = =2, ∴∠A=∠D=90°.DE DF EF
∵△ABE∽△DEF,
∴△ABC∽△DEF.
AB DE 4 1 3
7. 解:∵AC= 6,
,即 ,解得:
AD=2, ∴AE=DF 6=DF DF=2.
— 11 —
