∴∠D=90°. ∴CD= AC2-AD2= 2.
由(1)得△ABD∽△CAE, 要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
∴∠E=∠D=90°.
(1)
AC AB
当Rt△ABC∽Rt△ACD 时,有 = ,
1 , 1 22
AD AC
∵AE= 3BD EC= 3AD = 3 BD
,AB AC2
∴AB=
=3BD, AD
=3.
∴在Rt△BCE 中,BC2=(AB+AE)2+EC2 () , AC AB2 当Rt△ACB∽Rt△CDA 时 有CD=
,
AC
2 2
1
2
= 3BD+ BD ÷÷ +
22 ÷ 108 2 AC
è 3 è 3
BD ÷ = 9BD ∴AB=CD =32.
=12a2, 故当AB 的长为3或32时,这两个直角三角
∴BC=23a. 形相似.
17. 证明:(1)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠C= 课后作业
1 1.C 2.B 3.D 4. ∠C=∠D 或∠B=
∠ABC= (2 180°-∠A
)=72°.∵BD 平分∠ABC,
AD AE
∠E 或 =
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A,而∠C=∠C,∴ AC AB
△ABC∽△BDC. 5. 解:(1)∠ABC=135°,BC=22;
(2)由△ABC∽△BDC,得 BC∶DC=AC∶ (2)△ABC 与△DEF 相似;
BC,即BC2=AC·CD. 理由:因为∠ABC=∠DEF=135°,
新题看台 又因为由AB=2,BC=22,DE= 2,EF=2,
1.D 2.A AB BC
可得: = = 2,
23.3.2 相似三角形的判定(2) DE EF
所以,根据两边对应成比例,且夹角相等,可得
课堂作业
△ABC∽△DEF.
1. ∠A=∠D 或BC∶EF=2∶1
新题看台
2.B 3.D 4.B
1.C 2.A
5. 解:△ABC∽△AEF.理由是:
, , , 23.3.3 相似三角形的性质在△ABC 中 AB=2AC=6
AE 1,AF 3 1
课堂作业
∵ ,AB=2 AC=6=2 1.A 2.D 3.1∶2 4.25 5.1∶3 6.25
AE AF
∴ = . 7.1∶3 8.75AB AC
课后作业
又∵∠A =∠A,
4
∴△ABC∽△AEF. 1.50 6.6 9 2.B 3.D 4.B 5.D 6.C
6. 解:△ABC∽△DEF;理由是: 7. 解:∵四边形ABCD 是矩形,
AB AC BC
∵ = = =2, ∴∠A=∠D=90°.DE DF EF
∵△ABE∽△DEF,
∴△ABC∽△DEF.
AB DE 4 1 3
7. 解:∵AC= 6,
,即 ,解得:
AD=2, ∴AE=DF 6=DF DF=2.
— 11 —
在Rt△DEF 中,
3
DE=1,DF= ,由勾股定理2 23.4 中位线
: 13 13 课堂作业得 EF= DE2+DF2= 4 = 2 . 1.2 2.4cm 3.9 4.3 5.D
新题看台 6. 证明:连接AC.∵AH=HD,CG=GD,
2 1 , 11.C 2. 2 3.n+1 ∴HG∥AC HG= 2AC
(三 角 形 中 位 线 定
23.3.4 相似三角形的应用 理),
课堂作业 同理, 1EF∥AC,EF= AC,2
1.A 2.11.2米 ∴HG EF.
3. 解:∵AB⊥OC',OS⊥OC', ∴四边形EFGH 是平行四边形.
∴SO∥AB, 课后作业
∴△ABC∽△SOC, 1.C 2.B 3. A 4.28cm 5.20cm
BC AB, 1 1.5, 6.12cm 18cm∴ 即BC+OB=OS 1+OB=h 7.(1)证明:∵D,E 分别是AB,AC 边的中点,
2
解得OB=3h-1①
, 1∴DE∥BC,且DE=2BC
,
同理,∵A'B'⊥OC', 1
同理,GF∥BC,且GF=2BC
,
∴△A'B'C'∽△SOC',
且
B'C' A'B' 1.8 1.5 ∴DE∥GF DE=GF
,
∴ = , = ②,B'C'+BB'+OB OS 1.8+4+OB h ∴四边形DGFE 是平行四边形;
1.8 1.5 (2)当OA=BC 时,平行四边形DEFG 是菱形.
把①代入②得, ,2 =h
5.8+ h-1 8. 证明:(1)∵点 D,E,F 分别是AB,BC,CA3
的中点,∴DE,EF 都是△ABC 的中位线,∴EF∥
解得h=9(米). AB,DE∥AC,∴四边形ADEF 是平行四边形;
答:路灯离地面的高度是9米. (2)∵四边形ADEF 是平行四边形,∴∠DEF
课后作业 =∠BAC,∵D,F 分别是AB,CA 的中点,AH 是边
1.18 2.20 3.2.5 4.B 5.48毫米 BC 上的高,∴DH=AD,FH=AF,
新题看台 ∴∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA,
1.2.3 ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC,
2. 解:由题意得,∠BAD=∠BCE, ∠DHA+∠FHA=∠DHF,
∵∠ABD=∠CBE=90°, ∴∠DHF=∠BAC,
∴△BAD∽△BCE, ∴∠DHF=∠DEF.
新题看台
BD AB
∴ = ,BE CB 1.D 2.A
BD 1.7 3.(1)证明:∵D,E 分别是AB,AC 的中点,
∴ ,9.6=1.2 ∴DE 是△ABC 的中位线,
解得BD=13.6. ∴DE∥BC,
答:河宽BD 是13.6米. 又∵EF∥AB,
— 12 —课时培优作业
23.3.3 相似三角形的性质
相似三角形的性质:(1)相似三角形对应边成 1. 如图,△ABC 中,点 D 在线段BC 上,且
比例,对应角相等;(2)相似三角形对应边上的高的 △ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )
比等于相似比;(3)相似三角形对应边上的中线的
比等于相似比;(4)相似三角形对应角上的角平分
线的比等于相似比;(5)相似三角形的周长的比等
于相似比;(6)相似三角形的面积的比等于相似比
的平方.
A.AB2=BC·BD
B.AB2=AC·BD
1. 如何判定两个三角形相似 共有哪几种判
C.AB·AD=BD·BC
定方法 三角形除了边、角之外还有哪些要素 对
, D.AB
·AD=AD·CD
于两个相似的三角形 以上要素与三角形的相似比
2. 已知△ABC∽△DEF,若 △ABC 与△DEF有何关系 写出你的猜想.
的相似比为3∶4,则△ABC 与△DEF 的面积比为
( )
A.4∶3 B.3∶4
, C.16∶9 D.9∶162. 看 课 本71页 图23.3.14 已 知△ABC∽
3. 若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的
△A'B'C',AD 与A'D'分别是对应边BC 与B'C'上
相似 比 为1∶2,则△ABC 与△DEF 的 周 长 比
, AB的高 设
A'B'=k.
回答: 为 .
(1)△ABD 与△A'B'D'相似吗 为什么 4. 如果两个相似三角形的一组对应边分别为
(2)对应高AD 与A'D'的比是多少 为什么 3cm和5cm,且较小三角形的周长为15cm,则较大
(3)△ABC 与△A'B'C'的面积比是多少 为 三角形的周长为 cm.
什么 对相似多边形能得出相似结论吗 为什么 5. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上
(4)△ABC 与△A'B'C'的周长比是多少 为 , , 1的点 DE∥BC 且AD=3AB
,则△ADE 的周长与
什么 对相似多边形能得出相似结论吗 为什么
△ABC 的周长的比为 .
3. 看 课 本72页 图23.3.15,已 知△ABC∽
△A'B'C',AD 与A'D'分别是对应边BC 与B'C'上
的中线,BE 与B'E'分别是对应角的平分线,设
AB , ,AB BC AC如图 和 中
=k.回答: 6. △ABC △EBD =A'B' EB BD
=ED
(1)对应中线 AD 与A'D'的比是多少 为 5= ,3 △ABC
与△EBD 的周长之差为10cm,则
什么
() △ABC
的周长是 cm.
2 对应角的平分线BE 与B'E' 的比是多少
为什么 相似多边形能得出类似结论吗 为什么
4 8
数学 九年级上册
7. 如图,在 ABCD 中,E 是FC 的中点,F 是 B.8cm
BE 的中点,AE,DF 交于点H,△EFH 与△ADH C.46cm
的周长的比是 . D.43cm
7. 如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在边
AD,DC 上,△ABE∽△DEF,AB=4,AE=6,DE
=1,求EF 的长.
8. 如果两个相似三角形的一组对应边分别为
3cm和5cm,且较小三角形的面积为27cm2,则较
大三角形的面积为 cm2.
1. 如图,已知DE∥BC,AD
=2,DB=1,BC=9.9,∠B=
50°,则∠ADE= °,DE
= ,
S△ADE
S = .△ABC
2. 已知△ABC∽△DEF,且AB∶DE=1∶2,
则△ABC 与△DEF 的面积之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶1 D.4∶1
1.(南京中考题)若△ABC∽△A'B'C',相似
3. 两个相似三角形的较短边长分别是2cm和
比为1∶2,则△ABC 与△A'B'C'的面积的比为
3cm,它们的面积之和是78cm2,较大的三角形的
( )
面积是 ( )
2 2 A.1∶2 B.2∶1A.44.8cm B.42cm
C.1∶4 D.4∶1
C.52cm2 D.54cm2
(滨州中考题)如图,平行于 的直线
4. 如 图,△ABC 中,
2. BC DE
DE ∥BC,S△ADE =
AD
S梯形DBCE,则DE∶BC 等于 ( ) 把△ABC 分成的两部分面积相等,则AB =
2
A. .3
2
B. 2
1
C.2
1
D.4
5.△ABC 中,AD 是高,且AD2=BD·CD, 第2题 第3题
那么∠BAC 的度数 ( ) 3.(抚顺中考题)如图,已知CO1是△ABC 的
A.小于90° B.等于90° 中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接
C.大于90° D.不确定 AE1交CO1于点O2;过点O2作O2E2∥AC 交BC
6. 如图,DE∥BC∥FG,且 于点E2,连 接 AE2 交 CO1 于 点 O3;过 点 O3 作
DE,FG 把△ABC 的面积三等 O3E3∥AC 交BC 于点E3,…,如此继续,可以依次
分,若BC=12cm,则FG 的长是 得到点O4,O5,…,On和点E4,E5,…,En.则OnEn
( ) = AC.(用含n 的代数式表示)
A.6cm
4 9
