∴AC=5x. 4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(千米),∴AB=AH+
, CD 4x 4ACD A BH=9.1+5.6=14.7
(千米).故改直的公路AB 的长
在Rt△ 中tan =AC=5x=
,
5 为14.7 千 米;(2)在Rt△BCH 中,BC =CH ÷
∴∠A=38°40'. sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7(千米),则
(2)∵AC+CD=36, AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米).
∴5x+4x=36, 答:公路改直后比原来缩短了2.3千米.
∴x=4, 课后作业
∴AC=20,CD=16, 4 12
1. 2.60° 4 3.4 7 3 4.
∴AD= AC2+CD2=4 41. 3 13
AD 2 AD 2
又∵DB=
,
3 ∴
3
AB=5. 5. 3 6.B
5AD
∴AB= =10 41. 7. 解:(1)∵∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的2
中线,∴CD=BD,∴∠B=∠BCD,∵AE⊥CD,
6. 解:在Rt△ACE 中,∵AC=15,∠EAC=63°,
∴∠CAH + ∠ACH = 90°,又 ∠ACB = 90°,
EC
∴tan∠EAC= ,AC ∴∠BCD+∠ACH=90°
,∴∠B=∠BCD=∠CAH,
, 即∠B=∠CAH, , 由勾股定理得∴EC=tan63°×15≈29.4 ∵AH=2CH ∴ AC
∴ED=29.4+2=31.4(m). 5= 5CH,∴CH∶AC=1∶ 5,∴sinB= ;5
答:吊臂的最高点E 到地面的高度ED 的长为
31.4m. (2)
5
∵sinB= ,5 ∴AC∶AB=1∶ 5
,又∵CD
BC
7. 解:在直角△ABC 中,tan∠CAB= ,AB = 5,∴AB=2CD=2 5,∴AC=2.∵∠CAH=
∴BC=AB·tan40°=52·tan40°.
∠B,
5 1
∴sin∠CAH=sinB= = ,设CE=x(x
同理BD=AB·tan43°. 5 5
∴CD=BD-BC≈52×(0.9325-0.8391)≈ >0),则AE= 5x,则x2+22=(5x)2,∴CE=x
4.86(m). =1,在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,∵AB=
新题看台
2CD=25,∴BC=4,∴BE=BC-CE=3.
1.C 2.C
新题看台
24.4 解直角三角形(1) 1.100 2.17
课堂作业 24.4 解直角三角形(2)
3
1.10 2.24 3.6 4. 5.B 6.B 课堂作业5
7.(1)作CH⊥AB 1. 11.9 2. (5+5 2) 3. 2.44
于H.在 Rt△ACH 中, 3
· 4.
83+ ÷2 ÷ 5.8.1 6.CCH=AC sin ∠CAB è
=AC·sin25°≈10× 7. 解:如图,过点C 作CD⊥BA 交BA 的延长
0.42=4.2(千 米),AH 线于点D,∵热气球与小山的水平距离为1800米,
=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1 ∴DC=1800m,∵热气球在点 A 处看到某小山底
(千米),在Rt△BCH 中,BH=CH÷tan∠CBA= 部点C 的俯角为30°,从点 B 看到点C 的俯角为
— 17 —
60°,∴∠DBC=30°,∠DAC= 答:潜艇C 离开海平面的下潜深度为308米.
, DC 1800 新题看台60° ∴tan60°=AD = AD = 1. 解:过点 A
3,解 得:AD=600 3≈1039 作AH ⊥CD,垂足
( ), DC 1800 3 为 H
,由题意可知
m tan30°=BD=
,
BD =3 四边 形 ABDH 为
解得:BD≈3118(m),故 AB= 矩 形,∠CAH =
3118-1039=2079(m), 30°,∴AB=DH=
答:热气球垂直上升的高度AB 为2079米. 1.5米,BD=AH=
8.(1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=
, CH米 在
∠BFA=90°.在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中,AB= 6 Rt△ACH
中,tan ∠CAH = ,AH ∴CH =
CD,AF=CE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴BF
AH·
3
, , tan∠CAH=6tan30°=6× =23
(米),∵
=DE.在△BMF 和△DME 中 ∠BMF=∠DME 3
∠BFM=∠DEM,BF=DE,∴△BMF≌△DME DH=1.5米,∴CD=(2 3+1.5)米,在Rt△CDE
(AAS),∴MB=MD,MF=ME;
中, CD∵ ∠CED =60°,sin ∠CED = ,CE ∴CE =(2)结论成立,仍存在 MB=MD,MF=ME.证
明如下:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠BFM CD 23+1.5= 米=(4+ 3)米.
=∠DEC=∠DEM=90°.在Rt△ABF 和Rt△CDE sin60° 3
中, 2AB=CD,AF=CE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE
(HL),∴BF =DE.在 △BMF 和 △DME 中, 答:拉线CE 的长为(4+ 3)米.
∠BMF=∠DME,∠BFM=∠DEM,BF=DE,∴ 2. 解:(1)根据题意得:BD∥AE,∴∠ADB=
△BMF≌△DME(AAS),∴MB=MD,MF=ME. ∠EAD=45°,∵∠ABD=90°,∴∠BAD=∠ADB
课后作业 =45°,∴BD=AB=60(米),∴两建筑物底部之间
;
1.(
水平距离BD 的长度为60米
33-3) 2.(5+53) 3.A
(2)延长AE,: DC 交于点F
,根据题意得四边形
4. 解 过点C 作CD⊥
为 正 方 形, 米,在
AB, BA ABDF ∴AF=BD =DF=60交 的延长线于点
, Rt△AFC中, , ·D 则AD 即为潜艇C 的下 ∠FAC=30°∴CF=AF tan∠FAC
潜 深 度,根 据 题 意 得: 3=60× =203(米),又3 ∵FD=60
米,∴CD=(60
∠ACD =30°,∠BCD =
, , )米, 建筑物 的高度为( )米68° 设 AD=x 则 BD= -203 ∴ CD 60-203 .
BA+AD =1000+x,在 24.4 解直角三角形(3)
Rt△ACD 中, CD =
课堂作业
AD x
tan∠ACD = tan30° = 1.1∶2 2.(7+43) 3.9
3x,在Rt△BCD 中,BD=CD·tan68°,∴1000+x 4. 解:在Rt△ADC 中,
1000 ∵AD∶DC=1∶2.4
,AC=13,
= 3x·tan 68°,解 得:x = ≈
3·tan68°-1 由AD
2+DC2=AC2,
2
1000 得AD +(2.4AD)
2=132.
1.7×2.5-1≈308. ∴AD=±5(负值不合题意,舍去).
— 18 —课时培优作业
24.4 解直角三角形(2)
理解仰角和俯角的定义,会正确地解直角三 1. 如图,在距离树底部10米的A 处,用仪器测
角形. 得大树顶端C 的仰角∠BAC=50°,则这棵树的高
度BC 是 米(结果精确到0.1米).
1. 在进行测量时,视线仰角指的是什么角 视
线俯角指的是什么角
2. 直角三角形的解法可以归纳为哪几种情况 2. 如图,一旗杆被大风折断,旗杆顶B 着地与
解直角三角形时主要用到哪些知识 地面成45°角,测量得AB=5m,则旗杆原长为
m.(结果保留根号)
3. 用三角函数和方程的思想解决关于直角三
角形的问题需注意哪些问题
3. 如图,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为
10m,∠A=26°,则中柱BC 的长约是 m.(精
确到0.01 m)(已知sin26°≈0.4384,cos26°≈
4. 解直角三角形的问题时最少需要知道几个 0.8988,tan26°≈0.4877,cot26°≈2.0503)
已知量 为什么
4. 升国旗时,某同学站在离旗杆底部24m处
5. 将某些实际问题中的数量关系,归结为直角
行注目礼,当国旗升到旗杆顶端时,此同学视线的
三角形元素之间的关系时,要注意什么问题
仰角为30°,若此同学双眼离地面1.5m,则旗杆高
度为 m.(结果保留根号)
5. 如图,为了测量电线杆AB 的高度,小明将
测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D 处.若
测角仪CD 的高度为1.5m,在C 处测得电线杆顶
端A 的仰角为36°,则电线杆AB 的高度约为
7 2
数学 九年级上册
m.(精确到0.1m,参考数据:sin36°≈0.59, 8. 如图①,E,F 分别为线段AC 上的两个动
cos36°≈0.81,tan36°≈0.73) 点,且DE⊥AC 于点E,BF⊥AC 于点F,若AB=
CD,AF=CE,BD 交AC 于点M.
(1)求证:MB=MD,MF=ME;
(2)当E,F 两点移动至如图②所示位置时,其
余条件不变,上述结构是否成立 若成立,请给予
证明.
6. 如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距
离楼底O 点20m的点A 处,测得楼顶B 点的仰角
∠OAB=65°,则这幢大楼的高度为(结果保留3个
有效数字) ( )
① ②
A.42.8m B.42.80m
C.42.9m D.42.90m
7. 热气球探测器显示,热气球在点A 处看到
某小山底部点C 的俯角为30°,后垂直上升一定高
度至点B,看到点C 的俯角为60°,热气球与小山的
水平距离为1800米,如图,求热气球垂直上升的高
度AB(结果精确到1米,参考数据:3≈1.732).
1. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥
挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况
显示牌(如图).已知立杆AB 高度是3m,从侧面D
点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是
60°和45°.则路况显示牌BC 的高度为 m.
7 3
课时培优作业
2. 如图,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大
树AB 的顶部A 的仰角为45°,测得大树AB 的底
1.(兰州中考题)如图,在电线杆上的C 处引拉
部B 的俯角为30°,已知平台CD 的高度为5m,则
线CE,CF 固定电线杆,拉线CE 和地面成( 60°
角,
大树的高度为 m 结果保留根号).
在离电线杆6米的B 处安置测角仪,在A 处测得电
线杆上C 处的仰角为30°,已知测角仪高AB 为1.5
米,求拉线CE 的长(结果保留根号).
3. 从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学
楼,探测器显示,看到教学楼底部点C 处的俯角为
45°,看到楼顶部点D 处的仰角为60°,已知两栋楼
之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD 是
( )
A.(6+63)米 B.(6+33)米
C.(6+23)米 D.12米
4. 在中俄“海上联合-2014”反潜演习中,我军
舰A 测得潜艇C 的俯角为30°,位于军舰A 正上方
2.(哈尔滨中考题)如图,AB,CD 为两个建筑
1000米处的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为
物,建筑物AB 的高度为60米,从建筑物AB 的顶部
68°,试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下
A 点测得建筑物CD 的顶部C 点的俯角∠EAC 为
潜深度.(结果保留整数,参考数据:sin68°≈0.9,
30°,测得建筑物CD 的底部D 点的俯角∠EAD 为
cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,3≈1.7) 45°.求:
(1)两建筑物底部之间水平距离BD 的长度;
(2)建筑物CD 的高度(结果保留根号).
7 4
