数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性（共19张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性（共19张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-03 20:00:30 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
5.3.1 函数的单调性
教学目标：
1、理解可导函数的单调性与其导数的关系
2、能够利用导数确定函数的单调性及函数的单调区间
3、能够利用函数的单调性解决有关问题
教学重难点：
1.理解函数的单调性与导数的正负之间的关系
2.运用导数判断函数的单调性
通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.
学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.
利用导数研究函数的单调性.
直接引入
问题1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象. a= ,b是函数h(t)的零点.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
探究新知
观察图象可以发现：
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)>0.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)<0.
探究新知
思考：我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
对于高台跳水问题，可以发现：
当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；
当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.
这种情况是否具有一般性呢？
探究新知
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？
探究新知
x
y
O
y＝x
(1)
x
y
O
y＝x2
(2)
x
y
O
y＝x3
(3)
x
y
O
(4)
探究新知
x
y
O
f (x)＝x
(1)
x
y
O
f ′(x)＝1
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
探究新知
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
x
y
O
f (x) ＝x2
(2)
x
y
O
f ′(x)＝2x
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
问题3 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
探究新知
导数f ′(x0)
在区间上， f ′(x)>0
函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率
在x=x0处f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
切线“左下右上”上升
在区间上，f (x) 单调递增
f (x0)>0
f (x)在x0附近↗
切线“左下右上”
探究新知
导数f ′(x1)
在区间上， f ′(x)<0
函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率
在x=x1处f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
切线“左上右下”下降
在区间上，f (x) 单调递减
f (x1)<0
f (x)在x1附近↘
切线“左上右下”
问题3 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.
概念形成
思考：如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f (x)有什么特性？
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解:（1）因为 ，其定义域为 .
所以
所以，函数 在 上单调递增，如右图所示.
典例分析
解:（2）因为 ，所以
所以，函数 在 上单调递减，如右图所示.
典例分析
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解:（3）因为 ，所以
所以，函数 在区间 和 上分别单调递增，如右图所示.
典例分析
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解: (1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.
所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上，
所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x2-2x+4; (2)f(x)=ex-x.
巩固练习
解: (2)因为f(x)=ex-x ，其定义域为R.
所以f ′(x)=ex-1.
令f ′(x)= 0，得x=0
所以当x∈(-∞,0)时， f ′(x)<0
当x∈(0,+∞)时， f ′(x)>0 .
所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
巩固练习
判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x2-2x+4; (2)f(x)=ex-x.
小结
2.利用导函数的正负画函数图像的大致形状；
利用函数图象判断导函数的正负，进而画出导函数图象的大致形状.
1.函数 的单调性与导函数 的正负之间具有如下的关系：
在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递增；
在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递减.
3.利用导函数的正负判断函数 的单调性的一般步骤.
课堂小结
课后作业：课本87页，1，2，3
5.3.1 函数的单调性
教学目标：
1、理解可导函数的单调性与其导数的关系
2、能够利用导数确定函数的单调性及函数的单调区间
3、能够利用函数的单调性解决有关问题
教学重难点：
1.理解函数的单调性与导数的正负之间的关系
2.运用导数判断函数的单调性
通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.
学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.
利用导数研究函数的单调性.
直接引入
问题1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象. a= ,b是函数h(t)的零点.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
探究新知
观察图象可以发现：
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)>0.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)<0.
探究新知
思考：我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
对于高台跳水问题，可以发现：
当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；
当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.
这种情况是否具有一般性呢？
探究新知
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？
探究新知
x
y
O
y＝x
(1)
x
y
O
y＝x2
(2)
x
y
O
y＝x3
(3)
x
y
O
(4)
探究新知
x
y
O
f (x)＝x
(1)
x
y
O
f ′(x)＝1
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
探究新知
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
x
y
O
f (x) ＝x2
(2)
x
y
O
f ′(x)＝2x
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
问题3 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
探究新知
导数f ′(x0)
在区间上， f ′(x)>0
函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率
在x=x0处f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
切线“左下右上”上升
在区间上，f (x) 单调递增
f (x0)>0
f (x)在x0附近↗
切线“左下右上”
探究新知
导数f ′(x1)
在区间上， f ′(x)<0
函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率
在x=x1处f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
切线“左上右下”下降
在区间上，f (x) 单调递减
f (x1)<0
f (x)在x1附近↘
切线“左上右下”
问题3 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.
概念形成
思考：如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f (x)有什么特性？
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解:（1）因为 ，其定义域为 .
所以
所以，函数 在 上单调递增，如右图所示.
典例分析
解:（2）因为 ，所以
所以，函数 在 上单调递减，如右图所示.
典例分析
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解:（3）因为 ，所以
所以，函数 在区间 和 上分别单调递增，如右图所示.
典例分析
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解: (1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.
所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上，
所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x2-2x+4; (2)f(x)=ex-x.
巩固练习
解: (2)因为f(x)=ex-x ，其定义域为R.
所以f ′(x)=ex-1.
令f ′(x)= 0，得x=0
所以当x∈(-∞,0)时， f ′(x)<0
当x∈(0,+∞)时， f ′(x)>0 .
所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
巩固练习
判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x2-2x+4; (2)f(x)=ex-x.
小结
2.利用导函数的正负画函数图像的大致形状；
利用函数图象判断导函数的正负，进而画出导函数图象的大致形状.
1.函数 的单调性与导函数 的正负之间具有如下的关系：
在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递增；
在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递减.
3.利用导函数的正负判断函数 的单调性的一般步骤.
课堂小结
课后作业：课本87页，1，2，3