数学 九年级上册
第3课时 弧、弦、圆心角
︵ ︵
CD,AB CD.
在应用弧、弦、圆心角之间的关系解决问题时,
一定要注意“在同圆或等圆中”这一前提条件,否则 1.在图中,下列各角是圆心角的是 ( )
不一定成立.运用此关系定理可以证明同圆或等圆 A.∠ABC B.∠AOB
中弧相等、角相等及线段相等. C.∠OAB D.∠OBC
活动一:试一试
1.自学课本P83页,思考:圆是中心对称图形
吗 它的对称中心是什么
(第1题) (第2题)
2.如图,在☉O 中,已知弦 AB=DE,OC⊥
AB,OF⊥DE,垂足分别为C,F,则下列说法中正
确的个数为 ( )
①∠DOE=∠AOB;
2.弧、弦、圆心角之间的关系是什么 它的前 ︵ ︵
②AB=DE;
提条件是什么
③OF=OC;
④AC=EF.
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图,AB 是☉O 的直径,BC,AD,CD 是
☉O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD= ( )
A.100° B.110° C.120° D.135°
活动二:做一做
1.在同圆或等圆中,相同的圆心角所对的
相等,所对的 也相等.
2.如图,已 知AB,CD 是☉O 的两条弦,试根
据所学知识填空:
(第3题) (第4题)
4.如图,☉O 的直径为10,弦AB=CD,OE⊥
AB 于E,OF⊥CD 于F.若CD=8,则OF=
,OE= .
5.如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,
∠BAC=30°,点P 在线段OB 上运动.设∠ACP=
(1)如 果 AB=CD,那 么 ∠AOB x,则x 的取值范围是 .
︵ ︵
∠COD,AB CD;
︵ ︵
(2)如 果AB=CD,那 么 AB CD,
∠AOB ∠COD;
(3)如果∠AOB=∠COD,那么 AB
6 5
课时培优作业
6.已知,如图,☉O 的弦AB,CD 相交于P,PO A.52° B.60° C.72° D.76°
平分∠APD.求证:AB=CD. ︵5.已知:AB 是☉O 的直径,C,D 是BE上的三
等分点,∠AOE=60°,则∠COE= .
︵
6.如图所示,∠AOB=90°,C,D 是AB的三等
分点,AB 分别交OC,OD 于点E,F.
求证:AE=BF=CD.
︵ ︵
1.已知:如图,在☉O 中,AB=CD,则下列结
论:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;
︵ ︵
④AC=BD.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第1题) (第2题)
2.如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧
恰好经过圆心O,则折痕AB 的长为 ( ) 1.(安徽中考题)如图,已知等边△ABC 的边
A.2 B.3 C.23 D.25 长为6,以AB 为直径的☉O 与边AC,BC 分别交于
3.如图,MN 是☉O 的直径,MN=2,点A 在 ︵
︵ D,E 两点,则劣弧DE的长为 .
☉O 上,∠AMN=30°,B 为AN 的中点,P 是直径
MN 上一动点,则PA+PB 的最小值为 ( )
A.22 B.2 C.1 D.2
2.(湖南中考题)如图,已知☉O 的半径OA=
6,∠AOB=90°,则∠AOB=90°所对的弧AB 的长为
( )
(第3题) (第4题)
4.如图,小华从一个圆形场地的A 点出发,沿
与半径OA 夹角为α 的方向行走,走到场地边缘B
后,再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走,照此下
︵
去,小华 第5次 走 到 场 地 边 缘 时 处 于AB 上,若 A.2π B.3π
∠AOE=56°,则α的度数是 ( ) C.6π D.12π
6 6图③中,∵BC∥AE, 7.AB=12cm
∴∠ACB+∠CAE=180°, 【课后作业】
∵∠ACB=90,∴∠CAE=90°, 1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.22cm或8cm
∴∠CAD=∠CAE+∠EAD=90°+45°=135°. 7.解:如图,设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O,连接
∴∠BAD=∠CAD-∠BAC=135°-30°=105°. OA,OB,作OD⊥AB 于点D,交☉O 于点C,交 MN 于点
第二十四章 圆 H.由垂径定理可知,D 为AB 的中点.设OA=r米,则OD
( 1
§24.1 圆的有关性质 =OC-DC= r-2.4
)米,AD= AB=3.6米2 .
在
Rt△AOD 中,OA2=AD2+OD2,即r2=3.62+(r-
第1课时 圆 2.4)2,解得r=3.9.在Rt△OHN 中,OH= ON2-NH2
【课堂作业】 = 3.92-1.52=3.6(米),所以FN=DH=OH-OD=
1.C 2.D 3.A 4.0
2米,所以此货船
6.证明:∵OA,OB 为☉O 的半径,∴OA=OB.∵C, 能顺利通过这座拱桥.
D 分 别 为 OA,OB 的 中 点,∴OC=OD.在 △AOD 和
△BOC 中,∵OA=OB,∠O=∠O,OD=OC,∴△AOD
≌△BOC(SAS),∴AD=BC.
【课后作业】 【新题看台】
1.C 2.D 3.10° 1.C 2.D
4.证明:∵OA=OB,∴∠A=∠B.
∵在△OAC 和△OBD 中, 第3课时 弧、弦、圆心角
{OA=OB
,
【课堂作业】
∠A=∠B,
AC=BD, 1.B 2.D 3.C 4.3 3 5.30°≤x≤90°
∴△OAC≌△OBD(SAS). 6.证明:过O 作OM⊥AB 于M,ON⊥CD 于N.
【新题看台】
1.B 提示:连接OA,OD,OM.
∵四边形ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形.
∴OA=BC,OD=EF,OM=HN,
∴BC=EF=HN. ∵PO 平分∠APD,OM⊥AB,ON⊥CD,
即a=b=c. ∴OM=ON,
故答案是:a=b=c. ∴AB=CD.
2.12 提示:如图,以圆心为坐标原点,要想经过点
, 【课后作业】多 半径必须为整数,在x 轴和y 轴上必然有四个点,而在
别的点作x 轴的垂线并与圆心连接构成的一定是一个直 1.D
角三角形,而根据勾股定理,符合这一条件的只有3,4,5 2.C 提示:连接OA,作OD⊥AB,垂足为 D.∵OD
这三个数,所以半径是5,其他各点是(3,4),(4,3),(-3, =1,AO=2,∴AD= 3,AB=23.
4),(-4,3),(3,-4),(4,-3),(-3,-4),(-4,-3),所 3.B 提示:作点B 关于MN 的对称点B',连接AB'
以共有12个点. 交MN 于点P,则此时 PA+PB 的值最小,最小值等于
AB'的长,可证∠AOB'=90°.∴AB'= 2.
4.A 提 示:连 接 OC,OD,则△AOB≌△BOC≌
△COD≌△DOE.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE
=(360°-56°)÷4=76°,α=(180°-76°)÷2=52°.
5.80°
︵
6.证明:连接AC,BD.∵C,D 是AB的三等分点,∴AC
3.2π
=CD=BD,
1
且∠AOC= ,
第2课时 垂直于弦的直径 3
×90°=30°.∵OA=OC ∴
∠OAC=∠OCA=75°.∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAE
【课堂作业】 =∠OBF=45°,∴∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=
1.D 2.C 3.D 4. 13 5.1cm 42cm 6.5 75°,∴AE=AC.同理可证BF=BD,∴AE=BF=CD.
·16·
【新题看台】 【新题看台】
1.π 2.B 1.C 2.(1)B 在圆内,D 在圆上,C 在圆外. (2)3
cm第4课时 圆周角 斜边的中线等于斜边的一半.作图略
【课堂作业】 第2课时 直线和圆的位置关系(1)
1.②是圆周角 2.(1)35° 同弧或等弧所对的圆周
角相等 (2)70° 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 【课堂作业】
心角的一半 3.C 4.D 5.40 6.110° 50° 7.A 1.2 1 0 相交 相切 相离 2.10厘米 3.B
8.22 9.等边三角形(理由略) 4.C 5.C 6.C 7.4
【课后作业】 8.(1)23cm 理由略 (2)半径为2cm的圆与AB
相离,半径为4cm的圆与AB 相交.
1.D 2.D 3.C 4.C 5.40° 6.35°
7.解:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠BCA=30°,又 【课后作业】
∵BD 为直径,∴∠BAD=90°,∴∠DAC=30°,∵∠BDA 52
1.C 2.B 3.D 4.相切或相交 5. cm AC,
=∠BCA =30°,∴ ∠BDA = ∠DAC,∴BD ∥AC, 2
∴四边形ABDC 是等腰梯形,∴BC=AD=6. 52
BC 2.5cm8.解:(1)证 明:∵ ∠DCE= ∠BCF,∠E= ∠F, 2
∠ADC = ∠E + ∠DCE,∠ABC = ∠F + ∠BCF, 7.解:(1)过点A 作ON 的垂线段,交ON 于点P,如
∴∠ADC=∠ABC. 图①.在Rt△AOP 中,∠APO=90°,∠POA=30°,OA=
(2)由(1)知∠ADC=∠ABC.∵四边形ABCD 内接 1 180米,所以AP= OA=80× =40(米),即对学校A
于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=90°.在 2 2
,
Rt△ADF 中,∠A=90°-∠F=90°-42°=48°. 的噪声影响最大时 卡车P 与学校A 的距离是40米.
(3)如图,连接EF.∵四边形ABCD 为☉O 的内接四
边形,∴∠A+∠BCD=180°.又∵∠ECD+∠BCD=
180°,∴∠ECD=∠A.∵∠ECD=∠1+∠2,∴∠A=∠1
+∠2.∵ ∠A + ∠1+ ∠2+ ∠DEC+ ∠BFC=180°, ① ②
α+
∴2∠A+α+β=180°,∴∠A=90°-
β
2 . (2)以点A 为圆心,50米长为半径画弧,交ON 于点
D,E,连接 AD,AE,如图②.在 Rt△ADP 中,∠APD=
90°,AP=40米,AD=50米,所以 DP= AD2-AP2=
502-402=30(米).同理可得EP=30米,所以DE=60
60
米.又因为18千米/时=5米/秒,5=12
(秒),所以卡车P
【 】 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间新题看台
为12秒.
1.25 2.28° 3.50° 4.70°
【新题看台】
§24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 1.C 2.D
3.如图,当☉P 运动到☉P'时,☉P 与CD 相切.
第1课时 点和圆的位置关系
【课堂作业】
1.> = < 2.内 上 外 3.上 外 上
4.提示:任意找两条弦的垂直平分线,交点即是圆心.
5.O B,D C 6.BC 的中点 8.5cm 7.65cm
作P'E⊥CD 于E.∵☉P'半径为1cm.
【课后作业】
∴P'E=1.又∠AOC=30°,P'E⊥CD,∴P'O=2,∴t
1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.A 提示:∵A 的坐 =4.
标 为 (3,4),点 P 的 坐 标 是 (5,8),∴ AP = 当☉P 的圆心运动到点O 上时,☉P 与CD 相交.
(5-3)2+(8-4)2=25.∵☉A 的半径为5,∴5>25, ∴t=6.综上可知,4∴点P 在☉A 的内部. 7.☉O 上 0cm≤OP<5cm 注意:考虑到☉P 的圆心在射线OA 上,不能把☉P
☉O 外 8.25π 9.(1)∠OAC=35° (2)∠AOP=50° 在射线OA 上运动当做在直线AB 上运动.容易得到错误
·17·
