数学 九年级上册
小结与思考
知识结构
ì 电扇风叶旋转现象
{钟表时针
ì 平面图形绕着平面内某点移动一个角度
定义和性质 í对应点到旋转中心的距离相等
:旋转前、后的图形全等;对应点与旋转中心的夹角等于
旋转角
{中心对称图形 中心对称 关于原点对称的点坐标
旋转 í
ì定中心、定角度
找关键点
旋转作图
í 连线,量角,截点
按原图顺序连接成图
ì
找基本图形
图案设计 í找方向:定角度
分析图案形成的过程
题组训练 5.如图,在平面直角坐标系中, OABC 的顶
(一)中心对称与中心对称图形 点A 在x 轴上,顶点B 的坐标为(6,4).若直线l经
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对 过点(1,0),且将 OABC 分割成面积相等的两部
称图形的是 ( ) 分,则直线l的函数解析式是 ( )
A.y=x+1
1
B.y=3x+1
C.y=3x-3
2.在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆 D.y=x-1
这几个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形
的有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
3.如图,四边形ABCD 是中心对称图形,对称 (第5题) (第7题)
中心为点O,过点O 的直线与AD,BC 分别交于E, 6.若点A(2m-1,2n+3)与B(2-m,2-n)关
F,则图中相等的线段有 ( ) 于原点O 对称,则m= ,且n= .
7.如图,正方形ABCD 中,AB=4,E 是BC 的
中点,点P 是对角线AC 上一动点,则PE+PB 的
最小值为 .
(二)旋转的性质及应用
1.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=
A.3对 B.4对 30°,BC=2,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n
C.5对 D.6对 度后,得到△EDC,此时,点 D 在AB 边上,斜边
4.下列说法正确的是 ( ) DE 交AC 边于点F,则n 的大小和图中阴影部分
A.中心对称图形是旋转对称图形 的面积分别为 ( )
B.旋转对称图形是中心对称图形 A.30,2 B.60,2
C.轴对称图形是旋转对称图形
,3 ,
D.轴对称图形是中心对称图形 C.60 2 D.60 3
5 9
课时培优作业
拓展训练
1.如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=
BC= 2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°,得到
△MNC,连接BM,则BM 的长是 .
(第1题) (第2题)
2.如图,在等边△ABC 中,D 是边AC 上的一
点,连接BD,将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到
△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED
的周长是 . 2.一副直角三角板叠放如图所示,现将含45°
3.(泰安中考题)如图,在平面直角坐标系中, 角的三角板 ADE 固定不动,把含30°角的三角板
将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB C 的位置, ABC 绕顶点A 顺时针旋转∠α(α=∠BAD 且0°<1 1
点B,O 分别落在点B1,C1 处,点B1 在x 轴上,再 α<180°),使两块三角板至少有一组边平行.
将△AB C 绕点B 顺时针旋转到△A B C 的位 (1)如图①,α= °时,BC∥DE;1 1 1 1 1 2
置,点C 在x 轴上,将△A B C 绕点C 顺时针 (2)请你分别在图②、图③的指定框内,各画一2 1 1 2 2
旋转到△A B C 的位置,点A 种符合要求的图形,标出α,并完成各项填空:2 2 2 2 在x 轴上,依次进
图②中α= °时, ∥ ;
行下去…… 5.若点A( ,0),B(0,4),则点3 B2014
的横 图③中α= °时, ∥ .
坐标为 .
4.已 知:如 图,P 是 正 方 形 ABCD 内 一 点,
∠APB=135°,BP=1,AP= 7.求PC 的长.
图① 图② 图③
5.如图,正方形ABCD 的边长为3,E,F 分别
是AB,BC 边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE 绕
点D 逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=MF;
(2)当AE=1时,求EF 的长.
6 0只有冲破层层阻碍去探索才能登上金字塔的塔顶.(俯视图§23.3 课题学习 图案设计 是金字塔)
【课堂作业】 【新题看台】
1.C 2.B 3.② 1.A
4.解:如图(答案不唯一). 2.(1)如图所示:
1 1
5.所给左上角的三角形的面积为2 ×1×1=
,故
2
1
设计图案总共需要三角形4÷ =8(个),以O 为对称中2
心的中心对称图形,同时又是轴对称图形的设计方案很
多,如下几种:
() 1 12 面积:(5×2-2×1×2×2-2×1×3×2
)×4
=20,故答案为:20.
小结与思考
题组训练
(一)中心对称与中心对称图形
1.A 2.B 3.C 4.A 5.D 6.-1 -5 7.25
(二)旋转的性质及应用
1.C 2.19 3.10070
4.解:将△ABP 绕B 点顺时针旋转90°,这时A 点与
【课后作业】 C 点重合,P 点的对应点是P',连接 PP',则△ABP≌
1.B 2.A △CBP',△PBP'为等腰直角三角形,∠PP'C=90°,PC=
3. PP'2+P'C2= (2)2+(7)2=3.
5.解:(1)证明:∵△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到
△DCM,∴DE=DM,∠ADE=∠CDM,∴∠EDM =
90°,即∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°,∴∠FDM
4.在下图(1)中选择其一,再在(2)中选择其一. =∠EDF=45°.又 ∵DF=DF,∴ △DEF≌ △DMF,
∴EF=MF.
(2)设EF=x.∵AE=CM=1,∴BF=BM-MF=
BM-EF=4-x.在Rt△EBF 中,由勾股定理,得EB2+
(1) 5BF2=EF2,即22+(4-x)2=x2,解得x= .即EF 的2
5
长为
2.
拓展训练
(2)
5.设计图案如图(1)、(2)所示: 1.3+1
2.(1)α=15°
∵∠DAE=45°,∠BAC=30°,
∴∠BAD=∠DAE-∠BAC=45°-30°=15°.
(2)当α=60°时,有BC∥AD;当α=105°时,有BC∥
AE.理由如下:
( 1) (2) 图②中,∵BC∥AD,
图(1)含义:人类只有一个地球,大家要呵护爱护地球 ∴∠ACB+∠CAD=180°,
就像爱护自己的眼睛. ∵∠ACB=90°,∴∠CAD=90°,
图(2)含义:想攀登科学高峰,必须要遇到大风大浪, ∴∠BAD=∠CAD-∠BAC=90°-30°=60°.
·15·
图③中,∵BC∥AE, 7.AB=12cm
∴∠ACB+∠CAE=180°, 【课后作业】
∵∠ACB=90,∴∠CAE=90°, 1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.22cm或8cm
∴∠CAD=∠CAE+∠EAD=90°+45°=135°. 7.解:如图,设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O,连接
∴∠BAD=∠CAD-∠BAC=135°-30°=105°. OA,OB,作OD⊥AB 于点D,交☉O 于点C,交 MN 于点
第二十四章 圆 H.由垂径定理可知,D 为AB 的中点.设OA=r米,则OD
( 1
§24.1 圆的有关性质 =OC-DC= r-2.4
)米,AD= AB=3.6米2 .
在
Rt△AOD 中,OA2=AD2+OD2,即r2=3.62+(r-
第1课时 圆 2.4)2,解得r=3.9.在Rt△OHN 中,OH= ON2-NH2
【课堂作业】 = 3.92-1.52=3.6(米),所以FN=DH=OH-OD=
1.C 2.D 3.A 4.0
2米,所以此货船
6.证明:∵OA,OB 为☉O 的半径,∴OA=OB.∵C, 能顺利通过这座拱桥.
D 分 别 为 OA,OB 的 中 点,∴OC=OD.在 △AOD 和
△BOC 中,∵OA=OB,∠O=∠O,OD=OC,∴△AOD
≌△BOC(SAS),∴AD=BC.
【课后作业】 【新题看台】
1.C 2.D 3.10° 1.C 2.D
4.证明:∵OA=OB,∴∠A=∠B.
∵在△OAC 和△OBD 中, 第3课时 弧、弦、圆心角
{OA=OB
,
【课堂作业】
∠A=∠B,
AC=BD, 1.B 2.D 3.C 4.3 3 5.30°≤x≤90°
∴△OAC≌△OBD(SAS). 6.证明:过O 作OM⊥AB 于M,ON⊥CD 于N.
【新题看台】
1.B 提示:连接OA,OD,OM.
∵四边形ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形.
∴OA=BC,OD=EF,OM=HN,
∴BC=EF=HN. ∵PO 平分∠APD,OM⊥AB,ON⊥CD,
即a=b=c. ∴OM=ON,
故答案是:a=b=c. ∴AB=CD.
2.12 提示:如图,以圆心为坐标原点,要想经过点
, 【课后作业】多 半径必须为整数,在x 轴和y 轴上必然有四个点,而在
别的点作x 轴的垂线并与圆心连接构成的一定是一个直 1.D
角三角形,而根据勾股定理,符合这一条件的只有3,4,5 2.C 提示:连接OA,作OD⊥AB,垂足为 D.∵OD
这三个数,所以半径是5,其他各点是(3,4),(4,3),(-3, =1,AO=2,∴AD= 3,AB=23.
4),(-4,3),(3,-4),(4,-3),(-3,-4),(-4,-3),所 3.B 提示:作点B 关于MN 的对称点B',连接AB'
以共有12个点. 交MN 于点P,则此时 PA+PB 的值最小,最小值等于
AB'的长,可证∠AOB'=90°.∴AB'= 2.
4.A 提 示:连 接 OC,OD,则△AOB≌△BOC≌
△COD≌△DOE.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE
=(360°-56°)÷4=76°,α=(180°-76°)÷2=52°.
5.80°
︵
6.证明:连接AC,BD.∵C,D 是AB的三等分点,∴AC
3.2π
=CD=BD,
1
且∠AOC= ,
第2课时 垂直于弦的直径 3
×90°=30°.∵OA=OC ∴
∠OAC=∠OCA=75°.∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAE
【课堂作业】 =∠OBF=45°,∴∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=
1.D 2.C 3.D 4. 13 5.1cm 42cm 6.5 75°,∴AE=AC.同理可证BF=BD,∴AE=BF=CD.
·16·
