数学 九年级上册
第5课时 因式分解法
因式分解法是最简单的解一元二次方程的方 1.方程x2=x 的解是 ( )
法,它的一般步骤是:(1)移项,使方程的右边为0; A.x=1 B.x=0
(2)利用提取公因式法,平方差公式,完全平方公式 C.x1=1,x2=0 D.x1=-1,x2=0
等对左边进行因式分解;(3)令每个因式分别为零, 2.方程(x-2)(x+3)=0的解是 ( )
得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方 A.x=2 B.x=-3
程,它们的解就是原方程的解. C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
3.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以
运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从
活动一:试一试 而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,从而
1.打开课本P12,思考:问题2你会用几种方法 得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的
解决
数学思想是 ( )
A.转化思想 B.函数思想
C.数形结合思想 D.公理化思想
4.解方程(x+5)2-3(x+5)=0,较为简便的
方法是 ( )
A.直接开平方法 因式分解法
2.对于方程的左边10x-4.9x2 ,
B.
来说 你会把
C.配方法 公式法
它变成积的形式吗 D.试试看.
5.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是
.
6.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+1)2=2(x+1)
3.几个因式的积为0,这几个因式需要满足怎
样的条件
(2)4x(x-1)+1=0
活动二:做一做
因式分解:(1)x2-5x (3)(x-1)
2=(5-2x)2
(2)2x(x-3)-5(x-3) (4)x2-6x+9=(5-2x)2
1 1
课时培优作业
(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7
1.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元
二次方程x2-6x+8=0的两根,则该三角形的周
长为 ( )
A.8 B.10
C.8或10 D.12 2 2
已知 2 2 , x -2xy+y求
2.方程( )( ) ( )
9. x -7xy+12y =0
x-5 x-6 =x-5的解是 2xy
A.x=5 的值.
B.x=5或x=6
C.x=7
D.x=5或x=7
3.已知关于x 的方程x2+px+q=0的两根分
别为x1=3,x2=-4,则二次三项式x2+px+q 可
分解为 ( )
A.(x+3)(x+4)
B.(x-3)(x+4)
C.(x+3)(x-4) 1.已知一元二次方程的两根分别是2和-3,
D.(x-3)(x-4) 则这个一元二次方程是 ( )
4.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是 A.x2-6x+8=0
. B.x2+2x-3=0
5.若(2x+3y)2+2(2x+3y)-3=0,则2x+ C.x2-x-6=0
3y 的值为 . D.x2+x-6=0
6.若实数x,y 满足(x2+y2+2)(x2+y2-2) 2.(永州中考题)方程x2-2x=0的解是
=0,则x2+y2 的值为 . .
7.小华在解一元二次方程x2=4x 时,只得出一 3.(自贡中考题)解方程:3x(x-2)=2(2-x)
个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x= .
8.用适当的方法解下列方程.
(1)3x(x-1)=2x-2
4.(北京中考题)关于x 的一元二次方程x2-
(k+3)x+2k+2=0.
(2)x2-2x-2=0 (1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.
(3)2x2-3x+1=0
1 2(
第3课时 公式法(1) 5.1
)证明:Δ=[-(3k-1)]2-4k·2(k-1)=k2+
2k+1=(k+1)2≥0,所以无论k为何实数,方程总有实数
【课堂作业】 根. (2)方程有两个相等的实数根,即(k+1)2=0,k=
1 -1,代入原方程得-x
2+4x-4=0,即x2-4x+4=0,解
1.B 2.B 3.B 4.a>-8 得x1=x2=2.
5.(1)有两个不相等的实数根 (2)无实数根 (3)有 【课后作业】
两个不相等的实数根 (4)有两个相等的实数根 (5)有 1.C 2.C 3.0
两个不相等的实数根
4.(1)x1=-2+ 5,x: ( )2 ( ) 2
=-2- 5 (2)此方程无实
6.证明 ∵Δ= m+3 -4m+1
=(
数根 ( )
m+1)2+4 3 x1=-2+ 6
,x2=-2- 6 (4)x1=
∵无论m 取何值,(m+1)2+4恒大于0 9+ 73, 9- 73x2=
∴原方程总有两个不相等的实数根. 2 2
5.(1)该方程无实数根【 】
(2)x1=1,x2=-3
课后作业
6.解:(1)证明:∵Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1
1
1.D 2.A 3.C 4.B 5.c>9 6.k≥- 且k >0,∴该方程有两个不相等的实数根.8
(2)∵△ABC 的两边AB,AC 的长是这个方程的两个
≠0
实数根,由()知,
() : ( )2 , 2 ( 1 AB≠AC
,△ABC 的第三边BC 的长为
7.1 解 由 x-m +6x=4m-3 得x + 6-
5,且△ABC 是等腰三角形,∴必然有AB=5或AC=5,
2m)x+m2-4m+3=0. Δ=b2-4ac=(6-2m)2-4×
即x=5是原方程的一个解.将x=5代入方程x2-(2k+
1×(m2-4m+3)=-8m+24.∵方程有实数根,∴-8m
1)x+k2+k=0,得25-5(2k+1)+k2+k=0,解得k=4
+24≥0.解得m≤3.∴m 的取值范围是m≤3.
或k=5.当k=4时,原方程为x2: -9x+20=0
,x =5,x
8.解 ∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数 1 2
=4,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;当k=5时,原方
, 2 , ab
2
根 ∴Δ=b -4ac=0 即b2-4a=0. 2(a-2)2+b2-4= 程为x -11x+30=0,x1=5,x2=6,以5,5,6为边长能
ab2 ab2 ab2 ab2 构成等腰三角形.∴k的值为4或5.,
a2-4a+4+b2-4=a2-4a+b2=a2 .∵a≠0 ∴a2 = 【新题看台】
b2
=4. 1.∵a=1,b=-3,c=-1,a ∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13
9.解:由已知条件Δ=4(b-c)2-4(c-a)(a-b)=
3+ 13, 3- 131 ∴x = x = .
0,即 [(a-b)
1 2
2
2 +
(b-c)2+(c-a)2]=0,∴b-a=0 2 2
2.∵a=2,b=-4,c=-1,
且c-a=0,b-c=0,解得a=b=c;∵a,b,c是△ABC 的
2
三条边长,∴△ABC 是等边三角形. -b± b -4ac 4± 24 6∴x= ,2a = 4 =1±2
【新题看台】
6 6
1.D 2.0 ∴x1=1+ ,2 x2=1-2.
1
3.∵关于x 的方程(k-1)x2-(k-1)x+ =0有 3.解:(1)Δ=b
2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.
4 ∵方程有两个不等的实数根,
两个相等的实数根,∴Δ=0,∴[-(k-1)]2-4(k-1)× 5
1 ∴20-8k>0,∴k< .
=0,整理得,k24 -3k+2=0
,即(k-1)(k-2)=0,解 2
(2)∵k为整数,
得:k=1(不符合一元二次方程定义,舍去)或k=2.∴k 5
=2. ∴0为1或2,
第4课时 公式法(2) ∴x1,2=-1± 5-2k.
∵方程的根为整数,∴5-2k为完全平方数.
【课堂作业】 当k=1时,5-2k=3;
1.D 2.B 3.D 当k=2时,5-2k=1.
4.(1)x2-4x-1=0,a=1,b=-4,c=-1,∵b2- ∴k=2.
-(-4)± 20
4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x= 第5课时 因式分解法2×1
=2± 5,∴x1=2+ 5,x2=2- 5 (2)x1=-2- 6, 【课堂作业】
x2=-2+ 6 1.C 2.D 3.A 4.B 5.x1=-2,x2=3
·2·
6.(1)
1
x1=-1,x2=1 (2)x1=x2= (3)
1
2 x1= ∴y=x1+x2=-2m +2
,且m≤2.
8 1
2,x2=4 (4)x1=2,x2= 因而y 随m 的增大而减小,故当m= 时,取得最小3 2
【课后作业】 值1.
解:(
1.B 2.D 3.B 4.x =-2,x =3 5.-3或1 7. 1
)方程变形为(x+3)(x+2)=0,∴x1=-3,
1 2
x2=-2.6.2 7.0 (2)方程变形为(x-5)(x-2)=0,∴x1=5,x2=2.
2
8.(1)x1=1,x2=3
(2)x1= 3+1,x2=- 3+1 (3)方程变形为(x+4)(x-1)=0,∴x1=-4,x2
=1.
(3)
1
x1=1,x2= (2 4
)x1=2,x2=4 【新题看台】
9.由x2-7xy+12y2=0得x1=3y,x2=4y.当x1= 1.C 2.23
2
, x -2xy+y
2 4y2 2 3.解:(1)∵x ,x 是关于; x
的一元二次方程x2-2(m
3y 时 代入 当2xy =6 2=3 x =4
时,代入 1 2
y 1 y x1+x2=2(m+1)2
x2-2xy+y2 9y2 9 +1
)x+m +5=0的两个实数根,∴{ ,2
2xy =8 2=8.
x1x2=m +5
y 又∵(x1-1)(x2-1)=28,
【新题看台】 (x 21-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m +5-
1.D 2.x=0或x=2 3.(3x+2)(x-2)=0, 2(m+1)+1=m2-2m+4=28,
2 即m2-2m-24=0,∴m=-4或6.
x1=- ,3 x2=2 又∵Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)
4.(1)证明:依题意,得Δ=[-(k+3)]2-4(2k+2) =4(m+1)2-4(m2+5)=4m2+8m+4-4m2-20
=(k-1)2. =8m-16≥0,∴m≥2,∴m=6.
∵(k-1)2≥0, (2)∵m=6,
∴方程总有两个实数根. ∴x1+x2=2(m+1)=2×(6+1)=14,
-[-(k+3)]±(k-1) ∴三角形的周长为7+14=21.(2)由求根公式,得x= ,2 实际问题与一元二次方程
∴x1=2,x2=k+1.
§21.3
∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,∴k<0, 第1课时 实际问题与一元二次方程式(1)
即k的取值范围是k<0.
第6课时 一元二次方程的根 【课堂作业】
与系数的关系 1.B 2.A 3.B
4.(1)解:设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x
【课堂作业】 个有益菌,根据题意得60(1+x)2=24000 解得x1=19,
6 x2=-21(舍去).
1.D 2.C 3.C 4.-5 ∴ 每轮分裂中平 均 每 个 有 益 菌 可 分 裂 出19个 有
5.解:(1)Δ=4-4m,因为方程有两个实数根,所以4 益菌.
-4m≥0,即m≤1; (2)经过三轮培植后,得60(1+19)3=60×203=
(2)由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2, 480000(个)
答:经过三轮培植后共有480000个有益菌.
又x1+3x2=3,所以,
1 1
x2= ,再把x2= 代入方程,求2 2 【课后作业】
3
得m= . 1.D 2.104 3.解:由已知得,正五边形周长为5(x2+17)cm,正六
() 136.1m≤ (2)m=-3 边形周长为6(x2+2x)cm.4
因为 正 五 边 形 和 正 六 边 形 的 周 长 相 等,所 以
【课后作业】 5(x2+17)=6(x2+2x).整理得x2+12x-85=0,配方得
1.D 2.D 3.C 4.3 5.1 (x+6)2=121,解得x1=5,x2=-17(舍去).故正五边形
6.解:(1)将原方程整理为x2+2(m-1)x+m2=0. 的周长为5×(52+17)=210(cm).又因为两段铁丝等长,
∵原方程有两个实数根,∴Δ=[2(m-1)]2-4m2= 所以这两段铁丝的总长为420cm.
, 1 答:这两段铁丝的总长为-8m+4≥0 得m≤ . 420cm.2 a
(2)∵x ,x 为x2+2(m-1)x + m2=0的两根, 4.解
:(1)由题意得 (10080-a
)+20=35,
1 2
·3·
