数学 九年级上册
第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质
3.二次函数y=(m-3)x2 的图象开口向下,
则m .
2
抛物线y=ax2 的对称轴是y 轴,顶点是原点, 4.二次函数y=mxm -2有最高点,则m= .
当a>0时,抛物线的开口向上,a 越大,抛物线的开 5.点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数y=ax2
口越小;当a<0时,抛物线的开口向下,|a|越大, (a>0)的图象上两点,则y1 与y2 的大小关系为y1
抛物线的开口越小. y2.
6.已知抛物线y=ax2 过点(-2,-8),求:
(1)抛物线的解析式;
活动一:忆一忆 (2)写出该抛物线的对称轴、顶点坐标及开口
一次函数图象的画法及性质是什么 方向;
(3)判断点P(-1,-4)是否在此抛物线上;
(4)抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
活动二:试一试
打开课本P29,思考:如何画y=ax2 的图象
它的图象叫什么,有何特点
活动三:做一做
请你画出y=x2 的图象,并总结图象的性质. 1.函数y=ax-2(a≠0)与y=ax2(a≠0)在
同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B
1.对于y=ax2(a≠0)的图象,下列叙述正确
的是 ( )
A.a 越大开口越大,a 越小开口越小
B.a 越大开口越小,a 越小开口越小
C.|a|越大开口越小,|a|越小开口越大 C D
D.|a|越大开口越大,|a|越小开口越小 2.已知二次函数y=-ax2,下列说法不正确
2.同一坐标系中,抛物线y=3x2,y=-3x2, 的是 ( )
1 A.当a>0时,x≠0时,y 总取负值
y=- x2 的共同点是 ( )3 B.当a<0时,函数图象有最低点
A.都关于x 轴对称,抛物线开口向上 C.当点(-5,10)在函数的图象上时,则点(5,
B.都关于y 轴对称,抛物线开口向下 -10)也一定在函数的图象上
C.都关于原点对称,顶点都是原点 D.当点(-2,9)在函数的图象上时,则点(2,9)
D.都关于y 轴对称,顶点都是原点 也一定在函数的图象上
2 5
课时培优作业
3.如图,各抛物线所对应的函数解析式分别
为:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.比
较a,b,c,d 的大小,用“>”连接为 . 1.(毕节中考题)抛物线y=2x2,y=-2x2,
1
y= x2 的共同性质是 ( )2
A.开口向上
B.对称轴是y 轴
C.都有最高点
D.y 随x 的增大而增大(第3题) (第4题)
2.(武汉中考题)如图,已知直线AB:y=kx+
4.如图,平行于x 轴的直线AC 分别交函数y1
x2
1
与抛物线 2 交于 , 两点
=x2(x≥0)与y2= (x≥0)的图象于B, ,
2k+4 y=2x A B .C 两点3 (1)直线AB 总经过一个定点C,请直接写出点
过点C 作y 轴的平行线交y1 的图象于点D,直线
C 坐标;DE
DE∥AC,交y2 的图象于点E,则AB= . ( 12)当k=- 时,在直线AB 下方的抛物线上
5.函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=-x 2
-2交于点A(2,m)
求点P,使△ABP 的面积等于. 5.
(1)求a 和m 的值;
(2)作抛物线y=ax2 和直线y=-x-2的
图象;
(3)求抛物线y=ax2 与直线y=-x-2的另
一个交 点 B 的 坐 标.又 O 为 抛 物 线 的 顶 点,求
△AOB 的面积.
6.有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时
AB 宽20米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时
水面宽度为10米.
(1)在如图的坐标系中,求抛物线的表达式;
(2)若洪水到来时,再持续多少小时才能到拱
桥顶 (水位以每小时0.2米的速度上升)
2 6【新题看台】 ì 1 y=- x+1 x =-2 x2=12 1
1.y=2x2-3 í 解得{ ,{ 1 ∴P 点坐标为
2.解:
1 y1=2 =
因为函数y=(m+3)xm2+m-4+(m+2)x+3 y= x2 y2 2 2
2
, {m +m-4=2,是二次函数 则有 即, m=-3,m=2,且m 1m+3≠0 (-2,2)或(1, )2 .
≠-3,所以m=2.
3.解:(1)设销售量y(吨)与每吨的销售价x(万元)之
间的函数表达式为y=kx+b.
{2.4=0.6k+b, k=-1,∴ ∴2=k+b. {b=3,
∴y=-x+3.
(2)w=y·x-y·0.5=(-x+3)·x-(-x+3)× 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k
0.5=-x2+3.5x-1.5.
当x=2时, (
的图象和性质()
w=1.5 万元). 1
【课堂作业】
第2课时 二次函数y=ax2 的图象和性质
1.C 2.A 3.B 4.< 5.y=x2+2
【课堂作业】 【课后作业】
1.C 2.D 3.<3 4.-2 5.< 6.(1)y=-2x2 1.C 2.D
(2)对称轴y 轴、顶点坐标(0,0)、开口向下 (3)不在 3.(1)解:设抛物线的解析式为y=kx2+a,∵点(2a,
(4)(3,-6)和(- 3,-6) 1
2a)在抛物线上,4a2k+a=2a,∴k= ,
【课后作业】 4a
1 2
1.A 2.C 3.a>b>d>c 4.3- 3 ∴抛物线的解析式为y= ;4ax +a
5.解:(1)由直线y=-x-2过点A(2,m),则 m= (2)设抛物线上一点P(x,y),过P 作PH⊥x 轴,PG
-4.由点A(2,-4)在抛物线y=ax2 上,得a=-1. ⊥y 轴,在Rt△GDP 中,由勾股定理得:
(2)略 (3)解方程-x2=-x-2,得x1=2,x2=-1,所 PD2=DG2+PG2=(y-2a)2+x2=y2-4ay+4a2
以点B 的坐标为(-1,-1).设直线y=-x-2交y 轴于 +x2,
点C,则点C 的坐标为(0,-2),S△AOB=S△AOC+S△BOC 1
∵ = x2+a,
1 1 y 4a
=2×2×2+2×2×1=3. ∴x2=4a×(y-a)=4ay-4a2,
6.解:(1)设拱桥顶到警戒线的距离为m. PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2
因为抛物线顶点在(0,0)上,对称轴为y 轴, ∴PD=PH.
所以设此抛物线的表达式为y=ax2(a≠0). 4.解:设正方形ABOC 的对角线OA 的长为2m(m≠
依题意:C(-5,-m),A(-10,-m-3). 0),则点B(-m,m),C(m,m),A(0,2m).
,
{-m=a(-5)
2 1
, a=- 把点 , 的坐标代入函数解析式,
c=2m ①
得
所以 解得 25 A C { 2 ,
-m-3=a(-10)2 { am +c=m ②m=1
将①代入②,得am2
1
+2m=m,解得1 a=-
,
m
所以抛物线表达式为y=-25x
2.
1
(2)
则 ·
因为洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上 ac=-m 2m=-2.
1
升,m=1,所以从警戒线开始再持续 =5(小时)到拱 【新题看台】0.2
1.D
桥顶. 2.(1)1 1 5 5
【新题看台】 (2)解:猜想OP=PH.理由如下:
1.B ∵l是过点(0,-2)且与x 轴平行的直线,
2.(1)C(-2,4) ∴点 H 的纵坐标为-2,
( 1 又 ,垂足为 ,且 ( ,),2)如图,直线y=- x+3与y 轴交于点N(0,3), ∵PH⊥l H P m n ∴PH =|n+2|2 x2
在 轴上取点Q(,),则S ,
( ,
过点Q 作PQ AB 又∵P m n
)是抛物线y= -1上任意一点,y 01 =5 ∥ 4 ∴n=△ABQ
1
交抛物线于点P,则 PQ 的解析式为 x ,由 m
2
y=- 2 +1 4-1.
即:m2=4n+4.
·6·
