【新题看台】 ì 1 y=- x+1 x =-2 x2=12 1
1.y=2x2-3 í 解得{ ,{ 1 ∴P 点坐标为
2.解:
1 y1=2 =
因为函数y=(m+3)xm2+m-4+(m+2)x+3 y= x2 y2 2 2
2
, {m +m-4=2,是二次函数 则有 即, m=-3,m=2,且m 1m+3≠0 (-2,2)或(1, )2 .
≠-3,所以m=2.
3.解:(1)设销售量y(吨)与每吨的销售价x(万元)之
间的函数表达式为y=kx+b.
{2.4=0.6k+b, k=-1,∴ ∴2=k+b. {b=3,
∴y=-x+3.
(2)w=y·x-y·0.5=(-x+3)·x-(-x+3)× 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k
0.5=-x2+3.5x-1.5.
当x=2时, (
的图象和性质()
w=1.5 万元). 1
【课堂作业】
第2课时 二次函数y=ax2 的图象和性质
1.C 2.A 3.B 4.< 5.y=x2+2
【课堂作业】 【课后作业】
1.C 2.D 3.<3 4.-2 5.< 6.(1)y=-2x2 1.C 2.D
(2)对称轴y 轴、顶点坐标(0,0)、开口向下 (3)不在 3.(1)解:设抛物线的解析式为y=kx2+a,∵点(2a,
(4)(3,-6)和(- 3,-6) 1
2a)在抛物线上,4a2k+a=2a,∴k= ,
【课后作业】 4a
1 2
1.A 2.C 3.a>b>d>c 4.3- 3 ∴抛物线的解析式为y= ;4ax +a
5.解:(1)由直线y=-x-2过点A(2,m),则 m= (2)设抛物线上一点P(x,y),过P 作PH⊥x 轴,PG
-4.由点A(2,-4)在抛物线y=ax2 上,得a=-1. ⊥y 轴,在Rt△GDP 中,由勾股定理得:
(2)略 (3)解方程-x2=-x-2,得x1=2,x2=-1,所 PD2=DG2+PG2=(y-2a)2+x2=y2-4ay+4a2
以点B 的坐标为(-1,-1).设直线y=-x-2交y 轴于 +x2,
点C,则点C 的坐标为(0,-2),S△AOB=S△AOC+S△BOC 1
∵ = x2+a,
1 1 y 4a
=2×2×2+2×2×1=3. ∴x2=4a×(y-a)=4ay-4a2,
6.解:(1)设拱桥顶到警戒线的距离为m. PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2
因为抛物线顶点在(0,0)上,对称轴为y 轴, ∴PD=PH.
所以设此抛物线的表达式为y=ax2(a≠0). 4.解:设正方形ABOC 的对角线OA 的长为2m(m≠
依题意:C(-5,-m),A(-10,-m-3). 0),则点B(-m,m),C(m,m),A(0,2m).
,
{-m=a(-5)
2 1
, a=- 把点 , 的坐标代入函数解析式,
c=2m ①
得
所以 解得 25 A C { 2 ,
-m-3=a(-10)2 { am +c=m ②m=1
将①代入②,得am2
1
+2m=m,解得1 a=-
,
m
所以抛物线表达式为y=-25x
2.
1
(2)
则 ·
因为洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上 ac=-m 2m=-2.
1
升,m=1,所以从警戒线开始再持续 =5(小时)到拱 【新题看台】0.2
1.D
桥顶. 2.(1)1 1 5 5
【新题看台】 (2)解:猜想OP=PH.理由如下:
1.B ∵l是过点(0,-2)且与x 轴平行的直线,
2.(1)C(-2,4) ∴点 H 的纵坐标为-2,
( 1 又 ,垂足为 ,且 ( ,),2)如图,直线y=- x+3与y 轴交于点N(0,3), ∵PH⊥l H P m n ∴PH =|n+2|2 x2
在 轴上取点Q(,),则S ,
( ,
过点Q 作PQ AB 又∵P m n
)是抛物线y= -1上任意一点,y 01 =5 ∥ 4 ∴n=△ABQ
1
交抛物线于点P,则 PQ 的解析式为 x ,由 m
2
y=- 2 +1 4-1.
即:m2=4n+4.
·6·
由两 点 之 间 的 距 离 公 式 得:OP = m2+n2 = 1 4 10 2 10+10此时y=-2× ( - ) +2=n2+4n+4= (n+2)2=|n+2|,∴PH=OP. 5 5 .
4 10 2 10+10
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k ∴点P3( - ,5 5 ) .
的图象和性质(2)
综上所述,满足条件的点为 P1(-4,4)、P2 ( 8- ,
【课堂作业】 5
1 14 、 4 10,2 10+10
1.D 2.B 3.y=- (3 x-3
)2 4.>-1 -1 5 ) P3( - 5 5 ) .
大 0 【新题看台】
5.由题意知c=-1,所以y=a(x-1)2,把点(2,3)代 11.D 2.D 3.> 4.y= (x-2)2
入得a=3.即a=3,c=-1. 2
6.(1)
1
y=- (x+2)2 (2)(-2,0) (3)当x< 第5课时 二次函数y=a(x-h)2+k3
的图象和性质()
-2时,y 随x 的增大而增大 3
【课后作业】 【课堂作业】
1.B 2.D 3.-5 2 1.D 2.C 3.C 4.(0,1)
4.解:(1)A 的坐标是(0,2),抛物线的解析式是y= 5.∵抛物线的顶点为(-1,-3),∴设其解析式为y
1 =a(x+1)2-3,将点(0,-5)代入 ,得-5=a-3,∴a=(
2 x+2
)2;
-2,∴所求抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3,即y=
(2)如图,P 为线段AB 上任意一点,连接PM,过点P -2x2-4x-5.
作PD⊥x 轴于点D, 6.解:(1)令x=0代入函数关系式得y=3,所以与y
轴交点坐标为(0,3).令y=0代入函数关系式得-(x-
1)2+4=0,解得x1=3,x2=-1.所以与x 轴交点坐标为
(3,0)、(-1,0). (2)当x=3或-1时,y=0;当-1<3时,y>0;当x<-1或x>3时,y<0.
【课后作业】
1.B 2.A 3.C
1
4.(1)所求二次函数的解析式为y=- (2 x+1
)2+2
1
设P 的坐标是(x,- x+2),则在2 Rt△PDM
中,
图略
PM2=DM2+PD2 即: (2)证明:若点 M 在此二次函数的图象上,
1
l2
1
=(-2-x)2+(- x+2)2
5
= x2+2x+8,x 则-m2=- (m+1)2+2,得m2-2m+3=0,2 4 2
的取值范围是:-5(3)存在满足条件的点P,连接AM,则由题意得, 无实根,
2
AM= OA2+OM2= 22 2 ∴
对任意实数m,点 M(+2 =22 m
,-m )都不在这个二次函
数的图象上
5 1 .
①当PM=PA 时,4x
2+2x+8=x2+(-2x+2 5.解:(1)∵ 抛物线的顶点坐标为A(-2,3),
-2)2 ∴ 可设抛物线的解析式为y=a(x+2)
2+3,
解得:x=-4,此时y=4,∴点P1(-4,4) ( 1由题意得a0+2)2+3=2,解得a=-4.
5
②当PM=AM 时, x2+2x+8=(22)24 1∴ 抛物线的解析式为y=- (x+2)2+3,即4 y=
解得: 8 1x1=- ,x2=0(舍去),此时5 y=- 2 ×
1
- 24x -x+2.
( 8 ) 14 8 14- +2= ,∴点P ( - , ) ; (2)设存在符合条件的点P,其坐标为(2 p,0),则5 5 5 5 PA2= (-2-p)2+32,PB2=p2+22,AB2=
1 2 2 2
③当PA=AM 时,x2+ ( -2x+2-2) =(22)2 (3-2)+2 =5当PA=PB 时,(-2-p)2+32=p2+22,解得p=
: 4 10, 4 10解得 x 91=- 5 x2=
(舍去)
5 . -
;当
4 PA=AB
时,(-2-p)2+32=5,方程无实数解;
·7·
数学 九年级上册
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)
2.在抛物线y=-x2+1上的一个点是( )
A.(1,0) B.(0,0)
抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象是一条抛物 C.(0,-1) D.(1,1)
线,它的对称轴也是y 轴,顶点坐标是(0,k),函数 3.抛物线y=-6x2 可以看作是由抛物线y=
y=ax2+k(a≠0)的图象是由抛物线y=ax2 向上 -6x2+5按下列何种变换得到 ( )
(或下)平移|k|个单位长度得到的. A.向上平移5个单位
B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位
活动一:试一试 D.向右平移5个单位
1.打开课本P32,完成例2. 4.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数
y=ax2+1(a<0)的图象上,若x1>x2>0,则y1
y2.(填“>”“<”“=”)
5.已知抛物线的对称轴是y 轴,顶点坐标是
(0,2),且经过点(2,6),求此抛物线的解析式.
2.P33的思考你会解决吗 试试看.
活动二:做一做
1.请你 在 同 一 直 角 坐 标 系 中,画 出 二 次 函
数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.
2.根据图象总结这三个函数之间的关系. 1.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单
位,那么所得新抛物线的表达式是 ( )
A.y=(x-1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1
D.y=x2+3
2.若二次函数y=ax2+c,当x 取x1,x2(x1
≠x2)时,函数值相等,则当x 取x1+x2 时函数值为
1.如图,二次函数y=x2+1的图象大致是 ( )
( ) A.a+c
B.a-c
C.-c
D.c
2 7
课时培优作业
3.已知抛物线的顶点是C(0,a)(a>0,a 为常
数),并经过点(2a,2a),点D(0,2a)为一定点.
(1)求含有常数a 的抛物线的解析式; 1.(河池中考题)已知点(x1,y1),(x2,y2)均在
(2)设点P 是抛物线上任意一点,过P 作PH 抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是 ( )
⊥x 轴,垂足是 H,求证:PD=PH. A.若y1=y2,则x1=x2
B.若x1=-x2,则y1=-y2
C.若0y2
D.若x1y2
2.(咸宁中考题)如图,P(m,n)是抛物线y=
x2
-1上任意一点,l是过点(0,-2)且与4 x
轴平行
的直线,过点P 作直线PH⊥l,垂足为 H.
【探究】
(1)填空:当 m=0时,OP= ,PH=
;当m=4时,OP= ,PH=
;
【证明】
(2)对任意m,n,猜想OP 与PH 的大小关系,
并证明你的猜想.
4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=
ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点
A,B,C,求ac的值.
2 8
