数学 九年级上册
第5课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)
1
C.y= (2 x+2
)2+3
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条 1D.y=- (x+2)2+3
抛物线,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h, 2
k),函数y=a(
2
x-h)2+k(a≠0)的图象是由抛物 3.由二次函数y=2(x-3)+1,可知 ( )
线y=ax2 向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上 A.其图象的开口向下
(或下)平移|k|个单位长度得到的. B.其图象的对称轴为直线x=-3
C.其最小值为1
D.当x<3时,y 随x 的增大而增大
活动一:试一试 4.抛物线y=2(x-1)2-1与y 轴的交点坐标
1.打开课本P35,看课本例3,找出该抛物线的 为 .
开口方向、对称轴、顶点坐标. 5.已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y 轴的
交点为(0,-5),求此抛物线的解析式.
2.该抛物线可以看成是由哪个抛物线,经过怎
样的平移得到的
6.已知抛物线y=-(x-1)2+4,
活动二:做一做 (1)求此抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;
请你总结出抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的 (2)根据图象指出x 取哪些值时y=0,y<0,
图象性质. y>0
1.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为
( )
1.二次函数y=a(x+m)2+n 的图象如图所
示,则一次函数y=mx+n 的图象经过 ( )
2.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛
1
物线y= x2 相同的解析式为 ( )2
1
A.y= (2 x-2
)2+3
1 A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
B.y= (2 x+2
)2-3 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
3 1
课时培优作业
2.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线 6.(
3
柳州中考题)已知:抛物线y= (x-1)2
y=-(x+1)2+a 上的三点,则y1,y2,y3 的大小 4
关系为 ( ) -3.
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y (1)写出抛物线的开口方向、对称轴;2
C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 (2)函数y 有最大值还是最小值 并求出这个
1 最大(小)值;
3.对于抛物线y=- ( )2 ,下列结2 x+1 +3 (3)设抛物线与y 轴的交点为P,与x 轴的交
论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1; 点为Q,求直线PQ 的函数解析式.
③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y 随x 的增大而
减小.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,2),
且过点 ,3 0 ÷.
è 2
(1)求二次函数的解析式,并在图中画出它的
图象;
(2)求证:对任意实数m,点 M(m,-m2)都不
在这个二次函数的图象上.
5.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的
2
顶点坐标为点A(-2,3),且抛物线y=ax2+bx+ 1.(宿迁中考题)若将抛物线y=x 向右平移2
c与y 轴交于点B(0,2). 个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线表达
(1)求该抛物线的解析式; 式为 ( )
(2)是否在x 轴上存在点P 使△PAB 为等腰 A.y=(x+2)
2+3
2
三角形,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请 B.y=(x-2)+3
说明理由; C.y=(x+2)2-3
(3)若点P 是x 轴上任意一点,则当PA-PB D.y=(x-2)
2-3
最大时,求点P 的坐标. 2.(新疆中考题)对于二次函数y=(x-1)
2+
2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(1,2)
D.与x 轴有两个交点
3.(淄博中考题)已知二次函数y=a(x-h)2
+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h 的
值可以是 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
3 2由两 点 之 间 的 距 离 公 式 得:OP = m2+n2 = 1 4 10 2 10+10此时y=-2× ( - ) +2=n2+4n+4= (n+2)2=|n+2|,∴PH=OP. 5 5 .
4 10 2 10+10
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k ∴点P3( - ,5 5 ) .
的图象和性质(2)
综上所述,满足条件的点为 P1(-4,4)、P2 ( 8- ,
【课堂作业】 5
1 14 、 4 10,2 10+10
1.D 2.B 3.y=- (3 x-3
)2 4.>-1 -1 5 ) P3( - 5 5 ) .
大 0 【新题看台】
5.由题意知c=-1,所以y=a(x-1)2,把点(2,3)代 11.D 2.D 3.> 4.y= (x-2)2
入得a=3.即a=3,c=-1. 2
6.(1)
1
y=- (x+2)2 (2)(-2,0) (3)当x< 第5课时 二次函数y=a(x-h)2+k3
的图象和性质()
-2时,y 随x 的增大而增大 3
【课后作业】 【课堂作业】
1.B 2.D 3.-5 2 1.D 2.C 3.C 4.(0,1)
4.解:(1)A 的坐标是(0,2),抛物线的解析式是y= 5.∵抛物线的顶点为(-1,-3),∴设其解析式为y
1 =a(x+1)2-3,将点(0,-5)代入 ,得-5=a-3,∴a=(
2 x+2
)2;
-2,∴所求抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3,即y=
(2)如图,P 为线段AB 上任意一点,连接PM,过点P -2x2-4x-5.
作PD⊥x 轴于点D, 6.解:(1)令x=0代入函数关系式得y=3,所以与y
轴交点坐标为(0,3).令y=0代入函数关系式得-(x-
1)2+4=0,解得x1=3,x2=-1.所以与x 轴交点坐标为
(3,0)、(-1,0). (2)当x=3或-1时,y=0;当-1<3时,y>0;当x<-1或x>3时,y<0.
【课后作业】
1.B 2.A 3.C
1
4.(1)所求二次函数的解析式为y=- (2 x+1
)2+2
1
设P 的坐标是(x,- x+2),则在2 Rt△PDM
中,
图略
PM2=DM2+PD2 即: (2)证明:若点 M 在此二次函数的图象上,
1
l2
1
=(-2-x)2+(- x+2)2
5
= x2+2x+8,x 则-m2=- (m+1)2+2,得m2-2m+3=0,2 4 2
的取值范围是:-5(3)存在满足条件的点P,连接AM,则由题意得, 无实根,
2
AM= OA2+OM2= 22 2 ∴
对任意实数m,点 M(+2 =22 m
,-m )都不在这个二次函
数的图象上
5 1 .
①当PM=PA 时,4x
2+2x+8=x2+(-2x+2 5.解:(1)∵ 抛物线的顶点坐标为A(-2,3),
-2)2 ∴ 可设抛物线的解析式为y=a(x+2)
2+3,
解得:x=-4,此时y=4,∴点P1(-4,4) ( 1由题意得a0+2)2+3=2,解得a=-4.
5
②当PM=AM 时, x2+2x+8=(22)24 1∴ 抛物线的解析式为y=- (x+2)2+3,即4 y=
解得: 8 1x1=- ,x2=0(舍去),此时5 y=- 2 ×
1
- 24x -x+2.
( 8 ) 14 8 14- +2= ,∴点P ( - , ) ; (2)设存在符合条件的点P,其坐标为(2 p,0),则5 5 5 5 PA2= (-2-p)2+32,PB2=p2+22,AB2=
1 2 2 2
③当PA=AM 时,x2+ ( -2x+2-2) =(22)2 (3-2)+2 =5当PA=PB 时,(-2-p)2+32=p2+22,解得p=
: 4 10, 4 10解得 x 91=- 5 x2=
(舍去)
5 . -
;当
4 PA=AB
时,(-2-p)2+32=5,方程无实数解;
·7·
当PB=AB 时,p2+22=5,解得p=±1, , 9 9综上所 述 直 线 PQ 的 解 析 式 为y=- x-
∴x 轴上存在符合条件的点P,其坐标为 ( 9 ) 4 4- ,4 0 3 9或y= x- .
或(-1,0)或(1,0). 4 4
(3)∵PA-PB≤AB,∴ 当A,B,P 三点共线时,可 【新题看台】
得PA-PB 的最大值,这个最大值等于AB, 1.B 2.C 3.D
此时点P 是直线AB 与x 轴的交点. 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c
设直线AB 的解析式为y=kx+b,则 的图象和性质(1)
{b=2 ,解得{ 1k=-2, 【课堂作业】-2k+b=3 b=2 1.B 2.B 3.C 4.A 5.>
1
∴ 直线AB 的解析式为y=- x+2, 6.
解:当k=-1时,函数为y=-2x2-4x+6,配方
2 得:y=-2(x+1)2+8,∵二次项系数-2<0,∴函数有最
1
当y=- x+2=0时,解得x=4, 大值,当x=-1时,y 的最大值为8;2 当k=-1,函数有最大值.
∴ 当PA-PB 最大时,点P 的坐标是(4,0). 当k=1时,函数为y=-4x+4,是 一 次 函 数,无
3
6.解:(1)抛物线y= (x-1)2-3, 最值;4 当k=2时,函数为y=x2-4x+3,∵二次项系数1>
3
∵a= >0, 0,∴二次函数开口向上,无最大值.4
【
, 课后作业
】
∴ 抛物线的开口向上
对称轴为直线x=1; 11.C 2.D 3.C 4.B 5.x>2
( 32)∵a= >0, 6.(1)平移后所得抛物线的函数解析式为 (4 y=2x-
)2
∴ 函数y 有最小值,最小值为-3;
3 -1
3 9 (2)
5
() , ( ) , S2 △BPM=3 令x=0 则y=4 0-1 -3=-
2
4
【新题看台】
9
所以,点P 的坐标为 (0,- ,4 ) 1.B 2.B
3 3.
解:(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2
令y=0,则 (x-1)2-3=0,4 -1.
解得x1=-1,x =3, ∴其函数的顶点 C 的坐标为(2,-1),∴当x≤22
所以,点Q 的坐标为( ,-1,0)或(3,0), 时 y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而
增大.
当点P ( 90,- , ( ,)时,设直线 的解析 24 ) Q -10 PQ (2)令y=0,则x -4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0);当点A 在
式为y=kx+b(k≠0),
点B 右侧时,A(3,0),B(1,0).∴AB=|1-3|=2,过点C
{ 9b=-
ì 9
k=-4 , 1
则 4 ,解得 ,
作CD ⊥x 轴 于 D △ABC 的 面 积 = 2 AB
·CD
í
-k+b=0 9 b=-4 1=2×2×1=1.
9 9
所以直线PQ 的解析式为y=-4x-
,
4 第7课时 二次函数y=ax2+bx+c
( 9 的图象和性质()当P 0,- ) ,Q(3,0)时,设直线PQ 的解析式为y 24
【
, 课堂作业
】
=mx+n
3 1.C 2.0 3.y=-x
2+4x-3 4.y=-7x2+42x
9 ì{n=- m= -59则 4 , 4解得 í , a-b+c=-13m+n=0 9 n=-4 5.解:(1)根据题意,得{c=2 解得a=-1,b
3 9 a+b+c=3
所以,直线PQ 的解析式为y= ,4x-4 =2,c=2,所以解析式为y=-x2+2x+2.
·8·
