数学 九年级上册
第7课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2)
3.若抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是A(2,
1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为
二次函数常见的表达式有三种,在求它的解析 .
式时,首先要根据已知条件的特点,灵活选择合适 4.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且
的表达形式,然后用待定系数法求解,可以达到简 当x=3时,函数有最大值4,求出对应的二次函数
便、快速的效果. 解析式.
活动一:试一试
1.打开课本P39,思考:如何解决本节提出的
探究
5.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象
经过A(-1,-1)、B(0,2)、C(1,3).
(1)求二次函数的解析式;
(2)画出二次函数的图象.
2.解方程组的基本思想是什么
活动二:做一做
请你完整的解出P40中的三元一次方程组.
1.如图为抛物线y=ax2+bx+c 的图象,A,
B,C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则
下列关系中正确的是 ( )
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示,那么这个函数的解析式为 ( )
A.a+b=-1 B.a-b=-1
C.b<2a D.ac<0
2.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=
1 2 相同,顶点坐标为( ,),则该抛物
1 2 2 2
x -4x+3 -21
A.y=3x +3x+1 线的函数解析式为 ( )
1 2
B.y= x23 +3x-1
1
A.y= (2 x-2
)2+1
1 2 2C.y=3x -3x-1
1
B.y= (x+2)22 -1
1 2
D.y= 23x -
1
3x+1 C.y= (2 x+2
)2+1
2.已知二次函数y=x2+x+m 的图象过点 1 2
(1,2),
( )
则m 的值为 . D.y=-2 x+2 +1
3 5
课时培优作业
3.已知二次函数的图象与x 轴的交点为(-1,
0)和(3,0),且交y 轴于(0,4),求此函数的解析式.
1.(苏州中考题)二次函数y=ax2+bx-1(a
≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b 的值为
( )
A.-3 B.-1
C.2 D.5
2.(河南中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)与x 轴交于A,B 两点,若点 A 的坐标为
(-2,0),抛物线的对称轴为直线x=2,则线段AB
的长为 .
3.(兰州中考题)如图,若抛物线y=ax2+bx
4.如图,直线y=3x+3交x 轴于A 点,交y +c上的P(4,0),Q 两点关于它的对称轴x=1对
轴于B 点,过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点 称,则Q 点的坐标为 .
C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使
△ABQ 是等腰三角形 若存在,求出符合条件的Q
点坐标;若不存在,请说明理由.
4.(齐齐哈尔中考题)如图,已知抛物线的顶点
为A(1,4)、抛物线与y 轴交于点B(0,3),与x 轴
交于C,D 两点.点P 是x 轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当PA+PB 的值最小时,求点P 的坐标.
5.已知抛物线y=x2+bx+3经过点A(-1,
8),顶点为M.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点B,连接
AB,AM,求△ABM 的面积.
3 6当PB=AB 时,p2+22=5,解得p=±1, , 9 9综上所 述 直 线 PQ 的 解 析 式 为y=- x-
∴x 轴上存在符合条件的点P,其坐标为 ( 9 ) 4 4- ,4 0 3 9或y= x- .
或(-1,0)或(1,0). 4 4
(3)∵PA-PB≤AB,∴ 当A,B,P 三点共线时,可 【新题看台】
得PA-PB 的最大值,这个最大值等于AB, 1.B 2.C 3.D
此时点P 是直线AB 与x 轴的交点. 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c
设直线AB 的解析式为y=kx+b,则 的图象和性质(1)
{b=2 ,解得{ 1k=-2, 【课堂作业】-2k+b=3 b=2 1.B 2.B 3.C 4.A 5.>
1
∴ 直线AB 的解析式为y=- x+2, 6.
解:当k=-1时,函数为y=-2x2-4x+6,配方
2 得:y=-2(x+1)2+8,∵二次项系数-2<0,∴函数有最
1
当y=- x+2=0时,解得x=4, 大值,当x=-1时,y 的最大值为8;2 当k=-1,函数有最大值.
∴ 当PA-PB 最大时,点P 的坐标是(4,0). 当k=1时,函数为y=-4x+4,是 一 次 函 数,无
3
6.解:(1)抛物线y= (x-1)2-3, 最值;4 当k=2时,函数为y=x2-4x+3,∵二次项系数1>
3
∵a= >0, 0,∴二次函数开口向上,无最大值.4
【
, 课后作业
】
∴ 抛物线的开口向上
对称轴为直线x=1; 11.C 2.D 3.C 4.B 5.x>2
( 32)∵a= >0, 6.(1)平移后所得抛物线的函数解析式为 (4 y=2x-
)2
∴ 函数y 有最小值,最小值为-3;
3 -1
3 9 (2)
5
() , ( ) , S2 △BPM=3 令x=0 则y=4 0-1 -3=-
2
4
【新题看台】
9
所以,点P 的坐标为 (0,- ,4 ) 1.B 2.B
3 3.
解:(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2
令y=0,则 (x-1)2-3=0,4 -1.
解得x1=-1,x =3, ∴其函数的顶点 C 的坐标为(2,-1),∴当x≤22
所以,点Q 的坐标为( ,-1,0)或(3,0), 时 y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而
增大.
当点P ( 90,- , ( ,)时,设直线 的解析 24 ) Q -10 PQ (2)令y=0,则x -4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0);当点A 在
式为y=kx+b(k≠0),
点B 右侧时,A(3,0),B(1,0).∴AB=|1-3|=2,过点C
{ 9b=-
ì 9
k=-4 , 1
则 4 ,解得 ,
作CD ⊥x 轴 于 D △ABC 的 面 积 = 2 AB
·CD
í
-k+b=0 9 b=-4 1=2×2×1=1.
9 9
所以直线PQ 的解析式为y=-4x-
,
4 第7课时 二次函数y=ax2+bx+c
( 9 的图象和性质()当P 0,- ) ,Q(3,0)时,设直线PQ 的解析式为y 24
【
, 课堂作业
】
=mx+n
3 1.C 2.0 3.y=-x
2+4x-3 4.y=-7x2+42x
9 ì{n=- m= -59则 4 , 4解得 í , a-b+c=-13m+n=0 9 n=-4 5.解:(1)根据题意,得{c=2 解得a=-1,b
3 9 a+b+c=3
所以,直线PQ 的解析式为y= ,4x-4 =2,c=2,所以解析式为y=-x2+2x+2.
·8·
(2)如图: k+b=4 k=7
设AE 解析式y=kx+b,则{ 解得{ ,b=-3 b=-3
∴yAE=7x-3,
3
当y=0时,x= ,∴点P 坐标为7 ( 3,7 0) .
§22.2 二次函数与一元二次方程
【课后作业】 第1课时 二次函数与一元二次方程(1)
4
1.B 2.C 3.y=- (x+1)(3 x-3
) 【课堂作业】
4.解:(1)设抛物线的解析式为:=ax2+bx+c. 1.A 2.A 3.D 4.<10 =10 >10 5.
直线x
y
∵直线
=2
y=3x+3交x 轴于A 点,交y 轴于B 点, () ,
∴A 点坐标为(-1,0)、B 点坐标为(0,)
6.1 ∵抛物线与x 轴没有交点
3 .
又∵抛物线经过A,B,C 三点,
1
∴Δ<0,即1-2c<0,解得c> ;2
{a-b+c=0 a=-1 1∴ 9a+3b+c=0,解得:{b=2 , (2)∵c> ,∴直线y=cx+1随2 x 的增大而增大,c=3 c=3 ∵b=1,∴直线y=cx+1经过第一、二、三象限.
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3. 【课后作业】
(2)∵y=-x2+2x+3= -(x-1)2+4,∴该抛物线
1.D 2.B 3.(3,0)
的对称轴为x=1.
3 3
设Q 点 坐 标 为(1,m),则 AQ= 4+m2,BQ= 4.解:(1)由题意得:- 8x
2- 4x+3=0
;解得:x1
1+(3-m)2,又AB= 10. =-4,x2=2;所以可得点A 的坐标为A(-4,0)、点B 的
当AB=AQ 时, 4+m2= 10,解得:m=± 6, 坐标为B(2,0).
∴Q 点坐标为(1,6)
3 3
或(1,- 6); (2)∵抛物线y=-8x
2- 的对称轴为4x+3 x=
当AB=BQ 时, 10= 1+(3-m)2,解得:m1=0, -1,与y 轴交点C 的坐标为(0,3),
m2=6. 3
(,) (,); ∴直线AC 的解析式为 = ,且当 时,∴Q 点坐标为 10 或 16 y 4x+3 x=-1
当Q 点为(1,6)时,A,B,Q 在一条直线上,不能构成 9有y= .
三角形. 4
当AQ=BQ 时, 4+m2= 1+(3-m)2,解得:m ∴直线AC 与对称轴x=-1的交点 H 坐标为 ( -1,
=1,
∴Q 点坐标为(1,1). 9
4 ) .
∴抛物线的对称轴上存在着点Q(1,6)、(1,- 6)、 1
(1,0)、(1,1),使△ABQ 是等腰三角形. ∵AB=6,CO=3,∴△ACB 的面积为:S△= 2 ×6
5.(1)
3
y=x2-4x+3 (2)△ABM 的面积为 ×3=9,2 不妨设点D 的坐标为(-1,a),当点D 位于AC 上方
【新题看台】
时, 9DH=a- ,
1.B 2.8 4
3.(-2,0) 提示:P,Q 两点关于对称轴x=1对称, : 1 9∴△ACD 的面积为 S△= ×(a- )×4=9;解
则P,Q 两点到对称轴x=1的距离相等,设点Q 的横坐标 2 4
, 4+m
27
为m 则 =1,
方程得:
解得m=-2.∴Q 点的坐标为(2 -2
,0). a=4.
9
4.解:(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4), 当点D 位于AC 下方时,DH= -a,4
∴设y=a(x-1)2+4, 1 9
由于抛物线过点B(0,3),∴3=a(0-1)2+4, ∴△ACD 的面积为:S△= 2 ×
( -a)4 ×4=9
;解
解得a=-1. 9
方程得:
∴解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3; a=-4.
(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0,-3),连接AE 交 27
点 的坐标为 , 或
x 轴于点P,
∴ D ( -1 4 ) ( -1, 9-4 ) .
·9·
