小结与思考 =EF
,根据点到直线的距离垂线段最短.当OD⊥AC 时,
OD 最短,即EF 最短.
题组训练 由(1)知,在Rt△AOC 中,OC=OA=4,
(一)二次函数的图象和性质 则AC= OC2+OA2= 42+42=42.
3
1.C 2.C 3.B 4. 或2 -3
5.解:(1)b2-4ac=(-2m)2-4(m2-9)=36>0,
∴无论m 为何值,该抛物线与x 轴总有两个交点.
(2)把(0,-5)代入y=x2-2mx+m2-9,得m2-9
=-5.解得m=±2.
当m=2时,抛物线为y=x2-4x-5.令y=0,x2-
4x-5=0,解得x1=5,x2=-1,于是 A(-1,0),B(5, 根据等腰三角形性质,D 为AC 中点,
0),此时OA当m=-2时,抛物线为y=x2+4x-5.令y=0,x2 2
2
+4x-5=0,解得x1=-5,x2=1,于是A(-5,0),B(1, ∴点P 的纵坐标为2.从而得-x +3x+4=2,
0),此时OA>OB,不符合题意,舍去. : 3+ 17解之得 x1= ,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x-5. 2
(二)二次函数的应用 3- 17
x
() ( ) ( ) 2
= .
1.25 2.1 ① 10+7x ② 12+6x 2
(2)y=(12+6x)-(10+7x)=2-x , 3+ 17∴当EF 最短时 点P 的坐标分别为 ,2
(3)∵w=2(1+x)(2-x)=-2x2+2x+4 ( 2 )
∴w=-2(x-0.5)2+4.5 3- 17
, 或 ,∵-2<00∴w 有最大值,当x=0.5时,最大值为4.5万元. 3.解:(1)抛物线与x 轴交于点A(-1,0)和点B(1,
答:当x=0.5时,今年的年销售利润最大,最大年销 0),则可以设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1),
售利润是4.5万元. ∵直线y=2x-1与y 轴交于点C,与抛物线交于点
3.解:(1)当0当20, {20k+b=8000 , ( )( ),解得+b 则 .解得k=-200b=12000,∴ = =a0+1 0-1 a=1.y40k+b=4000 即抛物线的解析式为y=(x+1)(x-1).
-200x+12000. (2)设点A 到直线CD 的垂线的垂足坐标为:M(x,
(2)当02800)x=5200x≤104000,此时老王获得的最大利润为 ∴AM= AN2+MN2= (x+1)2+(2x-1)2=
104000元. 1
, ( 5x2-2x+2即:AM2=5x2-2x+2=5(x- )2
9
当20+12000-2800)x=-200(x2-46x)=-200(x-23)2 1 9
所以当x= 时,AM2 有最小值 ,即AM 有最小
+105800. 5 5
∴当 x=23 时,利 润 w 取 得 最 大 值,最 大 值 为 3值 5.
105800元. 5
∵105800>104000,∴当张经理的采购量为23吨时,老 3∴点A 到直线CD 的距离为 5.
王在这次买卖中所获得的利润最大,最大利润为105800元. 5
拓展训练 第二十三章 旋 转
1.B
2.解:(1)由A(4,0),可知OA=4. §23.1 图形的旋转
∵OA=OC=4OB,∴OC=4,OB=1,
∴C(0,4),B(-1,0),设抛物线的解析式 第1课时 图形的旋转(1)
为y=ax2+bx+c(a≠0)
{a-b+c=0 a=-1
【课堂作业】
则 16a+4b+c=0解得{b=3 1.C 2.D 3.A 45° 4.70° 5.(1)点A (2)60°c=4 c=4 (3)等边 6.(1)通过旋转,即以点 A 为旋转中心,将
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. △ABE 逆时 针 旋 转90° (2)BE=DF,BE⊥DF.
(2)连接OD,由题意知,四边形OFDE 为矩形,则OD 7.(1)120 (2)正确画出AD 和点E,连接CD,由已知得
·12·
AO=AC=CD=OD,∴四边形 AODC 为菱形,∴OC⊥ 5.作法:(1)如图,连接 AO,在 AO 的延长线上截取
AD,即∠AEO=90°. OA'=OA,即可以求得点A 关于点O 的对称点A';
【课后作业】
1.A 2.C
3.根据题意将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与
△CBP'重合,结合旋转的性质可得BP=BP',∠PBP'= (2)同理,可以求得点B 关于点O 的对称点B';
90°,根据勾股定理,可得PP'= 32+32=32. (3)连接A'B',就可以得到与AB 关于点O 成中心对
4.BD= 2 称的A'B'.
【新题看台】 6.(1)连接AO 并延长AO 到A',使OA'=OA,于是
(,) 得到点A 的对称点A',如图所示1.C 2.C 3.3 4.60 .
(2)同样画出点B,C 和点D 的对称点B',C'和D'.
第2课时 图形的旋转(2) (3)顺次连接A'B',B'C',C'D',D'A'.
则四边形A'B'C'D'即为所求的图形【 】 .课堂作业
1.B 2.B 3.B 4.A
5.
【课后作业】
1.C 2.C 3.C
4.作法:①连接AP 并延长至C,使PC=PA,②连接
【课后作业】 BP 并延长至D,使PD=PB.③连接BC,CD,DA.所以平
1.C 2.8 3.37 4.3- 3 行四边形ABCD 即为所求.
【 】 5. (作法略)新题看台
1.D 提示:连接AA',BB',分别作AA',BB'的垂直
平分线,两条直线相交于点O,点O 就是旋转中心,旋转角
为90°,连接 OP,OP 绕点O 逆 时 针 旋 转90°即 可 得 到
OP',可知点P'落在4区,故选D.
(,) 6.解:(1)300°,如图所示2.10 .
()、() : (2)3.1 2 画图如下 60°
,如图所示.
【新题看台】
1.-25
(3)解:设OE=x,则ON=x,作 MF⊥A'B'于点F, 2.
(1)(2)如图
由作图 可 知:B'C'平 分 ∠A'B'O,且 C'O⊥OB',
∴B'F=B'O=OE=x,FC'=OC'=OD=3,
∵A'C'=AC=5,∴A'F= 52-32=4,
∴A'B'=x+4,A'O=5+3=8,
∴x2+82=(4+x)2,解得:x=6,OE=6.
§23.2 中心对称
第1课时 中心对称 (3)对称,对称轴是EF.
【课堂作业】 第2课时 中心对称图形
1.C 2.B 3.D 4.(1)C (2)A─D,B─E,C─C
(3)∠D,∠E,∠DCE (4)DC,EC,DE (5)∠ACD 【课堂作业】
的度数 1.B 2.A 3.B
·13·
数学 九年级上册
第二十三章 旋 转
§23.1 图形的旋转
第1课时 图形的旋转(1)
3.如图,△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角
形,∠C 和∠AED 都是直角,点E 在AB 上,如果
判断一个运动是否为旋转,应看是否有: △ABC 经旋转后能与△ADE 重合,那么旋转中心
1.旋转中心:在旋转过程中保持不动; 是点 ;旋转的度数是 .
2.旋转角度;
3.旋转方向.在解决旋转问题时,要抓住旋转中
“变”与“不变”的元素;旋转前、后的“对应关系”.
: (活动一 试一试 第3题)
(第4题)
1.打开课本 P59,看思考:总结 旋 转 的 有 关 4.如图
,在直角△OAB 中,∠AOB=30°,将
定义. △AOB 绕 点 O 逆 时 针 方 向 旋 转 100°得 到
△OA1B1,则∠A1OB 的度数为 .
5.如图,△ABC 为等边三角形,D 为△ABC
内一点,△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置,则
2.你还可以举出现实生活、生产中旋转的例子 (1)旋 转 中 心 是 ;(2)旋 转 角 度 是
吗 并找出旋转中心与旋转角. ;(3)△ADP 是 三角形.
活动二:做一做
6.如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,
借助P60探究与小时候我们玩过的风车,请你 1
总结出旋转具有的性质. F 是BA 延长线上一点,AF=2AB.
(1)如图所示,可以通过平行移动、翻折、旋转
中的哪一种方法,使△ABE 移到△ADF 的位置
(2)指出图中的线段BE 与DF 之间的关系.
1.从5点15分到5点20分,分针旋转的度
数为 ( )
A.20° B.26°
C.30° D.36°
2.在下列现象中,是旋转的有 ( )
①方向盘的转动;②荡秋千;③转呼啦圈;④钟
摆的运动
A.①②③ B.②③
C.②③④ D.①②④
4 7
课时培优作业
7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐 4.如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到
标为(-2,0),等边三角形AOC 经过平移或轴对称 △ADE,点C 和点E 是对应点,若∠CAE=90°,
或旋转都可以得到△OBD. AB=1,求BD 的长.
(1)△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB,
则旋转角可以是 度;
(2)连接AD,交OC 于点E,求∠AEO 的度数.
1.(佛山中考题)若一个60°的角绕顶点旋转
15°,则重叠部分的角的大小是 ( )
A.15° B.30° C.45° D.75°
2.(大 庆 中 考 题)如 图,边 长 为1的 正 方 形
ABCD 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 45°后 得 到 正 方 形
AB1C1D1,边 B1C1 与 CD 交 于 点O,则 四 边 形
AB1OD 的面积是 ( )
1.如 图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,将
Rt△ABC 绕 点 C 按 逆 时 针 方 向 旋 转 48°得 到
Rt△A'B'C,点A 在边B'C 上,则∠B'的度数为
( )
A.42° B.48°
C.52° D.58° 3 2-1
A.4 B. 2
C.2-1 D.1+ 2
3.(遵义中考题)有一个正六面体骰子,放在桌
( ) ( ) 面上,将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动,每滚第1题 第2题
2.如图,在△ABC 中,∠CAB=70°.在同一平 动90°算一次,则滚动第2014次后,骰子朝下一面的
面内,将△ABC 绕点A 旋转到△AB'C'的位置,使 点数是 .
得CC'∥AB,则∠BAB'= ( )
A.30° B.35°
C.40° D.50°
3.如图,P 是正方形ABCD 内一点,将△ABP 4.(山西中考题)如图,已知△ABC 三个顶点的
绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP'重合,若PB= 坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC
3,求PP'的长. 向右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C 的对
应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针
旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别
为A″,B″,C″,则点A″的坐标为 .
4 8
