∠MA'N=45°,∠A'MN= ∴∠AOE=60°,∴AE 是☉O 的内接正六边形的一
90°,∴ ∠MNA'=45°,∴ 边.∵∠AOE=60°,∴∠EOC=90°-60°=30°,
MN=A'M= 2-1;由勾股 ∴EC是☉O 的内接正十二边形的一边.连接 OF.
∴∠AOF=60°, ,定理得A'N=2- 2.同理可 ∴∠EOF=60°×2=120° ∴EF
是
, ☉O
的内接正三角形的一边.
得D'M'=2- 2 ∴NM'=
第7节 弧长及扇形的面积
2-(4-2 2)=2 2-2,∴
问题导学
正八边形的边长为22-2.
: 1 πr第6节 正多边形与圆(2) 活动一 50π 圆的周长 圆周长的360 180
问题导学 nπr
1.(1)略 (2)任何正多边形都是轴对称图形, 180
2
对称轴条数等于边数;当边数是偶数时,该正多边 :nπr 1活动二 lr
形是中心对称图形. 360 2
课堂作业 课堂作业
1.2880° 160° 20° 2.24 6 3.8 轴 中 501.4π π 2.4π 3.3π 4.25π 5π
心 4.轴 n 中心 轴对称 中心 5.36°
5.120° 6.12 7.2π 8.25 9.连接 OC,OD,
144° 36° 6.8 7.72° 8.5∶1 9.略
CD,可得阴影部分面积即扇形COD 面积 根据扇
课后作业
1.(1)
200
× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 形面积公式可求得面积为 3π.
2.C 3.D 4.23 5.A 课后作业
6.解:(1)如图①,首先作直径 AD,然后分别 1.2π 10π 72° 5π 18 108π 2.45°
以A、D 为圆心,OA 长为半径画弧,分别交☉O 于 23 2S 1
点B、F、C、E,连接AB、BC、CD、DE、EF、AF,则 3.36 4.240° 5.r 6.A 7.B 8.2π-1
正六边形 ABCDEF 即为所求. 9.8π
10.(1)证明:连接OD.∵DF 是☉O 的切线,D
为切点,∴OD⊥DF,∴∠ODF=90°.∵BD=CD,
OA=OB,∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD∥AC,
∴∠CFD=∠ODF=90°,∴DF⊥AC. (2)解:∵
∠CDF=30°,由(1)得∠ODF=90°,∴∠ODB=
图① 图② 180°- ∠CDF - ∠ODF =60°.∵OB =OD,∴
(2)四边形BCEF 是矩形.理由如下:如图②, △OBD 是等边三角形,∴∠BOD=60°,∴B
︵D的长
连接OE.∵六边形 ABCDEF 是正六边形,∴AB= nπr 60π×5 5=180= 180 =3π.
AF=DE=DC,FE=BC,∴A︵B=A︵F=D︵E=D︵C,
︵ ︵ 11.(1)证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC∴BF=CE,∴BF=CE,∴四边形BCEF 是平行 = ∠OCA.∵ ∠MAC = ∠OAC,∴ ∠MAC =
360°
四 边 形.∵ ∠EOD = =60°,OE =OD,∴ ∠OCA,∴OC∥AM.∵CD⊥AM,∴OC⊥CD,∴6 CD 是☉O 的切线. (2)解:在, , Rt△ACD
中,∵
△EOD 是等边三角形 ∴∠OED=∠ODE=60° ∠ACD=30°,AD=4,∠ADC=90°,∴AC=2AD
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,
,
∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠DEF- =8CD= 3AD=43.∵∠MAC=∠OAC=60°
,
, OA=OC,∴ △AOC 是 等 边 三 角 形,∠CED=90°∴四边形BCEF 是矩形. ∴S阴影 =
新题看台 S△ACD- (
1
S扇形OAC -S△AOC)= 2 ×4×4 3-
证 明: ∵ AB ⊥ CD,
, 60·
2
∴∠AOC=90° ∴AC 是 ☉O ( π×8 3 32
360 -4×8
2)=243-3π.
的内接正方形的一边.如图,连
12.(1)证明:如图,连接 AD、OD.∵AB 为直
接 OE.∵ OA = AE = OF,
径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.∵AC=AB,∴点
·13·
D 为线段BC 的中点.∵点O 60
9.由AC·BC=AB·OC 可得OC= ,即r
为 AB 的 中 点,∴OD 为 13
△BAC 的 中 位 线,∴OD∥ 60= ,因为几何体的表面积是两个圆锥侧面积的
AC.∵DF ⊥AC,∴OD ⊥ 13
DF,∴DF 是☉O 的切线. , 1020和 故表面积为 πcm2.
(2)解:在 Rt△CFD 中,CF 13
课后作业
=1,DF= 3,∴CD=2,∴∠C=60°.∵AC=AB,
∴△ABC 为等边三角形,∴AB=4,∴OD=2.∵ 1.(1)3 (2)5 (3)6 2.B 3.D 4.B
OD∥AC,∴∠DOG=∠BAC=60°,∴DG=23,
5.B 6.B 7.52π 8.8π 9.10π 10.12π
11.解:圆锥侧面沿母线OF 展开可得下图:则
1
∴S阴影 =S△ODG -S扇形OBD = ·2 DG OD - 1 10nπE︵F=圆锥底面周长的一半= ×10π= ,∴n
60π·OB2 2 2 180
360 =23-3π. =90,即∠EOF=90°.在Rt△AOE 中,OA=8,OE
新题看台 =10,由勾股定理得AE=2 41,∴从点E 沿圆锥
(1)证明:在正方形ABCD 中,AB=BC=AD 侧面到点A 的最短距离为2 41.
=2,∠ABC=90°,∵△BEC 绕点B 逆时针旋转
90°得到△ABF,∴△ABF≌△CBE,∴∠FAB=
∠ECB,∠ABF = ∠CBE =90°,AF =EC,∴
∠AFB+∠FAB=90°.∵线段AF 绕点F 顺时针
旋转90°得线段FG,∴∠AFB+∠CFG=∠AFG 12.零件表面积=圆柱底面积+圆柱侧面积+
=90°,∴∠CFG=∠FAB=∠ECB,∴EC∥FG.∵ 圆锥侧面积=192πcm2.
AF=EC,AF=FG,∴EC=FG,∴四边形EFGC 新题看台
是平行四边形,∴EF∥CG. (2)解:∵AD=2,E 13
1 1
是AB 的中点,∴AE=BE=2AB=2×2=1
,∴ 4
第3章 数据的集中趋势
AF= AB2+BF2= 22+12= 5,由平行四边
形的性质,△FEC≌△CGF,∴S△FEC=S 和离散程度△CGF,∴
S阴影 =S扇形BAC +S△ABF +S△FGC -S扇形FAG =
2 第1节 平均数(90π×2 1 1 1)
360 + 2 ×2×1+ 2 ×
(1+2)×1- 问题导学
90π×(5)2 5 π (1)1,7,5,-3,-1,4,5,0,2,3 (2)x=2.3
360 =2-4. (3)167.3
第8节 圆锥的侧面积 课堂作业
问题导学 1.8 2.165cm 3.80 4.101 5.12 6.8
1.略 2.略 3.弧长 4.半径 5.S=πrl 7.14 8.82分 9.x甲=1.695m,x乙=1.68m.
6.S=πrl+πr2 10.x=(2.8+3.2+3.4+3.0+3.1+3.7)÷6=3.2
课堂作业 (万元),四月份的总营业额=3.2×30=96(万元).
8
1.23 2.15π 3.90° 4. cm 5.4 课后作业3 1.大 大饼每平方厘米售价便宜 2.C 3.B
6.B 7.B 4.C 5.B 6.D 7.83分 8.75km/h
8.解:蒙古包底面积为9πm2,高为6m,外围 1
(圆柱)高2m,∴底面半径=3m,圆锥高为6-2= 9.解:(1)这组数据的平均数= (104.4+4.0+
4(m),∴圆锥的母线长= 32+42=5(m).∴圆锥 5.0+5.6+3.4+4.8+3.4+5.2+4.0+4.2)=4.4
的侧面积=π×3×5=15π(m2),圆锥底面的周长为 (度).答:这10户居民的平均日用电量是4.4度.
2π×3=6π(m),圆柱的侧面积=6π×2=12π(m2). (2)这10户居民这一天平均每户节约7.8-4.4=
故需要毛毡15π+12π=27π(m2). 3.4(度).则总数为3.4×200=680(度).答:该小区
·14·数学 九年级上册
第7节 弧长及扇形的面积
径为2cm 的圆的面积为 cm2.
2.直径为8cm 的半圆弧长为 cm.
本节课的任务是探索弧长计算公式及扇形面 3.已知圆弧的半径为50,圆心角为60°,那么该
积计算公式的过程后,掌握弧长计算公式及扇形面 圆弧的弧长为 .
积计算公式,并会灵活应用公式解决问题. 4.如果扇形的圆心角为90°,半径为10,那么这
个扇形的面积为 ,周长为 .
: 5.半径为6
,弧长为4π的圆弧的圆心角为活动一 探索弧长计算公式
如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径 .
为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗 6.
圆心角为150°,弧长为10π的圆弧的半径为
.
7.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,先以
点A 为圆心,AD 的长为半径画弧,再以AB 边的
中点为圆心,AB 长的一半为半径画弧,则阴影部分
面积是 (结果保留π).
1
我们容易看出这段铁轨是圆周长的 ,所以铁
4
轨的长度l= (米)(保留π).这里π=
3.14159…是圆的周长与直径的比值.这个无限不循
环小数叫做圆周率.
问题:上面求的是90°的圆心角所对的弧长,若 8.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形
圆心角为n°,如何计算它所对的弧长呢 360°的圆 铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心,AB 为半径的扇
心角所对的弧长就是 ,所以1°的圆心角所 形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD 的面积
对的弧长是 ,即 . 为 .
这样,在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧
长的计算公式为:l= .
活动二:探索扇形面积计算公式 →
如图,一条弧和经过这条弧的端点的两条半径
所组成的图形叫做扇形.
9.如图,半圆的直径AB=40,C,D 是半圆的3
等分点.求弦AC,AD 与弧CD 围成的阴影部分的
面积.
问题:如何计算扇形的面积呢
同求弧长的思维一样,要求扇形的面积,应思
考圆心角为1°的扇形面积是圆面积的几分之几
进而求出圆心角为n°的扇形面积.如果设圆心角是
n°的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形面积的 1.填表:已知扇形,
计算公式为:S= .
尝试与交流: 半径 圆心角度数 弧长 面积比较扇形面积计算公式与弧长计 r n l
算公式,你能用弧长l和半径r 来表示扇形的面积 10 36°
吗 请与同学交流.S= . 5 2π
120° 12π
2.已知一弧长为12πcm,其半径为24cm,那
1.半径为2cm 的圆的周长为 cm;直 么这条弧所对的圆周角是 .
5 1
课时培优作业
3.如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇形的 为D.
面积等于这个扇形所在圆的面积的 . (1)求证:CD 是☉O 的切线;
2 (), 若
, ,求图中阴影部分
4.扇形的面积是它所在圆的面积的 这个扇
2 ∠ACD=30°AD=4
3 的面积.
形的圆心角的度数是 .
5.扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的
弧长是 .
6.一个扇形的半径等于一个圆的半径的6倍,
如果扇形面积等于圆的面积,则这个扇形的圆心角
等于 ( )
A.10° B.20°
C.30° D.60° 12.如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直
7.设圆的半径为r,60°的圆心角所对的弧长为 径的☉O 分别交线段BC、AC 于点D、E,过点D 作
L,则L 与r的关系是 ( ) DF⊥AC,垂足为F,线段FD、AB 的延长线相交于
π
A.L=r B.L= r 点G.3 (1)求证:DF 是☉O 的切线;
2π
C.L=3r D.L=πr (2)若CF=1,DF= 3,求图中阴影部分的
8.如图,分别以边长等于1的正方形的四边为 面积.
直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 .
9.已知圆弧的半径为24,所对的圆心角为60°,
求圆心所对的弧长.
如图,在正方形ABCD 中,AD=2,E 是AB 的
中点,将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后,点E 落
在CB 的延长线上点F 处,点C 落在点A 处.再将
10.如图,在△ABC 中,以AB 为直径的☉O 分 线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG,连接
别与BC、AC 相交于点D、E,BD=CD,过点D 作 EF、CG.
☉O 的切线交边AC 于点F. (1)求证:EF∥CG;
(1)求证:DF⊥AC; (2)求点C、点A 在旋转过程中形成的A︵C、A︵G
(2)若☉O 的半径为5,∠CDF=30°,求B︵D的 与线段CG 所围成的阴影部分的面积.
长(结果保留π).
11.如图,AB 是☉O 的直径,点C 是☉O 上一
点,连接AC,∠MAC=∠CAB,作CD⊥AM,垂足
5 2
