数学 九年级上册
第6节 正多边形与圆(1)
本节课的任务是了解正多边形的概念、正多边 1.下列多边形中,是正多边形的为 ( )
形和圆的关系;学会通过等分圆心角的方法等分圆 A.各边都相等的多边形
周,画出所需的正多边形. B.有一个角为120°的等边多边形
C.各角都相等的四边形
D.每个角都是108°的等边多边形
观察下列各图形、并度量各图形的边长和角 2.如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳
度,有什么共同特征 手的开口a 的值应是 ( )
A.23cm B.3cm
23
C.3 cm D.1cm
(1)观察生活中的一些图形,归纳它们的共同 3.如图,正六边形ABCDEF 内接于半径为4
特征,引入正多边形及其相关的概念: 的圆,则B、E 两点间的距离为 .
叫正多边形.
(2)概念理解:
①请同学们举例,自己在日常生活中见过的正
多边形.
②矩形是正多边形吗 为什么 菱形是正多
边形吗 为什么 4.同圆的内接正三角形、正四边形、正六边形
③正n 边形的每个内角等于多少度 每个外 的边长之比为 .
角呢 5.正十二边形的每一个外角为 ,每一
(3)实践操作: 个内角是 ,该图形绕其中心至少旋转
在☉O 中作出正三角形和正六边形. 才能和本身重合.
6.用一张圆形纸剪一个边长为4cm的正六边
形,则这个圆形纸片半径最小应为 cm.
7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和
18,则 它 们 的 周 长 之 比 为 ,面 积 之 比
为 .
, ( ) , 8.
如图,在半径为10cm 的☉O 中,作一个正
一般地 用量角器把一个圆nn≥3 等分 依次
六边形ABCDEF,试求此正六边形的面积.
连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接多边
形,这个圆是这个正多边形的外接圆,正多边形的
外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径
叫做正多边形的边心距,正多边形各边所对的外接
圆的圆心角都相等,正多边形各边所对的外接圆的
圆心角叫做正多边形的中心角.正n 边形的每个中
心角都等于 .
4 7
课时培优作业
10.求半径为R 的圆内接多边形的边长:
(1)正三角形.
1.正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形 (2)正方形.
ABCD 的 . (3)正六边形.
2.正方形ABCD 的内切圆☉O 的半径OE 叫
做正方形ABCD 的 .
3.正n 边形的内角和为 ,每一个内角
都等于 ,每一个外角都等于 .
4.正n边形的一个外角为24°,那么n= ;
若正n 边形的一个内角为135°,则n= .
11.已知:正三角形边长为23cm,求它的内
5.如图,正方形ABCD 内接于☉O,其边长为
切圆半径和外接圆的半径.
4,则☉O 的内接正三角形EFG 的边长为 .
6.判断题: 12.如图,已知☉O 的半径为2,正方形ABCD、
(1)各边相等的多边形是正多边形. ( ) A'B'C'D'分别是☉O 的内接正方形和外切正方形,
(2)各角相等的多边形是正多边形. ( ) 求两正方形的面积比S内∶S外 .
(3)正十边形绕其中心旋转36°和本身重合.
( )
7.下列命题中,真命题的个数是 ( )
①各边都相等的多边形是正多边形;
②各角都相等的多边形是正多边形;
③正多边形一定是轴对称图形;
④边数相同的正多边形一定全等.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图
中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需
正五边形的个数为 ( )
如图,已知正方形ABCD 的边长为2,点O 是
正方形ABCD 的中心,把正方形ABCD 绕点O 逆
时针旋转45°得到正方形 A'B'C'D',求 正 方 形
ABCD 与正方形A'B'C'D'重叠部分形成的正八边
形的边长.
A.10 B.9
C.8 D.7
9.已知:正六边形ABCDEF 的半径为4,求这
个正六边形的周长和面积.
4 8第5节 直线与圆的位置关系(4) DO=EC.∵BD=BE,
问题导学 ∴ ∠BED = ∠BDE.∴
,
1.是 两条 2.两边完全重合 在经过圆外 ∠BDE+∠ODE=90°
,
一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长 ∠ODE+∠DOB=90°
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相 ∴∠BDE= ∠DOB,∴
等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角 ∠GEC=∠BED=∠BDE=∠BOD.∵在△BOD
3.OP 垂直平分AB ∠GEC=∠DOB
和 △GEC 中, ,课堂作业 {EC=DO ∴ △BOD ≌∠GCE=∠BDO
1.C 2.D 3.2 1 4.5 5 2 5 2
△GEC(ASA),∴BD=CG. (2)解:由(1)可得出
5.23 60° 6.2 7.70° EC=FC=1,CG=BD=BE=2,∴BC=3,设AD
8.解:(1)如图,连接OF、OE、OG.根据切线长 =AF=x,则32+(x+1)2=(x+2)2,解得x=3.
定 理 得 BE=BF,CF=CG,∠OBF= ∠OBE, 故AD 的长为3.
∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴ 第 节 正多边形与圆()
∠ABC + ∠BCD = 180°,∴ 6 1
∠OBF + ∠OCF = 90°,∴ 问题导学
∠BOC=90°. (2)由(1) ()知, 1 各边相等,各角也相等的多边形 (2)略
∠BOC=90°.∵OB=6cm,OC ()360°3 n
=8cm,∴由勾股定理得BC= OB2+OC2 =10 课堂作业
cm,∴BE+CG=BC=10cm. (3)∵OF⊥BC,∴
· 1.D 2.A 3.8 4.3∶ 2∶1 5.30° OB OC
OF= BC =4.8cm. 150° 30° 6.4 7.2∶3 4∶9 8.连接 OB
,
课后作业 OC,
1
S六边形ABCDEF=6S△OBC=6× 2 ×10×5 3=
1.1 2.50 3.2 4.D 5.20° 6.25π
2
7.A 1503(cm ).
8.解:(1)65° 提示:如图, 课后作业
连接 OB、OC、OP.∵AB、AC、 1.中心 2.边 心 距 3.(n-2)×180°
DE 分别与☉O 相切,OB、OC、 (n-2)×180° 360°
n n 4.15 8 5.26 6.
(1)
OP 是 ☉O 的 半 径,∴OB ⊥ () ()
AB,OC AC,OP DE,DB × 2 × 3 √ 7.A 8.D 9.
连接OA,OB,
⊥ ⊥ = ,
, , , 可得△AOB 为等边三角形 则边长等于半径,即正DP EP =EC AB =AC ∴
, 六边形边长为4
,l=24,S=S六边形
∠OBA=∠OCA=90° ∴∠A ABCDEF=6S△OBC
() () ()
=50°,∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°.∵ =243 10.1 3R 2 2R 3R 11.r=
OB⊥AB,OP⊥DE,DB=DP,∴OD 平分∠BOP. 1cm R=2cm
解:如图,连接 ,作
同 理 OE 平 分 ∠POC.∴ ∠DOE = ∠DOP + 12. OA
于点 的半
1( 1
OM⊥AD M.∵☉O
∠EOP=2 ∠BOP+∠POC
)=2∠BOC=65°. 2径为2,∴OA=2,∴OM=
(2)当点P 在B︵ 2C的中点时,PD=PE.理由如下:
︵ OA= 2,∴AB=2OM=22,∵P 在BC的中点,∴∠BOP=∠POC,∴∠DOP A'B'=2OA=4,∴S内∶S 2外=AB ∶A'B'2=(AB
= ∠POE.∵OP =OP,∠DPO = ∠EPO,∴
( ), 2 2
1
△DOP≌△EOP ASA ∴PD=PE. ∶A'B')=(22∶4)=8∶16=2.
新题看台 新题看台
(1)证明:如图,连接OD、OB、EO、FO.∵☉O 解:如图,连接OA',交 AB 于点 M.∵正方形
为△ABC 的内切圆,切点分别为D、E、F,∴DO⊥ ABCD 的边长为2,∴该正方形的对角线长为22,
AB,OF⊥AC,OE⊥BC,EO=FO,BD=BE,∴四
, ∴OA'= 2.∵OM=1
,∴A'M= 2-1.由题意得
边形EOFC 是正方形 ∴EO=FO=EC=FC,∴
·12·
∠MA'N=45°,∠A'MN= ∴∠AOE=60°,∴AE 是☉O 的内接正六边形的一
90°,∴ ∠MNA'=45°,∴ 边.∵∠AOE=60°,∴∠EOC=90°-60°=30°,
MN=A'M= 2-1;由勾股 ∴EC是☉O 的内接正十二边形的一边.连接 OF.
∴∠AOF=60°, ,定理得A'N=2- 2.同理可 ∴∠EOF=60°×2=120° ∴EF
是
, ☉O
的内接正三角形的一边.
得D'M'=2- 2 ∴NM'=
第7节 弧长及扇形的面积
2-(4-2 2)=2 2-2,∴
问题导学
正八边形的边长为22-2.
: 1 πr第6节 正多边形与圆(2) 活动一 50π 圆的周长 圆周长的360 180
问题导学 nπr
1.(1)略 (2)任何正多边形都是轴对称图形, 180
2
对称轴条数等于边数;当边数是偶数时,该正多边 :nπr 1活动二 lr
形是中心对称图形. 360 2
课堂作业 课堂作业
1.2880° 160° 20° 2.24 6 3.8 轴 中 501.4π π 2.4π 3.3π 4.25π 5π
心 4.轴 n 中心 轴对称 中心 5.36°
5.120° 6.12 7.2π 8.25 9.连接 OC,OD,
144° 36° 6.8 7.72° 8.5∶1 9.略
CD,可得阴影部分面积即扇形COD 面积 根据扇
课后作业
1.(1)
200
× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 形面积公式可求得面积为 3π.
2.C 3.D 4.23 5.A 课后作业
6.解:(1)如图①,首先作直径 AD,然后分别 1.2π 10π 72° 5π 18 108π 2.45°
以A、D 为圆心,OA 长为半径画弧,分别交☉O 于 23 2S 1
点B、F、C、E,连接AB、BC、CD、DE、EF、AF,则 3.36 4.240° 5.r 6.A 7.B 8.2π-1
正六边形 ABCDEF 即为所求. 9.8π
10.(1)证明:连接OD.∵DF 是☉O 的切线,D
为切点,∴OD⊥DF,∴∠ODF=90°.∵BD=CD,
OA=OB,∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD∥AC,
∴∠CFD=∠ODF=90°,∴DF⊥AC. (2)解:∵
∠CDF=30°,由(1)得∠ODF=90°,∴∠ODB=
图① 图② 180°- ∠CDF - ∠ODF =60°.∵OB =OD,∴
(2)四边形BCEF 是矩形.理由如下:如图②, △OBD 是等边三角形,∴∠BOD=60°,∴B
︵D的长
连接OE.∵六边形 ABCDEF 是正六边形,∴AB= nπr 60π×5 5=180= 180 =3π.
AF=DE=DC,FE=BC,∴A︵B=A︵F=D︵E=D︵C,
︵ ︵ 11.(1)证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC∴BF=CE,∴BF=CE,∴四边形BCEF 是平行 = ∠OCA.∵ ∠MAC = ∠OAC,∴ ∠MAC =
360°
四 边 形.∵ ∠EOD = =60°,OE =OD,∴ ∠OCA,∴OC∥AM.∵CD⊥AM,∴OC⊥CD,∴6 CD 是☉O 的切线. (2)解:在, , Rt△ACD
中,∵
△EOD 是等边三角形 ∴∠OED=∠ODE=60° ∠ACD=30°,AD=4,∠ADC=90°,∴AC=2AD
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,
,
∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠DEF- =8CD= 3AD=43.∵∠MAC=∠OAC=60°
,
, OA=OC,∴ △AOC 是 等 边 三 角 形,∠CED=90°∴四边形BCEF 是矩形. ∴S阴影 =
新题看台 S△ACD- (
1
S扇形OAC -S△AOC)= 2 ×4×4 3-
证 明: ∵ AB ⊥ CD,
, 60·
2
∴∠AOC=90° ∴AC 是 ☉O ( π×8 3 32
360 -4×8
2)=243-3π.
的内接正方形的一边.如图,连
12.(1)证明:如图,连接 AD、OD.∵AB 为直
接 OE.∵ OA = AE = OF,
径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.∵AC=AB,∴点
·13·
