∠ODE=180°-90°=90°,∴直线DE 与☉O 相切. 第5节 直线与圆的位置关系(3)
(2)如图,连接OE.设 DE=x,则EB=ED=x, 问题导学
CE=8-x.∵∠C=∠ODE=90°,∴OC2+CE2= 探求新知:1.与三角形三边都相切的圆 三角
OE2=OD2+DE2,∴42+(8-x)2=22+x2.解得 形内切圆的圆心 圆的内切三角形
得x=4.75,则DE=4.75. 2.作图略
6.证 明:连 接 OE,∵EF 切☉O 于 点E,∴ 3.略
∠OEF=90°.∵AF⊥EF,∴AF∥OE,∴ ∠FAE 课堂作业
=∠AEO.又∵OA=OE,∴∠OAE=∠AEO,即 1.2 2.40° 3.C 4.125° 5.略
∠FAE=∠OAE,∴AE 平分∠FAB. 6.(1)∠BOC=117.5° (2)∠BOC=122.5° (3)
课后作业 略 (4)60° 7.(1)连接IE,IF,根据三角形内角
5
1.60° 30° 2.2 3.43-1 4.A 5.A
和定理可求得∠A=50°,∵AC,AB 切☉I 于点E,
F,∴∠AFI=∠AEI=90°,根据四边形内角和为
6.D 7.C
8.(1)
1
证明:如图,连接 OD. 360°,∠FIE=130°,∠EDF= 2 ∠FIE=65°.
∵AD 平分∠BAC,∴∠DAE= (2)连接IE,IF,∵AC,AB 切☉I于点E,F,∴∠AFI
∠DAB.∵OA=OD,∴∠ODA= =∠AEI=90°,根据四边形内角和为360°,∠FIE=
∠DAO,∴∠ODA=∠DAE,∴ 1 1
OD∥AE.∵DE⊥AC,∴OD⊥ 180°-n°,∠EDF=2∠FIE=90°-2n°.
DE,∴DE 是☉O 切线. (2)解:过点O 作OF⊥ 课后作业
AC 于点F,∴AF=CF=3,∴OF= AO2-AF2 1.125 2.(1)100° (2)115° 3.D 4.50°
= 52-32 =4.∵∠OFE=∠DEF=∠ODE= 40° 5.40 6.105° 7.A
90°,∴四边形OFED 是矩形.∴DE=OF=4. 8.解:(1)相等.理由如下:如
新题看台 图,连接 BI.∵I 是△ABC 的 内
(1)证明:如图,连接DO 并延长交AC 于M.∵ 心,∴ ∠1= ∠2,∠3= ∠4.∵
∠ACB=90°,AC
1 ︵ ︵ + ∠4,而 ∠5= ∠1= ∠2,∴=2AB=AD,∴AD=CD.∵O 为△ADC 的外 ∠BIE=∠IBE,∴IE=BE. (2)如图,连接BI,
心,∴DM 垂直平分AC, IC,EC.四边形BECI 是菱形.理由如下:∵∠BED
即 DM ⊥AC,∴DM ∥ =∠CED=60°,IC=IE=IB,∴△IBE 和△IEC
BC.∵DF⊥BC,∴DF 是等边三角形,∴BE=CE=IE=BI=IC,∴四边
⊥DO,∴DF 为☉O 的 形BECI是菱形.
切线. (2)解:由(1)得 新题看台
AC∥DF,
1
∵点D 为AB 的中点,∴DF=2AC=
1
1.5,CF=BF=2BC=4.5
,如图,作ON⊥CE 于
点N,
1
连接OA.则CN=EN=2CE
,AM=CM=
ON=DF=1.5.设☉O 的半径为r.在△AOM 中,由
勾股定理得1.52+(4.5-r)2=r2,解得r=2.5.∴
CN=EN=OM=4.5-2.5=2,∴CE=4,∴EF=
4.5-4=0.5,∴DE= EF2+DF2= 0.52+1.52
10 24 288
= 最大半径为2 . 7cm
,最大半圆面积为 2
49πcm .
·11·数学 九年级上册
第5节 直线与圆的位置关系(3)
本节课学习的重点知识是掌握三角形内切圆
的相关知识,要求理解内心、外接三角形、内切圆的
相关概念,在理解概念的基础上会利用相关概念解
决问题. 3.下列说法中,正确的是 ( )
A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B.圆有且只有一个外切三角形
操作与思考 C.三角形有且只有一个内切圆
1.过☉O 上任一点P 作☉O 的切线. D.3个顶点到三角形内心的距离相等
2.过☉O 上任三点D,E,F 作☉O 的切线,三 4.在△ABC 中,I 为内心,若∠A=70°,则
条切线分别交于A,B,C. ∠BIC= .
3.已知△ABC 求作☉O,使它与△ABC 的各 5.已知△ABC.
边都相切. 求作:△ABC 的内心和外心.
探求新知
1. 叫做三角形的内切圆, 叫 6.如图,在△ABC 中,点O 是内心.
做三角形的内心,这个三角形叫做 . (1)若∠ABC=50°,∠ACB=75°,求∠BOC 的
2.分别画出直角三角形和钝角三角形的内 度数.
切圆. (2)若∠A=65°,求∠BOC 的度数.
(3)
1
说明:∠BOC=90°+2∠BAC.
(4)若∠BOC=120°,求∠A 的度数.
3.内心与外心类比:
(1)确定方法: .
(2)性质: .
1.在Rt△ABC 中∠C=90°,AC=12,BC=5,
则△ABC 的内切圆的半径是 .
2.如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在AB 的延
长线上,过点D 作☉O 的切线,切点为C,若∠A=
25°,则∠D= .
4 3
课时培优作业
7.如图,△ABC 中,内切圆I 和边BC,CA, 6.三 角 形 的 内 切 圆 的 切 点 将 该 圆 周 分 为
AB 分别相切于点D,E,F, 5∶9∶10三条弧,则此三角形的最大的内角为
(1)若∠B=60°,∠C=70°,求∠EDF 的度数. .
(2)若∠A=n°,求∠EDF 的度数. 7.一个钢管放在 V形架内,下图是其截面图,
O 为 钢 管 的 圆 心.如 果 钢 管 的 半 径 为 25cm,
∠MPN=60°,则OP 等于 ( )
A.50cm B.253cm
503
C. 3 cm D.503cm
1.已知点I 为△ABC 的内心,且∠ABC= 8.如图,I是△ABC 的内心,AI的延长线交边
, ACB , BIC BC 于点D
,交△ABC 的外接圆于点50°∠ =60°∠ = °. E.
(1)BE 与IE 相等吗 请说明理由.
2.在△ABC 中,∠A=50°. (2)连接 BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=
(1)若点O 是△ABC 的外心,则∠BOC= 60°,猜想四边形BECI 是何种特殊四边形,并证明
°. 你的猜想.
(2)若点O 是△ABC 的内心,则∠BOC=
°.
3.如图,O 是△ABC 的内心,过点O 作EF∥
AB,分别交AC、BC 于点E、F,则 ( )
A.EF>AE+BF
B.EFC.EF2=AE·BF BC=6cm,AC=8cm,∠C=90°.今
D.EF=AE+BF 需在△ABC 中剪出一个半圆,使得
, , , , 此半圆直径在三角形一边上,并且与4.如图 ☉O 是Rt△ABC 的内切圆 D E F
另两边都相切,请设计出所有可能方
分别是切点,∠ACB=90°,∠BOC=115°,则∠A= 案,并通过计算说明如何设计使得此
,∠ABC= . 半圆面积最大,最大值为多少
5.已知△ABC 的面积为100,它的内切圆半径
为5,则△ABC 的周长为 .
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